当前位置:首页 >> 数学 >>

【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性突破热点题型 文


第三节

函数的奇偶性与周期性

考点一 [例 1]
x
-x

函数奇偶性的判断
x
-x

(1)若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则(

)

A.f(x)与 g(x)均为偶函数

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 (2)下列函数: ①f(x)= 1-x + x -1;②f(x)=x -x; 1-x 2 ③f(x)=l n(x+ x +1);④f(x)=ln . 1+x 其中奇函数的个数是( A.1 B.2 ) C.3
-x 2 2 3

D.4
x
-x

[自主解答] (1)由 f(-x)=3 +3 =f(x)可知 f(x)为偶函数,由 g(-x)=3 -3 = -(3 - 3 )=-g(x)可知 g(x)为奇函数. (2)①f(x)= 1-x + x -1的定义域为{-1,1}, 又 f(-x)=±f(x)=0, 则 f(x)= 1-x + x -1既是奇函数又是偶函数; ②f(x)=x -x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x) -(-x)=-(x -x)=-f(x), 则 f(x)=x -x 是奇函数; ③由 x+ x +1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x +1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln (-x+ -x
2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 -x

x

x

+1)=ln

=-ln(x+ x +1)=-f(x),则 x+ x +1
2

1

2

f(x)=ln(x+ x2+1)为奇函数;
1-x 1-x ④由 >0,得-1<x<1,即 f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x ?1-x?-1=-ln1-x=-f(x),则 f(x)为奇函数. 又 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x? [答案] (1)B (2)D

1

【互动探究】 若将本例(2)中①对应的函数改为“f(x)= 1-x+ x-1”,试判断其奇偶性. 解:∵函数 f(x)= 1-x+ x-1的定义域为{1},不关于原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 【方法规律】 判断函数奇偶性的方法 (1)判断函数的奇偶性,首先看函数的定义域是否关于原点对称;在定义域关于原点对 称的条件下,再化简解析式,根据 f(-x)与 f(x)的关系作出判断. (2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数,分段函数奇偶性的判断, 要分别从 x >0 或 x<0 来寻找等式 f(-x)=f(x)或 f( -x)=-f(x)成立, 只有当对称的两 个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性.

判断下列各函数的奇偶性: (1)f(x)=(x+1)
2

1-x ; 1+x

-x (2)f(x)= ; |x-2|-2 (3)f(x)=?
?x +x, ?
2 2

x<0,

? ?-x +x,x>0.

1+x≠0, ? ? 解:(1)由?1-x ≥0 ? ?1+x 偶函数.
?1-x >0 ? (2)由? ?|x-2|≠2 ?
2

得,定义域为(-1,1],关于原点不对称,故 f(x)为非奇非

得,定义域为(-1,0)∪(0,1). -x -x
2 2

∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x )= lg [1- -x 又∵f(-x)=
2

.

x

] =-

-x -x

=-f(x),

∴函数 f(x)为奇函数. (3)显然函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. ∵当 x<0 时,-x>0, 则 f(-x)=-(-x) -x=-x -x=-f(x); 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x) -x=x -x=-f(x);
2
2 2 2 2

综上可知,对于定义域内的任意 x,总有 f(-x)=-f(x)成立,∴函数 f(x)为奇函数. 考点二 函数奇偶性的应用

[例 2] (1)(2013·湖南高 考)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1) =2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于( A.4 B.3 C.2 ) D.1
3

(2)(2013·重庆高考)已知函数 f(x)=ax +bsin x+4(a,b∈R),f(l g(log210))=5, 则 f(lg(lg 2))=( A.-5 ) C.3 D.4

B.-1

(3)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则 实数 a 的取值范围是________. [自主解答]
? ?-f ? ? ?f

(1) 由 已 知 得 f( - 1) = - f(1) , g( - 1) = g(1) , 则 有 解得 g(1)=3.

+g +g

=2, =4,
3

(2)∵f(x)=ax +bsin x+4,① ∴f(-x)=a(-x ) +bsin(-x)+4, 即 f(-x)=-ax -bsin x+4,② ①+②得 f(x)+f(-x)=8,③ 又∵lg(log210)=lg?
3 3

? 1 ?=lg(lg 2)-1=-lg(lg 2), ? ?lg 2?

∴f(lg(log2 10))=f(-lg(lg 2))=5, 又由③式知

f(-lg(lg 2))+f(lg(lg 2))=8,
∴5+f(lg(lg 2))=8, ∴f(lg(lg 2))=3. (3)∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数, ∴函数 y=f(x)在[0,+∞)上是增函数. ∴当 a>0 时,由 f(a)≥f(2)可得 a≥2, 当 a<0 时,由 f(a)≥f(2)=f(-2),可得 a≤-2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). [答案] (1)B (2) C 【互动探究】 若本例(3)中的 f(x)为奇函数,求实数 a 的取值范围. 解:因为 f(x)为奇函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以 f(x)在 R 上为减函数.又 (3)(-∞,-2]∪[2,+∞)

f(a) ≥f(2),故 a≤2,即实数 a 的取值范围为(-∞,2].
3

【方法规律】 与函数奇偶性有关的问题及解决方法 (1)已知函数的奇偶性,求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)已知函数的奇偶性求解析式 将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构 造关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值 常常利用待定系数法:利用 f(x)±f(-x )=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的 对等性得参数的值或方程求解. (4)应用奇偶性画图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.

1.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=e ,则 g(x)=( A.e -e
x
-x

x

)

1 x -x B. (e +e ) 2 1 x -x D. (e -e ) 2
x

1 -x x C. (e -e ) 2

解析:选 D ∵f(x)+g(x)=e ,① ∴f(-x)+g(-x)=e . 又∵f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x), ∴f(x)-g(x)=e .②
? ?f 由①②得? ? ?f
-x -x

x +g x =ex, x -g x =e-x,

1 x -x 解得 g(x)= (e -e ). 2 2.(2014·杭州模拟)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数.当 x≥0 时,f(x)=2 +2x+b(b 为常数),则 f(-1)=( A.-3 C.1 B.-1 D.3
0

x

)

解析:选 A 因为 f (x)为定义在 R 上的奇函数,所以 f(0)=2 +2×0+b=0,解得 b =-1.所以当 x≥0 时,f(x)=2 +2x-1,所以 f(-1)=-f(1)=-(2 +2×1-1)=-3.
x
1

考点三

函数的周期性

[例 3] 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x). 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x
4

+2) ;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 012)=( A.335 B.338 C.1 678 D.2 012

2

)

[自主解答] 由 f(x+6)=f(x)可知, 函数 f(x)的周期为 6, 所以 f(-3)=f(3)=-1,

f(-2)=f(4)=0,f(-1)=f(5)=-1,f(0)=f(6)=0,f(1)=1,f(2)=2,所以在一个
周期内有 f(1)+f(2)+?+f(6)=1+2-1+0-1+0=1,所以 f(1)+f(2)+?+f(2 012) =f(1)+f(2)+335×1=1+2+335=338. [答案] B 【方法规律】 函数周期性的判定 判 断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数, 且周期为 T, 函数的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题.

设 f(x) 是 定 义 在 R 上 且 周 期 为 2 的 函 数 , 在 区 间 [ - 1,1] 上 , f(x) =

ax+1,-1≤x<0, ? ? ?bx+2 ,0≤x≤1, ? ? x+1

?1? ?3? 其中 a,b∈R.若 f? ?=f? ?,则 a+3b 的值为________. ?2? ?2?

?3? ? 1? 且 f(-1)=f(1), 解析: 因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数, 所以 f? ?=f?- ?, ?2? ? 2?
1 b+2 2 1? ? 1? 1 ? 故 f? ?=f?- ?,所以 =- a+1,即 3a+2b=-2.① 1 2 ?2? ? 2? +1 2 由 f(-1)=f(1),得-a+1=

b+2
2

,即 b=-2a.②

由①②得 a=2,b=-4,从而 a+3b=-10. 答案:-10

高频考点

考点四

函数性质的综合应用

1.高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题,以选择题或填空题的形式考 查,难度稍大,为中高档题. 2.高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度: (1)单调性与奇偶性相结合; (2)周期性与奇偶性相结合; (3)单调性、奇偶性与周期性相结合.
5

[例 4] (1)(2013·北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减 的是( )

1 A.y=

x
2

B.y=e

-x

C.y=-x +1

D.y=lg|x|

(2)(2014·南昌模拟)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则( )

A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) (3)(2012·浙江高考)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]时,

f(x)=x+1,则 f? ?=________. 2
1 ?1?x -x [自主解答] (1)A 中 y= 是奇函数,A 不正确;B 中 y=e =? ? 是非奇非偶函数,B x ?e? 不正确;C 中 y=-x +1 是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确;D 中 y=lg|x| 在(0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选 C. (2)∵f(x)满足 f(x-4)=-f(x), ∴f(x-8)=f(x),∴函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数,则 f(-25)=f(-1),f(80) =f(0),f(11)=f(3). 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x-4)=-f(x),得 f(11)=f(3)=-f(-1) =f(1). ∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在 R 上是奇函数, ∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数, ∴f(-1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f(11). 3 ?3? ? 1? ?1? 1 (3)f? ?=f?- ?=f? ?= +1= . 2 ?2? ? 2? ?2? 2 3 [答案] (1)C (2)D (3) 2
2

?3? ? ?

函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图 象的对称性. (2)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变
6

换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (3)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在 的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.

1.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上的解集为( A.(1,3) ) B.(-1,1)

C.(-1,0)∪(1,3) D.(-1,0)∪(0,1) 解析:选 C f(x)的图象如图.

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0 得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)<0 得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0 得 x∈(1,3). 故 x∈(-1,0)∪(1,3). 2.(2014·潍坊模拟)已知函数 f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不 相等实数 x1、x2,不等式(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)] <0 恒成立,则不等式 f(1-x)<0 的解 集为________. 解析:∵f(x+1)是定义在 R 上的奇函数,∴f(-x+1)=-f(x+1),令 x=0,则 f(1) =0.又∵(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0,∴f(x)在 R 上单调递减,∵f(1-x)<0=f(1),∴ 1-x>1,解得 x<0,∴不等式 f(1-x)<0 的解集为(-∞,0). 答案:(-∞,0) 3.(2014·丽水模拟)已知定义在 R 上的奇 函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数.若方程 f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根 x1,x2,x3,x4, 则 x1+x2+x3+x4=________. 解析:∵f(x)为奇函数并且 f(x-4)=-f(x). ∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即 f(4-x)=f(x),且 f(x-8)=-f(x-4)=f(x), 即 y=f(x)的图象关于 x=2 对称,并且是周期为 8 的周期函数. ∵f(x)在[0,2]上是增函数, ∴f(x)在[-2,2]上是增函数,在[2,6]上为减函数,据此可画出 y=f(x)的图象,

7

其图象也关于 x=-6 对称, ∴x1+x2=-12,x3+x4=4, ∴x1+x2+x3+x4=-8. 答案:-8 ————————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 条规律——奇、偶函数定义域的特点 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 个性质——奇、偶函数的两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇, 奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 条结论——与周期性和对称性有关的三条结论 (1)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x), 则 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则 y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若对于定义域内的任意 x 都有 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),则函数 f(x)是周期函数, 其中一 个周期为 T=2|a-b|.

8


相关文章:
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 函数的奇偶性与周期性 ...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性突破热点题型 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性突破热点题型 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 函数的奇偶性与周期性 ...
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性限时集训 理
【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性限时集训 理_学科竞赛_高中教育_教育专区。限时集训(五) 函数的奇偶性与周期性 (限时...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第二节 函数的单调性与最值演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第二 函数的单调性与最值演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第二 函数的单调性与最值 [全...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程突破热点题型 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程突破...(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第九节 函数模型及其应用 [全盘巩固]...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第一节 函数及其表示演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第一 函数及其表示演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第一 函数及其表示 [全盘巩固] 1.函数...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用突破热点题型 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第九节 函数模型及其应用突破热点题型 文_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 116...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第二章 第五节 指数与指数函数演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第五节 指数与指数函数 [全盘巩固] a...
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程演练知能检测 文
【创新方案】(浙江专版)2015届高考数学一轮复习 第八章 第三节 圆的方程演练知能检测 文_数学_高中教育_教育专区。第三节 圆的方程 [全盘巩固] 1.若直线 3x...
更多相关标签: