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高三数学一轮复习课件:复数代数形式的四则运算(二)


复数的三角形式(二)
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例题: 例 1 . 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i , 复 数 z2 满 足
z 1 ? z 2 ? (7 ? 16i ) ? ?1 .如果复数 z1 的辐角主值是?,z2 的辐角 i

主值是?,求?+?的值. 分析与解答: ①?+?是 z1·z2 的一个

辐角; ②必须先求出 z1 和 z2,并由此确定?、?的范围;

2 ? 16i 1 ? 8i ? ? ?3 ? 2i ,将其代入另一个条件, 由已知 z 1 ? 2 ? 4i 1 ? 2i 7 ? 17i ? 1 ? 5i ,∴ z2=1-5i, 解得 z 2 ? ? 3 ? 2i

∴ ? ? arg z 1 ? arg(?3 ? 2i ), ? ? ? ?

3? , 2

3? ? ? arg z 2 ? arg(1 ? 5i ), ? ? ? 2? , 2 5? 7? ? ??? ? ∴ , 2 2

又 z1·z2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i.
13 ? ?1 . ?+?是 z1·z2 的一个辐角,且 tg(? ? ? ) ? ? 13 11? ∴ ??? ? . 4

解该题时,很多同学由于不注意?、?以及?+?的范 围,从而得出错误结论. ?、?分别在[0, 2?)内,但?+?不一定在这个范围内, 要结合 z1·z2=-13+13i 对应的点在第二象限内,且
5? 7? ? ???? ,最后确定?+?的值. 2 2

3 1 2 2 2 3 ? i, ? ? ? i ,复数 z?, z ? 在 例 2.已知复数 z ? 2 2 2 2

复平面上所对应的点分别为 P、Q.求证:Δ OPQ 是等腰 直角三角形(其中 O 为原点).
分析与解答: 从复数的角度,证一个三角形是等腰直角三角形, 一是用到模相等,另一是用到复数除法的几何意义或 三角形中的角就是两个有共同始点的复数辐角的差.

解法一: z ?

3 1 ? ? ? i ? cos(? ) ? i sin( ) ? 2 2 6 6 2 2 ? ? ?? ? i ? cos ? i sin , 2 2 4 4

? ? ? ? ? ? ∴ z? ? cos(? ? ) ? i sin (? ? ) ? cos ? i sin , 6 4 6 4 12 12 ? ? ? ∴ z? ? cos(? ) ? i sin ( ) 12 12 ? ? 3? 3? 2 3 又 z ? ? [cos(? ) ? i si n (? )](cos ? i si n ) 3 3 4 4 5? 5? ? cos ? i si n . 12 12 5? ? ? 因此 OP,OQ 的夹角为 ? ( ? ) ? , 12 12 2

∵ OP⊥OQ,又∵ |OP|=|z ? |=1, |OQ|=|z2 ? 2|=1, ∴ |OP|=|OQ|, ∴Δ OPQ 为等腰直角三角形.

解法二:
? ? 由题 z ? cos(? ) ? i si n (? ), | z |? 1 6 6 ? ? ? ? cos ? i si n , | ? |? 1 , 4 4



z 2?3 z?

?

z 2 ? ? 3 ? z? z? ? z?

z 3 ? ?4 ? ? z 3 ? ?4 | z |2 ? | ? |2

? ? ? [cos(? ) ? i sin ( )][cos? ? i sin?] ? 2 2 ? ? ? cos ? i sin ? i 2 2

∴ OP⊥OQ, |OP|=|OQ|,即Δ OPQ 为等腰直角 三角形. 解法二在做除法前先化简,用到了复数的模及共轭 z ? z ?| z | 2 ?| z | 2 ,|z ? |=|z|·|? |. 复数的性质:

例 3.设? =z+ai(a∈R), z ?
| ? |? 2

,求? 的辐角主值?的取值范围.

(1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 且 3 ? 4i

分析与解答:
z? (1 ? 4i )(1 ? i ) ? 2 ? 4i 3 ? 4i 5 ? 3i ? 2 ? 4i ? 3 ? 4i 7?i ? ? 1 ? i. 3 ? 4i

∵ ∴


? =z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i 且| ? |?

2



1 ? (a ? 1) 2 ? 2 , 解得 0≤a≤2,

又 tg?=a-1, ∴ -1≤tg?≤1,

? 的辐角主值? ? [0, ? ] ? [ 7? ,2?) .
4 4

此题首先要算对了,还要会算模以及辐角.其中,最容 易出问题的是?的范围的确定.仅有-1≤tg?≤1 是不够的,还 应当注意到? =1+(a-1)i 的实部为 1,虚部 a-1 在[-1,1]内, 所以? 所对的辐角只能在第一和第四象限.

例 4.在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方 向依次为 Z1,Z2,Z3,O(其中 O 为原点).已知 Z2 对应 复数 Z2=1+ 3i ,求 Z1 和 Z3 所对应的复数.
分析与解答: 根据题意我们不妨画出草图,以便分析. 根据平面几何的知识,我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形,而且斜边是直 角边的 2 倍.

由复数运算的几何意义知:
z1 ? ? 1 ? ? ? z 2 ? [cos( ) ? i sin( )] ? ? 4 4 2

2 2 2 ? (1 ? 3i )( ? i) 2 2 2 3 ?1 3 ?1 ? ? i 2 2

z3 ?

1

? ? ? z 2 ? (cos ? i sin ) 4 4 2

2 2 2 ? ? (1 ? 3 )( ? i) 2 2 2 1? 3 1? 3 ? ? i 2 2

→ 求 z1 时是将OZ2 向顺时针方向旋转 45?,且模缩短到原 来长度的
1

,符合复数除法的几何意义,也可以直接写成

2 1 1 ? 3i ? . ? ? 2 cos ? i sin 4 4

→ 而在求 z3 时,也可将OZ1 逆时针旋转 90?得到,因此用 z3=z1·i 算更方便.

0 例 5.设复数 z=3cos?+i·2sin?,求函数 y=?-argz( ? ? ?

? )的 2

最大值以及对应的?值.

分析与解答: 求角的最值, 我们只会通过求某一三角函数在单调区间上 的最值来完成.而此题中 tg(argz)是用的正切表示的,因此, 我们不妨对 y=?-argz 两边分别取正切.
? 由题,∵ 0 ? ? ? 2

∴ sin?>0, cos?>0, tg?>0,

又 z=3cos?+i·2sin?
? 2 si n? 2 arg z ? (0, ) 且 tg(argz ) ? ? tg? , ∴ 2 3 cos? 3 tg? ? tg(argz ) ? ∴ tgy=tg(?-argz) 1 ? tg? ? tg(argz ) 1 tg ? 1 ? 3 ? 2 3 1 ? tg 2 ? ? 2tg? 3 tg?

3 3 ? 2tg ? ? 2 ? ? 2tg ? ? 2 6 , ∵ tg ? tg ?
6 3 tgy ? ? ? 2tg? 时等号成立, ∴ ,当且仅当 12 2 6 tg? 3 2 此时 tg ? ? , 2 ? 6 由于 0 ? ? ? ,∴ ? ? arctg , 2 2 ? ? 0 ? ? ? ,0 ? arg z ? , 又∵ 2 2 ? ? ? ? ∴ ? ? ? ? arg z ? 即 y ? ( ? , ) . 2 2 2 2 ? ? 由于在( ? , ) 内,正切函数是单调增函数,因此, 2 2 1

y max

6 6 ? arctg ,此时? ? arctg . 12 2

在求 tgy 最大值的过程中,我们用到了平均不等式的 知识,而将所有的变量均变化到分母中是必不可少的工 作. 有了 tgy 的最值,必须用单调性,才可求出 y 的最值, 这是同学们最易丢掉的一环.


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