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2013年辽宁省大连市高三高考(理科)数学第一次模拟考试试题及答案(word版)


大连市 2013 年高三(理科)数学一模测试
第I卷 一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设集合 A ? ?2,ln x? , B ? ?x, y? ,若 A A.0 2.设复数 z ? A.1 B.1 C. e ) C. i ) D.
3 2

1? i ,则 z 为( 1? i

B ? ?0? ,则 y 的值为( 1 D. e



B. ? 1

D. ? i

3. 计算 sin 47 ? cos17 ? ? cos 47 ?cos 73 ? 的结果为( A.
1 2

B.

3 3

C. )

2 2

4. ( x ? ) 展开式中的常数项为(
6

1 x

A. -20

B. 20

C. -15

D.15 )

5. 三位男同学和三位女同学站成一排,要求任何两位男同学都不相邻,则不同的排法总数为( A.720 B.144 C.36 D.12

6.曲线 f ( x) ? sin x , f ( x) ? cos x 与直线 x ? 0 , x ? A. C.

?
2

所围成的平面区域的面积为(



?
?

?
2 0

(sin x ? cos x)dx
?

B. 2? 4 (sin x ? cos x)dx
0

?

?
4 0

cos xdx+ ? ?2 sin xdx D. 2? 4 (cos x ? sin x)dx 0
4

?

7. 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R,A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的图象(部分)如图所示,则 ?,? 分别为( A. ? ? ? , ? ? )

?
2

)

?
3

B. ? ? 2? , ? ?

?
3

C. ? ? ? , ? ?

?
6

D. ? ? 2? , ? ?

?
6 7 x ,则方程 8

8 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 满足 f (1? x ) ? f (1? x ),且 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? ?

1 f ( x ) ? ( )| x | ? 1 在区间 [?3,3] 零点的个数为( 2
A.5 B.4
2

) D.2

C.3

9.已知 A, B 两点均在焦点为 F 的抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,若 | AF | ?| BF | ? 4 ,线段 AB 的中点到直 线x? A.1

p 的距离为 1,则 p 的值为( 2
B.1 或 3 C.2 D.2 或 6



x2 ? y2 ? 1 4 10.如图是用模拟方法估计椭圆 面积的
程序框图, S 表示估计的结果,则图中空白处应 该填入( )

开始

M ? 0, N ? 0, i ? 1

产生 0~2 之间的两个随机数分别赋值给 xi , yi

N A. S ? 250 N B. S ? 125 M C. S ? 250 M D. S ? 125

xi2 ? yi2 ? 1 否 4


M ? M ?1 N ? N ?1

i ? i ?1


i ? 2000


输出 S 结束 11.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (3) ? 1 , f (?2) ? 3 , f ?( x ) 为 f ( x ) 的导函数,已知 y ? f ?( x) 的图 象如图所示, 且 f ?( x ) 有且只有一个零点, 若非负实数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,f (?a ? 2b) ? 3 , 则 的取值范围是( )

b?2 a ?1

A. [ , 3] B. (0, ] [3, ??) C. [ ,5]

4 5

4 5

4 5

D. (0, ] [5, ??)

4 5

12.等腰 Rt △ ACB , AB ? 2 , ?ACB ?

.以直线 AC 为轴旋转 一周得到一个圆 2 锥, D 为圆锥底面一点, BD ? CD , CH ? AD 于点 H , M 为 AB 中点,则当三棱锥 C ? HAM 的 体积最大时, CD 的长为 ( ) A.

?

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

第 II 卷
二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷卡的相应位置上) 13.已知△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C ,且 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 , 则 cos C 的值为 .

14.如图,网格纸是边长为 1 的小正方形,在其上用粗线 画出了某多面体的三视图,则该多面体的体 积为 。

y 2 x2 15.已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) , P 为 x 轴上一动点,经过 P 的直线 y ? 2 x ? m(m ? 0) 与 a b
双曲线 C 有且只有一个交点,则双曲线 C 的离心率为 .

16. 设 a ? R ,对于 ?x ? 0 ,函数 f ( x) ? (ax ? 1)[ln(x ? 1) ? 1] 恒为非负数,则 a 的取值所组成的集合 为 .

三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 +an an?1 ? an ? 0 . (Ⅰ)求证:数列 ?

?1? ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ?

(Ⅱ)求数列 ?

? 2n ? ? 前 n 项和 Sn . ? an ?

18.(本小题满分 12 分) 某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件,零件尺寸均在 ? 21,7,22.3? (单位: cm )之间 的零件,把零件尺寸在 [21.9,22.1) 的记为一等品,尺寸在 [21.8,21.9) ? [22.1,22.2) 的记为二等品,尺 寸在 [21.7,21.8) ? [22.2,22.3] 的记为三等品,现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取 100 件产品, 所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示:
频率 组距
频率 组距
4

3 2 1 O 21.7 21.8 21.9 22.0 22.1 22.2 22.3

3 2 1 0.5

乙工艺 甲工艺 2 ? 2 列联表, (Ⅰ) 根据上述数据完成下列 根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关? 甲工艺 乙工艺 合计 一等品 非一等品 合计 附:

尺寸/cm

O

21.7 21.8 21.9 22.0 22.1 22.2 22.3

尺寸/cm

n ? n11n22 -n12 n21 ? ? = , n1+ n2+ n+1n+2
2 2

P??2 ? k?
k

0.05 3.841

0.01 6.635

(Ⅱ)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率,若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为 30 元、20 元、15 元,你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件?请说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长为 2,侧棱长为 2 , D 为 AC 1 1 中点. (Ⅰ)求证; BC1 ∥平面 AB1D ; (Ⅱ)求二面角 A1-AB1-D 的大小.
D

20. (本小题满分 12 分) 设离心率 e ?

1 x2 y 2 M : ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 , P 是 x 轴正半轴上一点, 的椭圆 2 a 2 b2

以 PF1 为直径的圆经过椭圆 M 短轴端点,且该圆和直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切,过点 P 的直线与椭圆 M 相 交于相异两点 A 、 C . (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)若相异两点 A、B 关于 x 轴对称,直线 BC 交 x 轴与点 Q ,求 QA ? QC 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分) 已知 m ? R ,函数 f ( x) ? mx2 ? 2e x . (Ⅰ)当 m ? 2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) 有两极值点 a, b(a ? b) , (ⅰ)求 m 的取值范围; (ⅱ)求证: ?e ? f (a) ? ?2 .

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知圆上的 AC ? BD ,过 C 点的圆的 切线与 BA 的延长线交于 E 点. (Ⅰ)证明: ?ACE ? ?BCD ; (Ⅱ)若 BE ? 9, CD ? 1 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数方程为 y ? 2 ? 2sin ? ?

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数) , P 是 C2 上的点,线段 OP 的中点在 C1 上. ? ? y ? 2sin ?
(Ⅰ)求 C 1 和 C 2 的公共弦长; (Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求点 P 的一个极坐标.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (Ⅰ)当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集. (Ⅱ)如果函数 y ? f ( x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.

大连市 2013 年高三(理科)数学一模测试 参考答案
一.选择题 1.A;2.D;3. A;4. D;5. B;6.D;7.C;8.A;9.B;10.D;11.A;12.C. 二.填空题 13. ?

1 5 ? 1 ? ;14.16;15. ;16. ? ?. 4 2 ? e ? 1?

三.解答题 17.解: (Ⅰ)∵ an?1 +an an?1 ? an ? 0 ,∴ ∴

an?1 ? an an?1 ? an ?0, an an?1

1 1 ? ? 1, ··························· 3 分 an ?1 an

?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列. ········ 4 分 a1 ? an ? 1 1 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n , an ? . ···················· 6 分 n an

2n (Ⅱ)法一:由(Ⅰ)知 =n 2n . an

Sn =1? 21 +2 ? 22 + 2Sn =1? 22 +2 ? 23 +

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ① +n ? 2n . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ② +n ? 2n+1 . ·

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 由① ? ②得 ?Sn =21 +22 +

+2n ? n ? 2n?1 .

∴ Sn =(n ?1)2n?1 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 法二:令 bn ? n 22 ? cn?1 ? cn ,令 cn ? ( An ? B) 2n , ∴ bn ? cn?1 ? cn ? ( An ? A ? B) 2n?1 ? ( An ? B) 2n ? n 2n . ∴ A ? 1,B ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ∴ b1 ? b2 ?

? bn ? c2 ? c1 ? c3 ? c2 ?

? cn?1 ? cn ? cn?1 ? c1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ? (n ? 1 ? 2) 2n ? (1 ? 2) 2=(n ?1)2n?1 ? 2 . · 18.解: (Ⅰ) 2 ? 2 列联表如下
甲工艺 一等品 非一等品 合计 50 50 100 乙工艺 60 40 100 合计 110 90 200

···································· 2 分

200? (50 ? 40 ? 60 ? 50) 2 ? ? ? 2.02 ? 3.841,所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出一等品 100? 100? 110? 90
2

有关. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润 X 的分布列为
30 20 15 X 0.5 0.3 0.2 P X 的数学期望为 EX ? 30 ? 0.5 ? 20 ? 0.3 ? 15 ? 0.2 ? 24 ,

X 的方差为 DX ? (30 ? 24) 2 ? 0.5 ? (20 ? 24) 2 ? 0.3 ? (15 ? 24) 2 ? 0.2 ? 39 . ··· 7 分
乙工艺生产单件产品的利润 Y 的分布列为
30 20 15 Y 0.6 0.1 0.3 P Y 的数学期望为 EY ? 30 ? 0.6 ? 20 ? 0.1 ? 15 ? 0.3 ? 24.5 , Y 的方差为

DY ? (30 ? 24.5) 2 ? 0.6 ? (20 ? 24.5) 2 ? 0.1 ? (15 ? 24.5) 2 ? 0.3 ? 47.25. ··· 10 分
答案一:由上述结果可以看出 EX ? EY ,即乙工艺的平均利润大,所以以后应该选择乙工艺. 答案二:由上述结果可以看出 DX ? DY ,即甲工艺波动小,虽然 EX ? EY ,但相差不大,所以以后 选择甲工艺. ······························ 12 分 19.解: (Ⅰ)如图,连结 A1B 与 AB1 交于 E,连结 DE,则 E 为 A1B 的中点, ∴BC1∥DE, DE ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D , ∴ BC1 ∥平面 AB1D .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅱ)过 D 作 DF⊥A1B1 于 F, 由正三棱柱的性质,AA1⊥DF,∴DF⊥平面 ABB1A1, 连结 EF,DE,在正三角形 A1B1C1 中, ∵D 是 A1C1 的中点,∴ B1D ?

3 A1B1 = 3 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2

又在直角三角形 AA1D 中,
2 ∵AD= AA2 1+A1D = 3 ,∴AD=B1D.
[来源:Z。xx。k.Com]

∴DE⊥AB1,∴可得 EF⊥AB1, 则∠DEF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角. 可求得 DF ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

3 , 2 3 , 2

∵△B1FE∽△B1AA1,得 EF ?

π ∴∠DEF= ,即为所求. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 4 (2)解法(二) (空间向量法) 建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,-1,0) ,B1(0,1, 2 ) , C1(- 3 ,0, 2 ) ,A1(0,-1, 2 ) ,D(- 3 ,- ? ∴ AB1 =(0,1, 2 ) , B1D =(- 3 a,- 设 n1=(x,y,z)是平面 AB1D 的一个法向量,

1 , 2) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2

3 ,0) . 2

?2 y ? 2 z ? 0, ? ?n1·AB1 =0 ? 则可得 ? ,即 ? . 3 3 n · B D = 0 ? ? x ? y ? 0. ? ? 1 1 ? 2 2

[来源:Zxxk.Com]

∴n1=(- 3,1,- 2) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 又平面 ABB1A1 的一个法向量 n2= OC =(- 3 ,0,0) , 2 n1· n2 设 n1 与 n2 的夹角是 θ,则 cosθ= = . |n1|· |n2| 2 又可知二面角 A1-AB1-D 是锐角.

[来源:学+科+网]

π ∴二面角 A1-AB1-D 的大小是 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 4 20. 解: (Ⅰ)设以 |PF1| 为直径的圆经过椭圆 M 短轴端点 N , ∴ | NF1 |? a ,∵ e ? ∴ ?NF1 P ?

?
3

1 ,∴ a ? 2c , 2

, | PF · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 1 |? 2a . ·

∴ F2 (c,0) 是以| PF1 |为直径的圆的圆心, ∵该圆和直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, ∴ 2c ?

c?3 1 ? ( 3)
2

,∴ c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,

x2 y 2 ∴椭圆 M 的方程为: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? 1 .· 4 3
(Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,则点 B( x1 , ? y1 ) ,

? x2 y 2 ? 1, ? ? 法一:设直线 PA 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,联立方程组 ? 4 3 ? y ? k ( x ? 3). ?
化简整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ?12 ? 0 , 由 ? ? (24k 2 )2 ? 4 ? (3 ? 4k 2 ) ? (36k 2 ? 12) ? 0 得 0 ? k 2 ? 则 x1 ? x2 ?

3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 5

24k 2 36k 2 ? 12 , x x ? . 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

72k 2 ? 24 72k 2 ? 2 2 y x ? y2 x1 2 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) 4 令 y ? 0 ,则 x ? 1 2 ? = 4k ? 3 2 4 k ? 3 = . 24k y1 ? y2 x1 ? x2 ? 6 3 ?6 2 4k ? 3 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3
4 4 4 4 QA ? QC ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? k 2 ( x1 ? 3)( x2 ? 3) 3 3 3 3 4 16 = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (3k 2 ? )( x1 ? x2 ) ? 9k 2 ? 3 9 2 2 36k ? 12 4 24k 16 ? (3k 2 ? ) ? 2 ? 9k 2 ? = (1 ? k 2 ) ? 2 4k ? 3 3 4k ? 3 9 2 19k ? 12 16 235 105 ? ? ? = .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 4k ? 3 9 36 16k 2 ? 12 3 20 5 ∵ 0 ? k2 ? ∴ QA ? QC ? (? , ) . ················· 12 分 5 9 3
法二: 设直线方程为 x ? my ? 3 .

? x ? my ? 3, ? 由 ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
得 (3m2 ? 4) y 2 ? 18my ? 15 ? 0 , 由 ? ? (18m)2 ? 4 ?15 ? (3m2 ? 4) ? 0 得 m2 ?

5 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3

18m ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? 3m ? 4 ? ? y y ? 15 . 1 2 ? 3m 2 ? 4 ?
直线 BC 的方程为: y ? y1 ?

y2 ? y1 ( x ? x1 ) , x2 ? x1

15 y (my2 ? 3) ? y2 (my1 ? 3) 2my1 y2 3m2 ? 4 = 4 . 令 y ? 0 ,则 x ? 1 ? 3? =3+ 18m y1 ? y2 y1 ? y2 3 ? 2 3m ? 4 4 ∴ Q 点坐标为 ( , 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 2m
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4 4 4 4 5 25 QA ? QC ? ( x1 ? )( x2 ? ) ? y1 y2 ? (my1 ? )(my2 ? ) ? y1 y2 = (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 3 3 3 3 3 9 15 5 18m 25 35 20 = (m2 ? 1) ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 ? m ? (? 2 )? = 2 ? .· 3m ? 4 3 3m ? 4 9 3m ? 4 9 20 5 5 ∵ m2 ? , ∴ QA ? QC ? (? , ) . 9 3 3 20 5 综上, QA ? QC ? (? , ) . ······················ 12 分 9 3 21.解: (Ⅰ) m ? 2 时, f ( x) ? 2 x2 ? 2e x , f ?( x) ? 4 x ? 2e x ? 2(2 x ? e x ) .
令 g ( x) ? 2 x ? e x , g ?( x) ? 2 ? e x , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 当 x ? (??,ln 2) 时, g ?( x) ? 0 , x ? (ln 2, ??) 时, g ?( x) ? 0 ∴ g ( x) ≤ g (ln 2) ? 2ln 2 ? 2 ? 0 . ∴ f ?( x) ? 0 .∴ f ( x) 在 (??, ??) 上是单调递减函数. ············ 4 分 (Ⅱ)若 f ( x) 有两个极值点 a, b(a ? b) , 则 a , b 是方程 f ?( x) ? 2mx ? 2e x ? 0 的两不等实根. 解法一:∵ x ? 0 显然不是方程的根,∴ m ? 令 h( x) ?

ex 有两不等实根. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 x

ex e x ( x ? 1) ,则 h?( x ) ? x x2

当 x ? (??,0) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, h( x) ? (??,0)

x ?( 0 , 1 ) h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, 时,

ex 有两不等实根,应满足 m ? h(1) ? e ,∴ m 的取值范围是 (e, ??) . x (注意:直接得 h( x) 在 (??,1) 上单调递减, (1, ??) 上单调递增扣 2 分) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
要使 m ?

∵ f (a) ? ma 2 ? 2ea ,且 f ?(a) ? 2ma ? 2ea ? 0

f (a) ?

ea 2 ? a ? 2e a ? a ? e a ? 2e a ? e a ( a ? 2) , a

∵ h(0) ? ?2 ? 0 , h( x) 在区间 (0, ln m) 上单调递增, h(1) ? 2(m ? e) ? 0 ,∴ a ? (0,1) 设 ? ( x) ? e x ( x ? 2) (0 ? x ? 1) ,则 ? ?( x) ? e x ( x ? 1) ? 0 , ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减 ∴ f (1) ? f (a) ? f (0) 即 ?e ? f (a) ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

解法二: h( x) ? f ?( x) ? 2mx ? 2e x ,则 a , b 是方程 h( x) ? 0 的两不等实根. ∵ h?( x) ? 2(m ? e x ) , 当 m ≤ 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (??, ??) 上单调递减, h( x) ? 0 不可能有两不等实根 当 m ? 0 时,由 h?( x) ? 0 得 x ? ln m , 当 x ? (??,ln m) 时, h?( x) ? 0 , x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 ∴当 hmax ( x) ? h(ln m) ? 2(m ln m ? m) ? 0 ,即 m ? e 时, h( x) ? 0 有两不等实根 ∴ m 的取值范围是 (e, ??) . ························ 8 分 ∵ f (a) ? ma 2 ? 2ea ,且 f ?(a) ? 2ma ? 2ea ? 0

f (a) ?

ea 2 ? a ? 2e a ? a ? e a ? 2e a ? e a ( a ? 2) , a

∵ h(0) ? ?2 ? 0 , h( x) 在区间 (0, ln m) 上单调递增, h(1) ? 2(m ? e) ? 0 ,∴ a ? (0,1) 设 ? ( x) ? e x ( x ? 2) (0 ? x ? 1) ,则 ? ?( x) ? e x ( x ? 1) ? 0 , ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减 ∴ f (1) ? f (a) ? f (0) 解: (Ⅰ)证明 即 ?e ? f (a) ? ?2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 AC ? BD,??ABC ? ?BCD . · 又 EC 为圆的切线,??ACE ? ?ABC, ? ?ACE ? ?BCD . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分

(Ⅱ) EC 为圆的切线,∴ ?CDB ? ?BCE , 由(Ⅰ)可得 ?BCD ? ?ABC · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分

CD BC ? ,∴ BC =3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 BC EB 2 2 23.解:(Ⅰ)曲线 C1 的一般方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 ,
∴△ BEC ∽△ CBD ,∴ 曲线 C 2 的一般方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分
2 2

两圆的公共弦所在直线为 y ? x ,

(2,0) 到该直线距离为 2 ,所以公共弦长为 2 2 2 ? 2 ? 2 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分
(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ,

2

曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? .

7分

设 M ( ? ,? ) ,则 P(2 ? , ? ) ,两点分别代入 C1 和 C 2 解得 ? ?

4 5 , 5

? 不妨取锐角 arcsin

5 , 5

所以 P(

8 5 5 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 , arcsin ) . · 5 5

1 ? 3 x ? 6( x ? ), ? ? 2 24.解: (Ⅰ) f ( x) ? ? ?? x ? 4( x ? 1 ). ? ? 2 ∴ f ( x) ? 0 的解为 x x ? 2或x ? ?4 . ··················· 5 分

?

?

(Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得, 2 x ? 1 ? ? ax ? 5 . ·················· 7 分 令 y ? 2 x ? 1 , y ? ?ax ? 5 ,作出它们的图象,可以知道,当 ? 2 ? a ? 2 时, 这两个函数的图象有两个不同的交点, 所以,函数 y ? f ( x) 有两个不同的零点. ·················· 10 分

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