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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第9章 第4节 线面、面面平行的判定与性质


第九章

第四节

一、选择题 1.(2014· 广东揭阳一模)设平面 α,β,直线 a,b,a?α,b?α,则“a∥β,b∥β”是“α ∥β”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B

[解析] 由平面与平面平行的判定定理可知,若直线

a,b 是平面 α 内两条相交直线,且 有“a∥β,b∥β”,则有“α∥β”,当“α∥β”时,若 a?α,b?α,则有“a∥β,b∥β”, 因此“a∥β,b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 2.(文)已知 l 是直线,α、β 是两个不同平面,下列命题中的真命题是( A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β C.若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β [答案] C [解析] 如图在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,取平面 ADD1A1 为 α,平面 ABCD 为 β,B1C1 为 l,则排除 A、B; 又取平面 ADD1A1 为 α,平面 BCC1B1 为 β,B1C1 为 l,排除 D. B.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β D.若 l∥α,α∥β,则 l∥β )

(理)(2013· 浙江金华十校期末)设 α 是空间中的一个平面,l,m,n 是三条不同的直线,则 下列命题中正确的是( )

A.若 m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则 l⊥α B.若 m?α,n⊥α,l⊥n,则 l∥m C.若 l∥m,m⊥α,n⊥α,则 l∥n D.若 l⊥m,l⊥n,则 n∥m [答案] C [解析] m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,需要 m 与 n 相交才有 l⊥α,A 错误;若 m?α,n⊥α, l⊥n,l 与 m 可能平行、相交,也可能异面,B 错误;若 l⊥m,l⊥n,n 与 m 可能平行、相交, 也可能异面,D 错误.
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3.(2014· 沈阳模拟)已知直线 a,b,平面 α,则以下三个命题:①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥b,a∥α,则 b∥α;③若 a∥α,b∥α,则 a∥b. 其中真命题的个数是( A.0 C .2 [答案] A [解析] ①错误,没有指出 a?α; ②错误,没有指出 b?α; ③错误,a∥α,b∥α 时,a 与 b 可能平行,也可能相交、异面,故选 A. 4.(文)(2013· 浙江嘉兴一模)已知 α,β 是空间中两个不同平面,m,n 是空间中两条不同 直线,则下列命题中错误的是( A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β [答案] B [解析] 选项 B 中不能判定 m∥n,m 与 n 的位置关系还有可能为异面. (理)已知 m、n 是两条直线,α、β 是两个平面,给出下列命题:①若 n⊥α,n⊥β,则 α∥ β;②若平面 α 上有不共线的三点到平面 β 的距离相等,则 α∥β;③若 n、m 为异面直线,n ?α,n∥β,m?β,m∥α,则 α∥β.其中正确命题的个数是( A.3 个 C .1 个 [答案] B [解析] 垂直于同一直线的两个平面平行,故①正确;对于②,若平面 α 上的三点在平面 β 的异侧,则它们相交,故②错;根据线面平行的性质定理和面面平行的判定定理,可知③正 确. 5.(文)给出下列命题,其中正确的两个命题是( ) B.2 个 D.0 个 ) ) ) B.1 D.3

①直线上有两点到平面的距离相等,则此直线与平面平行;②夹在两个平行平面间的两 条异面线段的中点连线平行于这两个平面;③直线 m⊥平面 α,直线 n⊥直线 m,则 n∥α;④ a,b 是异面直线,则存在唯一的平面 α,使它与 a,b 都平行且与 a,b 的距离相等. A.①与② C.③与④ [答案] D [解析] 直线上有两点到平面的距离相等, 则此直线可能与平面平行, 也可能和平面相交; B.②与③ D.②与④

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直线 m⊥平面 α,直线 m⊥直线 n,则直线 n 可能平行于平面 α,也可能在平面 α 内,因此① ③为假命题. (理)对于平面 α 和共面的直线 m、n,下列命题是真命题的是( A.若 m,n 与 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m?α,n∥α,则 m∥n [答案] D [解析] 正三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA、PB 与底面成角相等,但 PA 与 PB 相交应排除 A; 若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行或相交,应排除 B;若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,应排 除 C. ∵m、n 共面,设经过 m、n 的平面为 β, ∵m?α,∴α∩β=m, ∵n∥α,∴n∥m,故 D 正确. 6.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为棱 AB、CC1 的中点,在平面 ADD1A1 内且与平面 D1EF 平行的直线( ) )

A.不存在 C.有 2 条 [答案] D

B.有 1 条 D.有无数条

[解析] 由题设知平面 ADD1A1 与平面 D1EF 有公共点 D1,由平面的基本性质 3 知必有过 该点的公共直线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的直线有无数条,且它们都不在平面 D1EF 内, 由线面平行的判定定理知它们都与平面 D1EF 平行,故选 D. 二、填空题 7.(2014· 安徽涡阳检测)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水, 任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:①三角形;②长方形;③正方形;④ 正六边形.其中正确的结论是________.(把你认为正确结论的序号都填上) [答案] ②③④ [解析] 因为正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中 心.三角形截面不过正方体的中心,故①不正确;
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过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故②正确; 过正方体四条互相平行的棱的中点得截面形状为正方形,该截面过正方体的中心,故③ 正确; 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状的正六边形,故④正确.

故应填②③④. 8.(文)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面 α∥平面 β,则平面 α 内任意一条直线 m∥平面 β; ③若平面 α 与平面 β 的交线为 m,平面 α 内的直线 n⊥直线 m,则直线 n⊥平面 β; ④若平面 α 内的三点 A、B、C 到平面 β 的距离相等,则 α∥β. 其中正确命题的序号为________. [答案] ② [解析] ①中,互相平行的两条直线的射影可能重合,①错误;②正确;③中,平面 α 与 平面 β 不一定垂直,所以直线 n 就不一定垂直于平面 β,③错误;④中,若平面 α 内的三点 A、 B、C 在一条直线上,则平面 α 与平面 β 可以相交,④错误. (理)已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列命题: ①若 m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,则 m⊥n; ③若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β; ④若 n∥α,n∥β,α∩β=m,那么 m∥n. 其中正确命题的序号是________. [答案] ②④ [解析] 命题①中,直线 m、n 不一定相交,即命题①不正确;命题②中,垂直于同一个 平面的两个平面的位置关系可以平行或相交,若相交,其交线必与第三个平面垂直,∴m⊥γ, 又 n?γ,∴m⊥n,即命题②正确;若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α,又 α⊥β,则 n∥β 或 n?β,即 命题③不正确;由线面平行的判定与性质定理可知命题④正确.则正确命题的序号为②④. 9.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中 点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号).

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[答案] ①③ [解析] 如图①,∵MN∥AD,NP∥AC,∴平面 MNP∥平面 ADBC,∴AB∥平面 MNP. 如图②,假设 AB∥平面 MNP,设 BD∩MP=Q,则 NQ 为平面 ABD 与平面 MNP 的交线, ∴AB∥NQ,∵N 为 AD 的中点,∴Q 为 BD 的中点,但由 M、P 分别为棱的中点知,Q 为 BD 1 的 分点,矛盾,∴AB∥\ 平面 MNP. 4 如图③,∵BD 綊 AC,∴四边形 ABDC 为平行四边形, ∴AB∥CD,又∵M、P 为棱的中点,∴MP∥CD,∴AB∥MP,从而可得 AB∥平面 MNP. 如图④,假设 AB∥平面 MNP,并设直线 AC∩平面 MNP=D,则有 AB∥MD,∵M 为 BC 中点, ∴D 为 AC 中点, 这样平面 MND∥平面 AB, 显然与题设条件不符, ∴AB∥\ 平面 MNP. 三、解答题 10.(文)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90° ,AB=AC= 2,AA′=1,点 M、N 分别为 A′B 和 B′C′的中点.

(1)证明:MN∥平面 A′ACC′; 1 (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积(锥体体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高). 3 [分析] (1)欲证 MN∥平面 A′ACC′,须在平面 A′ACC′内找到一条直线与 MN 平行, 由于 M、N 分别为 A′B,B′C′的中点,B′C′与平面 A′ACC′相交,又 M 为直三棱柱

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侧面 ABB′A′的对角线 A′B 的中点,从而 M 为 AB′的中点,故 MN 为△AB′C′的中位 线,得证.(2)欲求三棱锥 A′-MNC 的体积,注意到直三棱柱的特殊性和点 M、N 为中点, 1 可考虑哪一个面作为底面有利于问题的解决,视 A′MC 为底面,则 S△A′MC= S△A′BC,∴VA′ 2
-MNC

1 = VN-A′BC,又 VN-A′BC=VA′-NBC,易知 A′N 为三棱锥 A′-NBC 的高,于是易得待求 2

体积. [解析] (1)证明:连接 AB′,AC′,由题意知,ABB′A′为平行四边形,

所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)连接 BN, 由已知∠BAC=90° , AB=AC, 三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱, ∴A′N ⊥B′C′,平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′,所以 A′N⊥平面 NBC. 1 又 A′N= B′C′=1, 2 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC= VN-A′BC= VA′-NBC= . 2 2 6 [点评] 本题考查了线面平行的证明,锥体的体积两方面的问题,对于(1)还可以利用面面 平行(平面 MPN∥平面 A′ACC′,其中 P 为 A′B′的中点)来证明; (2)还可利用割补法求解. (理)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90° ,BF=FC,H 为 BC 的中点.

(1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB;
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(3)求四面体 B-DEF 的体积. [解析] (1)证明:设 AC 与 BD 交于点 G,联结 EG、GH. 则 G 为 AC 中点,∵H 是 BC 中点,

1 1 ∴GH 綊 AB,又∵EF 綊 AB, 2 2 ∴四边形 EFHG 为平行四边形.∴FH∥EG. 又 EG?平面 EDB,而 FH?平面 EDB, ∴FH∥平面 EDB. (2)证明:∵EF∥AB,EF⊥FB.∴AB⊥FB. 又四边形 ABCD 为正方形, ∴AB⊥BC,又 FB∩BC=B,∴AB⊥平面 BFC. ∵FH?平面 BFC,∴AB⊥FH. 又∵FB=FC,H 是 BC 中点,∴FH⊥BC. 又 AB∩BC=B,∴FH⊥平面 ABCD,∴FH⊥AC. 又 EG∥FH,∴EG⊥AC, 又 AC⊥BD,BD∩EG=G,∴AC⊥平面 EDB. (3)∵EF⊥BF,BF⊥FC 且 EF∩FC=F,

∴BF⊥平面 CDEF, 即 BF⊥平面 DEF. ∴BF 为四面体 B—DEF 的高. 又∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2. 四边形 CDEF 为直角梯形,且 EF=1,CD=2. 1 1 2 ∴S△DEF= (1+2)× 2- ×2× 2= , 2 2 2 1 2 1 ∴VB—DEF= × × 2= . 3 2 3

一、解答题
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11.(2014· 海淀区期末)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB⊥AC,AC =AA1,E,F 分别是棱 BC,CC1 的中点.

(1)求证:AB⊥平面 AA1C1C; (2)若线段 AC 上的点 D 满足平面 DEF∥平面 ABC1,试确定点 D 的位置,并说明理由; (3)证明:EF⊥A1C. [解析] (1)证明:∵A1A⊥底面 ABC,∴A1A⊥AB, 又∵AB⊥AC,A1A∩AC=A, ∴AB⊥平面 AA1C1C.

(2)∵平面 DEF∥平面 ABC1,平面 ABC∩平面 DEF=DE,平面 ABC∩平面 ABC1=AB, ∴AB∥DE, ∵在△ABC 中 E 是 BC 的中点,∴D 是线段 AC 的中点. (3)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A=AC, ∴侧面 A1ACC1 是菱形,∴A1C⊥AC1, 由(1)可得 AB⊥A1C, ∵AB∩AC1=A,∴A1C⊥平面 ABC1, ∴A1C⊥BC1. 又∵E,F 分别为棱 BC,CC1 的中点,∴EF∥BC1, ∴EF⊥A1C. 12.(文) (2013· 北京丰台期末)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,AB⊥BC, 点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点.

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(1)求证:MN∥平面 BCC1B1; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. [证明] (1)连接 BC1, ∵点 M,N 分别为 A1C1 与 A1B 的中点,∴MN∥BC1. ∵MN?平面 BCC1B1,BC1?平面 BCC1B1, ∴MN∥平面 BCC1B1. (2)∵AA1⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴AA1⊥BC. 又∵AB⊥BC,AA1∩AB=A,∴BC⊥平面 A1ABB1. ∵BC?平面 A1BC,∴平面 A1BC⊥平面 A1ABB1. (理)(2013· 北京四中期中)如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB =a.

(1)求证:AD⊥B1D; (2)求证:A1C∥平面 AB1D; (3)求三棱锥 C-AB1D 的体积. [解析] (1)证明:∵ABC-A1B1C1 是正三棱柱, ∴BB1⊥平面 ABC, ∵AD?平面 ABC.∴AD⊥BB1. 又∵△ABC 是正三角形,D 是 BC 的中点,∴AD⊥BC. 又∵BC∩BB1=B, ∴AD⊥平面 B1BCC1. 又∵B1D?平面 B1BCC1, ∴AD⊥B1D. (2)证明:连接 A1B,设 A1B∩AB1=E,连接 DE.

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∵AA1=AB,∴四边形 A1ABB1 是正方形, ∴E 是 A1B 的中点, 又∵D 是 BC 的中点, ∴DE∥A1C. ∵DE?平面 AB1D,A1C?平面 AB1D, ∴A1C∥平面 AB1D. 1 3 (3)解:VC-AB1D=VB1-ADC= S△ADC· |BB1|= a3. 3 24 13.(2014· 山东烟台一模)如图(1)所示,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90° , BA=BC.把△BAC 沿 AC 折起到△PAC 的位置,使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落 在线段 AC 上,如图(2)所示,点 E,F 分别为棱 PC,CD 的中点.

(1)求证:平面 OEF∥平面 APD; (2)求证:CD⊥平面 POF; (3)若 AD=3,CD=4,AB=5,求三棱锥 E-CFO 的体积. [解析] (1)证明:因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上,所以 PO⊥ 平面 ADC,所以 PO⊥AC. 因为 AB=BC,所以 O 是 AC 的中点. 因为 E 是 PC 的中点,所以 OE∥PA.因为 PA?平面 APD,OE?平面 APD, 所以 OE∥平面 APD.同理 OF∥平面 APD. 又因为 OE∩OF=O,OE,OF?平面 OEF, 所以平面 OEF∥平面 APD. (2)证明:因为∠ADC=90° ,所以 CD⊥AD. 因为 OF∥AD,所以 CD⊥OF. 因为 PO⊥平面 ADC,CD?平面 ADC,所以 PO⊥CD.

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又因为 OF∩PO=O,所以 CD⊥平面 POF. 1 (3)因为∠ADC=90° ,AD=3,CD=4,所以 S△ACD= ×3×4=6.因为点 O,F 分别是 AC, 2 1 3 CD 的中点,所以 S△CFO= S△ACD= . 4 2 5 由题意可知△ACP 是边长为 5 的等边三角形,所以高 OP= 3, 2 5 5 即 P 点到平面 ACD 的距离为 3.又因为 E 为 PC 的中点,所以 E 到平面 CFO 的距离为 2 4 1 3 5 5 3,故 VE-CFO= × × 3= 3. 3 2 4 8 14.(文)(2014· 保定模拟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,PA⊥AC, AB⊥BC.设 D、E 分别为 PA、AC 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求证:BC⊥平面 PAB; (3)试问在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平 面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由.

[解析] (1)证明:因为点 E 是 AC 中点,点 D 为 PA 的中点, 所以 DE∥PC. 又因为 DE?平面 PBC,PC?平面 PBC, 所以 DE∥平面 PBC. (2)证明:因为平面 PAC⊥平面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,又 PA?平面 PAC,PA ⊥AC, 所以 PA⊥平面 ABC.所以 PA⊥BC. 又因为 AB⊥BC,且 PA∩AB=A, 所以 BC⊥平面 PAB. (3)当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 取 AB 中点 F,连 EF,DF.

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由(1)可知 DE∥平面 PBC. 因为点 E 是 AC 中点,点 F 为 AB 的中点, 所以 EF∥BC. 又因为 EF?平面 PBC,BC?平面 PBC, 所以 EF∥平面 PBC. 又因为 DE∩EF=E,所以平面 DEF∥平面 PBC, 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 故当点 F 是线段 AB 中点时, 过点 D, E, F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平行. (理)(2013· 南昌一模)如图,多面体 ABC-A1B1C1 中,三角形 ABC 是边长为 4 的正三角形, AA1∥BB1∥CC1,AA1⊥平面 ABC,AA1=BB1=2CC1=4.

(1)若 O 是 AB 的中点,求证:OC1⊥A1B1; (2)在线段 AB1 上是否存在一点 D,使得 CD∥平面 A1B1C1?若存在,确定点 D 的位置; 若不存在,请说明理由. [解析] (1)取线段 A1B1 的中点 E,连接 OE,C1E,CO, 已知等边三角形 ABC 的边长为 4, AA1=BB1=2CC1=4, AA1⊥平面 ABC, AA1∥BB1∥CC1,

∴四边形 AA1B1B 是正方形,OE⊥AB,CO⊥AB. ∵CO∩OE=O, ∴AB⊥平面 EOCC1, 又 A1B1∥AB,OC1?平面 EOCC1,∴OC1⊥A1B1. (2)设 OE∩AB1=D,连接 CD,则点 D 是 AB1 的中点,

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1 ∴ED∥AA1,ED= AA1, 2 1 又∵CC1∥AA1,CC1= AA1, 2 ∴四边形 CC1ED 是平行四边形, ∴CD∥C1E,∴CD∥平面 A1B1C1, 即存在点 D,使得 CD∥平面 A1B1C1,且点 D 是 AB1 的中点.

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