当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

数学奥林匹克竞赛解题方法(第6讲 设想法)


第6讲
课时:3 课时 教学课型:理论课

数学解题方法(设想法)

教学目的: 让学生对数学解题方法之一设想法的知识有个全面的认识,并由此产生兴趣。 教学重点与教学难点:

? 运用设想法进行有效地解决数学问题。 教学内容:
? ? 心理学家纽亏尔和西蒙提出:熟悉的知识和技能是问题解决者“可能信步漫

游的网络” 沈文选教授在《中学数学解题典型方法例说》中指出:在解数学竞赛试题中,仔细分析了题目条件和结论 后,为了拟定出初步的解题计划,常常作一些假设:假定题目的结论具有某种性质或形式;假定题目可以 化成某种特定的类型; 假定某种解题方法可以应用到本题中; 假定题设条件中还可发掘出某种我们希望有 的隐含条件等等.借助于假定的参与,形成新构思,实施之后,或导出矛盾促使我们在假定,或使问题获得展 开思路,这样的解题方法称之为设想法.

例1 直线

x y x2 y2 ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于两点 A, B ,椭圆上有点 P ,使得 ?PAB 面积等于 3,这样的点 P 4 3 16 9
)个. (CMO—2002)
______

共有(

例2 设三位数为 n ? abc ,若以 a, b, c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数 n 有 ( ). (CMO-2004)

例3 设 a ? R, A ? {x | 21? x ? 21? x ? a}, B ? {sin ? | ? ? R} . 若 A ? B 中有且仅有一个元素 , 试求 a 的取值范 围.(《中等数学》2004 年 5 期奥林匹克训练试题) 例4 证 明 : 正 整 数 A 是 完 全 平 方 数 的 充 分 必 要 条 件 是 对 于 任 意 正 整 数

n, ( A ? 1) 2 ? A, ( A ? 2) 2 ? A, ?, ( A ? n) 2 ? A, 中至少有一项可以被 n 整除.(第 51 届捷克和斯洛伐克
数学奥林匹克训练(决赛)试题) 例5 试证任何 11 个连续正整数中,定有一个数(设为 k ),使得 (k ,210) ? 1. (《数学通报》问题 1488 题) 例6 在平面直角坐标系 xOy 中 , 给定三点 A(0, ), B ( ?1,0), C (1,0) , 点 P 到直线 BC 的距离是该点到直线

4 3

AB, AC 距离的等比中项.
(1) 求点 P 的轨迹方程; (2) 若直线 ? 经过 ?ABC 的内心(设为 D ),且与点 P 的轨迹恰好有 3 个公共点,求直线 ? 的斜率的取值范围. (CMO-2004) 例7 设 n 是给定的正整数,且 n ? 3 .对于 n 个实数 x1 , x 2 , ?, x n ,记 | xi ? x j | (1 ? i ? j ? n) 的最小值为 m ,若
2 2 x12 ? x2 ? ? ? xn ? 1,试求 m 的最大值. (《中等数学》2004 年 1 期奥林匹克训练试题)

1

例8 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2bx ? 1 和 g ( x) ? 2a( x ? b) ,其中 x, a, b 均为实数,使 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在

xOy 平面上的图象不相交的实数对 ( a, b) 组成点集 A .那么, A 在 aOb 平面上表示的图形 S 的面积为
( )(2002 年安徽省竞赛试题)
2

例9 设关于 x 的一元二次方程 2 x ? tx ? 2 的两个根为 ? , ? (? ? ? ) .(1)若 x1 , x 2 为区间 [? , ? ] 上的两个不同 的点,求证: 4 x 2 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ;(2)设 f ( x) ?

4x ? t , f ( x) 在区间 [? , ? ] 上的最大值与最小 x2 ?1

值分别为 f max 和 f min ,求 g (t ) 的最小值. (2002 年湖南省竞赛试题) 例10 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 1 ,求证: ( x ? 题) 例11 求方程组 ?

y )(

1 1? x

?

1 1? y

) ?1?

2 . (《数学教学》问题 602 2

? x ? y ? zt 的非负整数解. (《数学通报》问题 1471 题) z ? t ? xy ?

?1 是 例12 试 求 出 所 有 满 足 下 列 条 件 的 正 整 数 a, b, c, d , 其 中 1 ? a ? b ? c ? d , 使 得 a b c d

(a ? 1)(b ? 1)(c ? 1)(d ? 1) 的整数倍. (《数学通报》问题 1494 题)
例13 在 ?ABC 中 AB ? AC , ? B 的平分线交 AC 于 D ,且 BC ? BD ? AD .求 ? A . ( 《数学通报》 问题 1506 题) 例14 对于正整数 n(n ? 2) ,定义 f ( n) 为集合 S 中元素个数的最小值,集合 S 满足最小的元素 1 ? S ,最大的元 素 n ? S , 且 对 于 异 于 1 的 每 个 元 素 都 是 S 中 两 个 元 素 的 和 ( 可 以 相 同 ). 证 明 : (1) f (n) ? [log2 n] ? 1 ;(2)有无穷多个 n ,使得 f (n) ? f (n ? 1) .(第 53 届罗马尼亚数学奥林匹克(第二 轮)试题) 例15 设非负实数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满足 试题)

1 ? 1.求证: ? i ?1 1 ? x i

5

?4? x
i ?1

5

xi

2 i

? 1 .(2003 年中国西部数学奥林匹克

2


相关文章:
数学奥林匹克竞赛解题方法(第6讲 设想法)
数学奥林匹克竞赛解题方法(第6讲 设想法)_学科竞赛_高中教育_教育专区。第6讲课时:3 课时 教学课型:理论课 数学解题方法(设想法) 教学目的: 让学生对数学解题...
数学奥林匹克竞赛解题方法(第11讲 等式问题的求解)
数学奥林匹克竞赛解题方法(第11讲 等式问题的求解)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第 11 讲 数学解题方法(等式问题的求解)课时:3 课时 教学课型:理论课 ...
《数学奥林匹克专题讲座》第18讲 数学方法选讲2
数学奥林匹克专题讲座》第18讲 数学方法选讲2_学科竞赛_小学教育_教育专区。...他用了 如下的测定法: (1)把 8 个物品分成 2 组,每组 4 个,比较这 2...
数学奥林匹克预赛6
数学奥林匹克预赛6_从业资格考试_资格考试/认证_...第三个小洞的挖法与前两个 相同,边长为厘米,那么...用这种方法计算 了四次,分别得到以下四个数:85,92...
6高中奥林匹克物理竞赛解题方法六:递推法
高中奥林匹克竞赛(奥赛培训)高中奥林匹克竞赛(奥赛培训)隐藏>> 高中奥林匹克物理竞赛解题方法 、递推法方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. ...
高中奥林匹克物理竞赛解题方法6递推法
高中奥林匹克物理竞赛解题方法6递推法_学科竞赛_高中教育_教育专区。竞赛解题方法六、递推法方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及...
小学六年级数学奥林匹克竞赛题解析
小学年级数学奥林匹克竞赛题解析_六年级数学_数学...答题情况分为 7 类:只答第 1 题, 只答第 2 ...同的取法,每人取 2 件时,有 6 种不同的取法....
数学奥林匹克专题讲座 第02讲 数论的方法技巧(下)
数学奥林匹克专题讲座》第 2 讲 数学奥林匹克专题...六、配对法 配对的形式是多样的,有数字的凑整配对...取值范围,以获 取有关量的本质特征,达到解题的目的...
第6讲 变化规律
第6讲 变化规律_学科竞赛_小学教育_教育专区。第6讲一、知识要点 和、差的规律见下表(m≠0) 一个加数(a) 〒m 不变 〒m 被减数(a) 〒m 不变 〒m ...
更多相关标签:
奥林匹克数学竞赛 | 国际奥林匹克数学竞赛 | 头脑奥林匹克竞赛题目 | 世界奥林匹克竞赛 | 信息学奥林匹克竞赛 | 奥林匹克竞赛 | 国际化学奥林匹克竞赛 | 世界奥林匹克数学竞赛 |