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2015届高考数学三轮冲刺:集合与函数课时提升训练(11)(含答案)


集合与函数课时提升训练(11)
1、对于定义在区间 D 上的函数 ,都有 数 ,若存在闭区间 ∈D,当 和常数 ,使得对任意 时, 恒成立,则称函

,且对任意

为区间 D 上的“平底型”函数. (1)判断函数 和 是否为 R 上的“平底型”函

数?并说明理由; (2) 设 一切 是 (1) 中的 “平底型

” 函数, k 为非零常数, 若不等式 R 恒成立,求实数 的取值范围; (3)若函数 的值. 2、函数 数 A. 是定义在 上的增函数,函数 的图象关于点 的取值范围是 B. C. D. 对称.若实 是区间 上的“平底型”函数,求 和 对

满足不等式

3、已知函数 大于零,则 的取值范围为

,过点 P(0,m)作曲线

的切线,斜率恒

7、 已知集合

,有下列命题

①若 则



;②若



;③若

的图象关于原点对称;

④若 命题的序号是

则对于任意不等的实数

,总有

成立.其中所有正确

8、对于两个正整数 ;当

,定义某种运算“ ”如下,当

都为正偶数或正奇数时, ,则在此定义下,

中一个为正偶数,另一个为正奇数时,

集合 是 10、对于任意实数 .

N

N

中元素的个数

表示不超过 的最大整数,例如:



。那么

11、设

是连续的偶函数,且当



是单调函数,则满足



所有 之和为

12、已知函数 若在区间 是 15、 若

满足 内,函数 。

,且

是偶函数, 当

时,



有 4 个零点,则实数 的取值范围

,则定义

为曲线



线.已知



,则



线为

. 的图象恰

16、在 平面 直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数 好通过 个整点,则称函数 为 阶整点函数.有下列函数:①





③ C.①④



, D.④ )

其中是一阶整点函数的是( ) A.① ②③④ B.①③④ 20、函数 A、

恰有两个不同的零点,则 的取值范围是( B、 C、 D、

26、已知函数 A.8 28、已知集合 B(2, ={1,2,3},

,则 B.9



) C.11 .若点 A(1, D.10 (1))、 ,则满

={1,2,3,4,5},定义函数 ,且

)、C(3, 有(

),Δ ABC 的外接圆圆心为 )

足条件的函数

A.15 个 29、.已知函数

B.20 个

C. ,在定义域

25 个

D. 30 个

[-2,2]上表示的曲线过原点,且在 x 是奇函数;②若 在 内递减, ; ④若对

=±1 处的切线斜率均为 则 的最大值为 4;③ , A .1 个 个

.有以下命题:① 的最大值为

,最小值为

,则

恒成立,则 的最大 值为 2.其中正确命题的个数为 B. 2 个 D. 4 个 C .3

32、若函数 上,

满足

,当 有两个零点,则实数

时, 的取值范围是(

,若在区间 )

A. 33、若函数 函数值中 1 (

B.

C. 有两个零点 )A.只有一个小于 1 D.可能都大于 1 ,则称 是函数 ,其中

D. ,那么在 B.至少有一个小 于 1 两个 C.都小于

34、若实数 满足

的一个次不动点.设函数 ,则

与函数

(其中 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 A. 35、方程 A.0 B. C. D.

的解的个数为 B.1 C.2 和

( D.3



37、(本大题满分 13 分)若存在常数 k 和 b (k、b∈R),使得函数 任意实数 x 分别满足: “隔离直线”.已知 , 和 和 , 则称直线 l:

对其定义域上的 为 和 的

(其中 e 为自然对数的底数).(1)求 是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线

的极值;(2)函数 方程;若不存在,请说明理由.

38、.(本小题满分 13 分)已知常数 a 为正实数,曲线 Cn:y= 线 ln 总经过定点(-a,0)(n∈N ).
*

在其上一点 Pn(xn,yn)的切

(1)求证:点列:P1,P2,?,Pn 在同一直线上;(2)求证: 39、(本小题满分 14 分)对于 函数 式 和 ,若存在常数 是函数 为常数). ,试探究函数 与函数 ,对于任意

(n∈N ). ,不等

*

都成立, 则称直线 为自然对数的底,

的分界线. 已知函数

(Ⅰ)讨论函数

的 单调性;(Ⅱ)设



否存在“分界线”?若存在,求出分界线 方程;若不存在,试说 明理由. 40、 已知函数 和 . 其中 . (1) 若函数 和 是方程 与 的两根,

的图像的一个公共点恰好在 轴上, 求 的值; (2) 若

且满足

,证明:当

时, ,当 时,

. .当 对于函数 . 所 不是“平底型”函 或

1、解:(1)对于函数 时, , 当 以不存在闭区间 数. (Ⅱ) 若 以 .又 ,则 对一切 ,使当 恒成立,故 时, 时,

是“平底型”函数. ; 当 恒成立.故 时,

R 恒成立, 则 . 则 ,解得

. 所

.故实数 的范围是 (Ⅲ)因为函数 和常数 ,

. 是区间 上的“平底型”函数,则存在区间

使得

恒成立.所以

恒成立,即

.解

得 当

或 时





时, 恒成立.此时,

. 当 是区间

时,



上的“平底型”函

数. 当 此时,

当 时, 不是区间

时, .

.当

时,



上的“平底型”函数.

综上分析,m=1,n=1 为所求.

2、B 3、 C 20、 D 28、B29、B

7、 ②③ 8、

10、264 11、2010 12、

15、

16、

32、D33、

分析:因为

有两个零点

,所以 ,故 与



中至少有 1 个小于 1. 34、B 35、C

37、(1)解: ∵ 时, ∵当 增;∴当 时, ,此时函数

,∴



递减;当

时,

,此时函数



时,F(x)取极小值,其极小值为 0. 和 的图象在 处有公共点, 因此若存在 和 的隔 ,即 当 时恒成

(2)解: 由(1)可知函数

离直线,则该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为 k,则直线方程为 由 ,可得

立由



下面证明 ,则



时恒成立.令

, 时, ∴当 ,此时函数 时, 递增;当 时,



时, ,此时函数

.∵当 递减; ,即

取极大值,其极大值为 0. 从而 恒成立.

∴函数



存在唯一的隔离直线



38、 .证法一: (1)∵f(x)=

, ∴f′(x)=

· (nx)′=

·

.(1 分)Cn: y=

在点 Pn(xn, yn)处的切线 ln 的斜率 kn=f′(xn)= -xn).(2 分)

·

, ∴ln 的方程为 y-yn=

·

(x

∵ln 经过点(-a,0),∴yn=-

·

(-a-xn)=

·

(a+xn).又∵Pn 在曲线 Cn 上,

∴yn=



·

(a+xn), ,∴Pn(a, )总在直线 x=a 上,即 P1,P2,?,Pn 在同一直线 x=a

∴xn=a,∴yn= 上.(4 分)

(2)由(1)可知 yn=

,∴f(i)=





.(5 分)



<

=2(



)(i=1,2,?,n),

.(9 分)

设函数 F(x)=

-ln(x+1), x∈[0,1], 有 F(0)=0, ∴F′(x)=







>0(x∈(0,1)), ∴F(x)在[0,1]上为增函数,即当 0<x<1 时 F(x)>F(0)=0,故当 0<x<1 时 >ln(x+1)恒成

立.(11 分)取 x= (i=1,2,3,?,n),f(i)=

>ln(1+ )=ln(i+1)-lni,即 f(1)=

>ln2,f(2)=

>ln(1+

)=ln3-ln2,?,f(n)=

>ln(n+1)-lnn,

综上所述有

(n∈N ).(13 分)

*

证法二:(1)设切线 ln 的斜率为 kn,由切线过点(-a,0)得切线方程为 y=kn(x+a),则方程组

的解为

.(1 分)由方程组用代入法消去 y 化简得 k -n) -4k
2

x2+(2ak




n)x+k

a2=0,(*)有Δ =(2ak

·k

a2=-4ank

+n =0,∴k

2

.(2 分)代入方程(*),得 ∴x=a,即有 xn=a,yn= 证:0<x<1 时

x2+(2a·


-n)x+

·a =0,即 x -2a·x+a =0,

2

2

2

,即 P1,P2,?,Pn 在同一直线 x=a 上.(4 分)(2)先

>x>ln(x+1),以下类似给分.

39、(本小题满 分 14 分)

解: (1)

, 当

时,

,即



函数

在区间

上是增函数,在区间

上是减函数



时,

,函数

是区间

上的增函数当

时,



,函数

在区间

上是增函数,在 区



上是减函数.?7 分 恒成立, , 所以 , 因此: 恒成立, 即

(2)若存在,则 令 , 则

恒成立, 由 得到: ,现在只要判断 ,因为: ,当 所以 时, ,即 存在“分界线”. 40、解: (1)设函数 的图像上,∴ 图像与 轴的交点坐标为( ,0),∵点( ,0)也在函数 .而 ,∴ . , 是否恒成立,设 ,当 , 与函数 时, ,

恒成立,所以函数

(2)由题意可知 , 即:当 时, 即



时,

,∴

.又 ,当 时, ,综上可知,

∴ .

<0, ∴


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