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上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(三)试题


华东师大二附中 2015 届暑期练习(三) 数学试卷
一、填空题 (每小题 4 分,满分 56 分) 1.已知集合 A ? {x 0 ? x ? 3 , x ? R} , B ? {x x ? 1 ? 2 , x ? R } ,则 A ? B ? 2.已知数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列, Sn 是 ?an ? 的前 n 项和,则 lim 3.函数 f ( x

) ? . .

Sn = n ?? na n

2cos x sin x 的最小正周期为 sin x 2cos x



4.某小组中有 6 名女同学和 4 名男同学,从中任意挑选 3 名同学组成环保志愿者宣传队, 则这个宣传队由 2 名女同学和 1 名男同学组成的概率是 (结果用分数表示) .

5. 已知圆柱 M 的底面直径与高均等于球 O 的直径, 则圆柱 M 与球 O 的体积之比 V圆柱:V球 = . . 6. 已知 e1 、e2 是平面上两个不共线的单位向量, 向量 a ? e1 ? e2 ,b ? me1 ? 2e2 . 若a ? b, 则实数 m =

1 项. x 8. 已知直线 l1:x ? 3 y ? 1 ? 0 ,l2:x ? ty ? 1 ? 0 , 若直线 l1 与 . l2 的夹角为 60 ? ,则 t =
15 7.二项式 ( x ? ) 的展开式中系数最大的项是第

9.已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? arcsin(1 ? x) 的反函数,则

f ?1 ( x) ?



10. 阅读右边的程序框图, 如果输出的函数值 y 在区间 [ ,1] 内, 11.若等差数列 ?an ? 的首项为 a1 , 公差为 d ,前 n 项的和为 Sn , 则输入的实数 x 的取值范围是 x ? .

1 4

Sn S d } 为等差数列, 且通项为 n ? a1 ? ( n ? 1) ? . 类 n n 2 似地, 请完成下列命题: 若各项均为正数的等比数列 {bn } 的
则数列 { 首项为 b1 ,公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,则 12. 若集合 M ? ?( x, y ) x ? ( y ? 3) ? y ? 1 ? ( y ? 3),? . 13.已知 f ( x) ? x , ?1 ? x0 ? x1 ? x2 ?
2



? ? 它元素 (c, d ) ,总有 c ? a, 则 a ?

5 ? ? y ? 3?, (a, b) ? M , 且对 M 中其 2 ?

? xn ? 1 , an ?| f ( xn ) ? f ( xn?1 ) |, n ? N ? ,


Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an ,则 Sn 的最大值等于

14.平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,命题:

①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点; ③如果 k 与 b 都是有理数,则直线 y ? kx ? b 必经过无穷多个整点; ④如果直线 l 经过两个不同的整点,则 l 必经过无穷多个整点; ⑤存在恰经过一个整点的直线; 其中的真命题是 (写出所有真命题编号) .

二、选择题 (每小题 5 分,共 20 分) 15.在极坐标系中,圆 C 过极点,且圆心的极坐标是 (a, ) ( a ? 0 ),则圆 C 的极坐标方程是 ( ) B. ? ? 2a sin ? . C. ? ? ?2a cos ? . D. ? ? 2a cos ? .

? 2

A. ? ? ?2a sin ? .

16.已知 ?:| z |? 1, z ? C , ?:|z ? i |? a, z ? C .若 ? 是 ? 的充分非必要条件,则实数 a 的 取值范围是( A. a ? 1 .
2

) B. a ? 1 . C. a ? 2 .
2

D. a ? 2 .

17. 若 x0 ? 2 py0 ( p ? 0) , 则称点 ( x0 , y0 ) 在抛物线 C: 已知点 P(a,b) x ? 2 py( p ? 0) 外. 在抛物线 C: x2 ? 2 py( p ? 0) 外,则直线 l:ax ? p( y ? b) 与抛物线 C 的位置关系是 A.相交 相等,则这样的点共有( A.1 个. B.相切 ) C.3 个. D.无穷多个. C.相离 D.不能确定 18.在正方体 AC1 中,若点 P 在对角线 AC1 上,且 P 点到三条棱 CD 、A1D1、 BB1 的距离都 B.2 个.

三.解答题(本大题满分 74 分) 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面 ABC 是等腰直角三角形,

AB ? AC ? 1 ,侧棱 AA1 ? 底面 ABC ,且 AA1 ? 2 , E 是 BC 的中
点, F 是 AC 1 上的点. (1)求异面直线 AE 与 AC 1 所成角 ? 的大小(结果用反三角函数表 示) ; (2)若 EF ? AC 1 ,求线段 CF 的长.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 已知函数 f ( x) ? 2x ? a ? 2? x ( a ? R ) . (1)讨论函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若函数 f ( x ) 在 ( ??, 2] 上为减函数,求 a 的取值范围.

2 错误!未指定书签。 . (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小 题满分 8 分 电视传媒为了解某市 100 万观众对足球节目的收视情况, 随机抽取了 100 名观众进行调 查. 如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图, 将每周 平均收看足球节目时间不低于 1.5 小时的观众称为“足球迷”, 并将其中每周平均收看足 球节目时间不低于 2.5 小时的观众称为“铁杆足球迷”. (1)试估算该市“足球迷”的人数,并指出其中“铁 杆足球迷”约为多少人; (2)该市要举办一场足球比赛,已知该市的足球场可
0.72

频率 组距

容纳 10 万名观众.根据调查,如果票价定为 100 元/张, 0.52
0.44

则非“足球迷”均不会到现场观看,而“足球迷”均愿意 前往现场观看.如果票价提高 10 x 元/张 ( x ? N ) ,则“足 0.10 球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少
0.06
0 0.5

0.16

小时
1

1.5

2

2.5

3

10 x% , “铁杆足球迷” 愿意前往观看的人数会减少

100 x %. 问票价至少定为多少元/张时, x ? 11

才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过 10 万人?

22. (本题满分 16 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 已知点 P 是椭圆 C 上任一点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1 , 0) 的距 离为 d2 ,且

d2 2 .直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A 、 B ( A , B 都在 轴上方 ) ,且 x ? d1 2 ?OFA ? ?OFB ? 180? . (1)求椭圆 C 的方程;
(2)当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 方程; (3)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?

若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

23. (本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分 若正项数列 {an } 满足条件:存在正整数 k ,使得 则称数列 {an } 为 k 级等比数列.

an ? k a ? n 对一切 n ? N ? , n ? k 都成立, an an ?k

(1)已知数列 {an } 为 2 级等比数列,且前四项分别为 4, , 2,1 ,求 a8 ? a9 的值;
n (2)若 an ? 2 sin( ? n ? )( ? 为常数) ,且 {an } 是 3 级等比数列,求 ? 所有可能值的集合,

?

1 3

并求 ? 取最小正值时数列 {an } 的前 3n 项和 S3n ; (3) 证明: {an } 为等比数列的充要条件是 {an } 既为 2 级等比数列, {an } 也为 3 级等比数列.

6

参考答案
一、填空题 1. {x ? 1 ? x ? 3} 5. 3:2 9. 1 ? sin x x ? [ ? 2.

1 2
10. [?2, 0]

3. ? 7. 9

4.

1 . 2

6.2

8.0 或 3

? ?

, ] 2 2

11.数列 {n Tn } 为等比数列,且通项为 n Tn ? b1 ( q )n ?1 . 12.

9 4
15.B 16.C

13.2

14.①④⑤

二选择题

17.A

18. D

三、解答题 19.(本题 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. AE 与 AC 解: (1)取 B1C1 的中点 E1 ,连 A1E1 ,则 A1E1 // AE ,即 ?CA 1 1E1 即为异面直线 所成的角 ? .????(2 分) 连 E1C . 在 Rt ?E1C1C 中,由 E1C1 ? 知 A1C ?

2 , CC1 ? 2 2

1 3 2 ?4 ? 2 2

在 Rt ?AC ? 5 ??(4 分) 1 1C 中,由 AC 1 1 ? 1 , CC1 ? 2 知 AC 1 在 ?A 1E1C 中, cos ? ?

(

2 2 3 2 2 ) ? ( 5) 2 ? ( ) 1 10 2 2 ? ? 10 2 10 2? ? 5 2

∴ ? ? arccos

10 ????(6 分) 10
1 1 5 2 5 , 0) , F (0,1 ? x, x) , 2 2 5 5

(2)以 A 为原点,建立如图空间直角坐标系,设 CF 的长为 x 则 各 点 的 坐 标 为 , E( ,

A1 (0,0, 2) , C (0,1, 0) ??(2 分)
1 1 5 2 5 , ? x, x) , AC ? (0,1, ?2) 1 2 2 5 5 由 EF ? AC ? 0 ????(4 分) 1 知 EF ? AC 1
∴ EF ? (?

5 1 5 2 5 ? x ? 2? x ? 0 ,解得 x ? 10 2 5 5 5 ∴线段 CF 的长为 ????(6 分) 10
即 20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解: (1) f (? x) ? 2

? a ? 2x ????(1 分) 若 f ( x ) 为偶函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? x) , x ?x ?x x 即 2 ? a?2 ? 2 ? a?2 , 2x (1 ? a) ? 2? x (1 ? a) , (2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都 x ?x 成立。由于 2 ? 2 不恒等于 0 ,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? 1 ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是偶函
数。????(4 分) 若 f ( x ) 为奇函数,则对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? ? f (? x) ,
x ?x ? 2? x ? a ? 2x ? 0 ,(2x ? 2? x )(1 ? a) ? 0 对任意的 x ? R 都成立。 由于 2 ? 2 不恒等于 0,故有 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ∴当 a ? ?1 时, f ( x ) 是奇函数。?(6 分) ∴当 a ? 1 时, f ( x ) 是奇函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是偶函数;当 a ? ?1 时, f ( x ) 是非奇

?x

即 2 ? a?2
x

?x

非偶函数。????(7 分) ( 2 ) 因 函 数 f ( x ) 在 ( ??, 2] 上 为 减 函 数 , 故 对 任 意 的 x1 ? x2 ? 2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,????(2 分) a x x 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2 1 ? 2 2 )(1 ? x x ) ? 0 恒成立。?(4 分) 1 2 22 a x x x x 由 2 1 ? 2 2 ? 0 ,知 1 ? x x ? 0 恒成立,即 2 1 ? 2 2 ? a 恒成立。 1 2 2 2 x x 由于当 x1 ? x2 ? 2 时 (2 1 ? 2 2 )max ? 4 ????(6 分) ∴ a ? 4 ????(7 分)

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 解: (1)样本中“足球迷”出现的频率= (0.16 ? 0.10 ? 0.06) ? 0.5 ? 16% ????(2 分) “足球迷”的人数= 100 ?16% ? 16 (万)????(4 分) “铁杆足球迷”= 100 ? (0.06 ? 0.5) ? 3 (万)
所以 16 万“足球迷”中, “铁杆足球迷”约有 3 万人. ????(6 分) (2)设票价为 100 ? 10 x 元,则一般“足球迷”中约有 13(1 ? 10 x%) 万人, “铁杆足球迷”

约有 3(1 ?

100 x %) 万人去现场看球. ????(3 分) x ? 11

令 13(1 ? 10 x%) ? 3(1 ?
2

100 x 13x 3x %) ? 16 ? ? ? 10 ????(5 分) x ? 11 10 x ? 11

化简得: 13x ? 113x ? 660 ? 0

解得: x ? ?

165 , 或x ? 4 ,由 x ? N ,? x ? 4 13

??(7 分)

即平均票价至少定为 100+40=140 元,才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过 10

万人. ????(8 分) 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解:解: (1)设 P ( x, y ) ,则 d1 ?| x ? 2 |, d 2 ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ,????????(2 分)

( x ? 1) 2 ? y 2 d2 2 ? ? d1 | x?2| 2

x2 x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆 C 的方程为: ? y 2 ? 1????(4 分) 2 2 1? 0 ? 1, (2) A(0,1), F (?1, 0) ? k AF ? 0 ? (?1) ?OFA ? ?OFB ? 180 ? kBF ? ?1, BF : y ? ?1( x ? 1) ? ? x ? 1 ????(3 分)
化简得: 代入

x2 4 ? y 2 ? 1得: 3x 2 ? 4 x ? 0 ,? x ? 0, 或x ? ? ,代入 y ? ? x ? 1 得 3 2 4 ? x?? ? ? x?0 4 1 ? 3 (舍),或? ,? B ( ? , ) ????(5 分) ? 3 3 ? y ? ?1 ? y?1 ? 3 ? 1 1? 3 ? 1 ,? AB : y ? 1 x ? 1,????(6 分) k AB ? 4 2 0 ? (? ) 2 3

(3)解法一:由于 ?OFA ? ?OFB ? 180 , k AF ? kBF ? 0 。????(1 分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 设直线 AB 方程: y ? kx ? b ,代入

x2 ? y 2 ? 1得: 2

1 (k 2 ? ) x 2 ? 2kbx ? b 2 ? 1 ? 0 ????(3 分) 2 2kb b2 ? 1 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 y y kx ? b kx2 ? b (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) k AF ? kBF ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ?0 x1 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? (kx1 ? b)( x2 ? 1) ? (kx2 ? b)( x1 ? 1) ? 2kx1 x2 ? ( k ? b)( x1 ? x2 ) ? 2b

b2 ? 1 2kb ? ( k ? b) ? ? 2b ? 0 1 1 2 2 k ? k ? 2 2 ? b ? 2k ? 0 ,????(5 分) 直线 AB 方程: y ? k ( x ? 2) ? 直线 l 总经过定点 M (?2,0) ????(6 分) 解法二:由于 ?OFA ? ?OFB ? 180 ,所以 B 关于 x 轴的对称点 B1 在直线 AF 上。 ? 2k ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), B1 ( x2 , ? y2 )

A

y
x

x2 B ? y 2 ? 1得: 设直线 AF 方程: y ? k ( x ? 1) ,代入 M 2 F 1 ( k 2 ? ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 B 1 2 2 2 2k k ?1 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 y1 ? y2 y1 ? y2 , AB : y ? y1 ? k AB ? ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 ,得: x1 ? x2 x1 ? x2 x ?x x y ?x y x ? x1 ? y1 1 2 ? 2 1 1 2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? k ( x1 ? 1) , ? y2 ? k ( x2 ? 1) x y ?x y x ? k ( x1 ? 1) ? x1 ? k ( x2 ? 1) 2 x1 x2 ? x1 ? x2 x? 2 1 1 2 ? 2 ? y1 ? y2 k ( x1 ? 1) ? k ( x2 ? 1) x1 ? x2 ? 2

O

2? ?

k 2 ?1 2k 2 ? 1 1 k2 ? k2 ? 2 2 ? ?2 2 2k 2? 1 k2 ? 2

? 直线 l 总经过定点 M (?2,0)
23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

a4 3 1 3 ) ? ? 3 ? 9 ????(2 分) a2 3 a 1 1 a9 ? a1 ( 3 )4 ? 4 ? 4 ? a1 2 4 9 ? a8 ? a9 ? ????(4 分) 4 a a (2) {an } 是 3 级等比数列, n ?3 ? n an an ?3 ? ? ? [2n sin(? n ? )]2 ? 2n ?3 sin[(? n ? ) ? 3? ] 2n ?3 sin[(? n ? ) ? 3? ] ??(1 分) 6 6 6 ? ? ? sin 2 (? n ? ) ? sin[(? n ? ) ? 3? ] sin[(? n ? ) ? 3? ] 6 6 6 ? ? ? sin 2 (? n ? ) cos 2 3? ? cos 2 (? n ? ) sin 2 3? 6 6 ? ? ? sin 2 (? n ? ) cos 2 3? ? cos 2 (? n ? ) sin 2 3? 6 6 ? ? sin 2 (? n ? ) ? sin 2 3? 6 k? 2 (k ? Z ), 所以 sin 3? ? 0 , 3? ? k? (k ? Z ),?? ? 3 k? ? ? ? {? | ? ? (k ? Z )} ??(3 分) 3 ? n? ? ? 最小正值等于 ,此时 an ? 2n sin( ? ) 3 3 6 1 1 an ?3 ? ?8 , a1 ? 2 ?1 ? 2, a2 ? 4 ? ? 2, a3 ? 8 ? (? ) ? ?4 ,?a1 ? a2 ? a3 ? 0 2 2 an
解 (1) a8 ? a2 (

a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ? (a1 ? a2 ? a3 )(?8)n?1 ? 0 ??(5 分) S3n ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? (a3n?2 ? a3n?1 ? a3n ) ? 0 ??(6 分) a a (3)充分性:若 {an } 为等比数列,则 n ? k ? n ? q k an an ? k
对一切 k ? N 成立,显然对 k ? 2,3 成立。 所以 {an } 既为 2 级等比数列, {an } 也为 3 级等比数列。??(2 分)
?

an? 2 a ? n ,则 {a2n?1},{a2n } 均成等比数列,设等比数 an an ?2 a a 列 {a2 n?1},{a2 n } 的公比分别为 q1 , q2 , {an } 为 3 级等比数列, n ?3 ? n ,则 {a3n?2 } 成等 an an ?3
必要性:若 {an } 为 2 级等比数列,

比数列,设公比为 Q ??????(3 分)

a7 ? q13 ? Q2 a1 a 3 a4 , a10 既是中 {a2 n } 的项,也是中 {a3n?2 } 的项, 10 ? q2 ? Q2 a4

a1 , a7 既是中 {a2n?1} 的项,也是 {a3n?2 } 中的项,

3 3 q1 ? q2 ? Q2 ,?q1 ? q2 ??????(5 分)

设 q1 ? q2 ? q2 ,则 Q ? q3
n?1 n?1 2 2 n? 所以 a2n?1 ? a1q1 , a2n ? a ( n? N* ) , ? a1q2n?2 ( n ? N * ) ?a q 2 2q 2

又 a4 ? a1Q ? a1q3 , a4 ? a2 q2 ? a2 q 2 , 所以 a2 ? a1q ,??????(7 分)

a2n ? a1q2n?1 ( n ? N * )
所以, a2n?1 ? a1q2n?2 , a2n ? a1q 2n?1 ( n ? N )
*

综合得: an ? a1qn?1 (n ? N ? ) ,显然 {an } 为等比数列。??????(8 分)


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