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山东省青岛开发区一中2014届高三12月月考 数学理 Word版含答案


理科数学

2013.12

本试卷分第 I 卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束 后,将本试卷和答题卡—并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写 在答题卡和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 锥体的体积公式: V ? 球的体积公式 V ?

1 ,h 是锥体的高。 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, 3

4 3 ? R ,其中 R 是球的半径。 3

第 I 卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? ? x |

? ?

1 ? ? x ? 2? , B ? ? x | x 2 ? 1? ,则 A ? B ? 2 ?
(B) ? x | ?1 ? x ? 2? (C) ? x |

(A) ? x |1 ? x ? 2?

? ?

1 ? ? x ? 1? (D) ? x | ?1 ? x ? 1? 2 ?

? x 2 ? 1, x ? 1 (2)若函数 f ( x) ? ? 则 f ((e)) (e 为自然对数的底数)= ?ln x, x ? 1
(A)0 (B)1 (C)2 (D) ln(e ? 1)
2

(3)已知 ? 为第二象限角,且 sin ? ? (A) (4)设 ?

4 3

(B)

3 4

3 ,则 tan(? ? ? ) 的值是 5 4 (C) ? 3

(D) ?

3 4

3 x a 且 a ? 1 ,则“函数 f ( x) ? a ”在 R 上是增函数”是“函数 g ( x) ? x ”“在 (0, ??) 上 4
(B)必要不充分条件

是增函数”的 (A)充分不必要条件

(C)充要条件 (5)函数 f ( x) ? x ? 2 的大致图象为
2 x

(D)既不充分也不必要条件

(6)定积分 (A)

? ? (16 ? x )dx 等于
2 0

4

128? 3

(B) 52?

(C)

64? 3

(D)

8? 3

(7)若函数 y ? 3 sin x ? cos x 的图象向右平移 m(m ? 0) 个单位长度后, 所得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

2? 3

(D)

? 3

a4 ? 1, S3 ? 7 , (8)设数列 ?an ? 是由正数组成的等比数列,S n 为其前 n 项和, 已知 a2 ? 则 S5 ?
(A)

15 2

(B)

31 4

(C)

33 4

(D)

17 2

(9)已知 a, b, c ? R ,给出下列命题: ①若 a ? b , 则 ac ? bc ; ②若 ab≠0, 则
2 2

a b ? n n ③若 a ? b ? 0, n ? N , 则a ?b ; ? ?2; b a

④若 log a b ? 0(a ? 0, a ? 1) ,则 a,b 中至少有一个大于 1.其中真命题的个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)1 (10)已知某几何体的三视图如右图所示,其中,主(正)视图, 左(侧)视图均是由直角三角形与半圆构成,俯视图由圆 与内接直角三角形构成, 根据图中的数据可得此几何 体的 体积为( ) (A)

2? 1 ? 3 2 2? 1 ? 6 6

(B)

4? 1 ? 3 6 2? 1 ? 3 2

(C)

(D)

(A) (B) (C) (D)

(11)若 ?ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O. 且 2OA ? AB ? AC ? 0 OA ? AB , 则C AC ? B 等于 (A)

??? ? ??? ? ????

??? ?

??? ?

? ? ?? ? ?

3 2

(B) 3

(C) 2 3

(D)3

(12)设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? ? n, n ? 1? , n ? N ,则方程 f ( x) ? log 2 x 的根有 (A)1 个 (B) 2 个 (C)3 个 (D)无数个

第 II 卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)已知向量 a ? (1, 2) ,向量 b( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于______________. (14) f (n) ? 1 ?

1 1 1 3 5 ? ? ... ? (n ? N ? ) , 计 算 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3 , 2 3 n 2 2

f (32) ?

7 ,推测当 n ? 2 时,有_____________. 2

? 2 x ? y ? 2 ? 0, ? (15)设实数 x, y 满足约束条件 ?8 x ? y ? 4 ? 0, ,若目标函数 z ? abx ? y(a ? 0, b ? 0) 的最 ? x ? 0, y ? 0 ?
大值为 8,则 a+b 的最小值为_____________. (16)若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象和直线 y=x 无交点,现有下列结论:
2

①方程 f [ f ( x)] ? x 一定没有实数根; ②若 a>0,则不等式 f [ f ( x)] ? x 对一切实数 x 都成立; ③若 a<0,则必存在实数 x0 ,使 f [ f ( x0 )] ? x0 ; ④函数 g ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象与直线 y=-x 一定没有交点,
2

其中正确的结论是____________(写出所有正确结论的编号) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且角 A、B、C 成等差教列. ( I)若 b ? 13, a ? 3 ,求边 c 的值; ( II)设 t ? sin A sin C ,求 f 的最大值. (18)(本小题满分 12 分)

2 ,k ?R . 已知函数 f ( x) ? 2 ? k ?
x

?x

( I)若函数 f ( x) 为奇函数,求实数 k 的值; ( II)若对任意的 x ? ? 0, ?? ? ,都有 f ( x) ? 2 成立,求实数 k 的取值范围.
?x

(19)(本小题满分 12 分)

在四棱锥 P-ABCD 中, 侧面 PCD ? 底面 ABCD, PD ? CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥DC,

?ADC ? 90? , AB ? AD ? PD ? 1, CD ? 2 ADC -900,AB= AD= PD=1.CD=2.
(I)求证:BC ? 平面 PBD: (II)设 E 为侧棱 PC 上异于端点的一点, PE ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 E-BD -P 的大小为 45 . (20)(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: an ?1 ? an (n ? N ), a1 ? 1,该数列的前三项分别加上 l,l,3
?

??? ?

??? ?

?

后顺次成为等比数列 ?bn ? 的前三项. (I)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; ( II)设 Tn ?

a a1 a2 2n ?3 1 ? ? ... ? n (n ? N ? ) , 若 Tn ? 求 c 的最 ? ? c(c ? Z ) 恒成立, b1 b2 bn 2n n

小值. (21)(本小题满分 13 分) 某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进 行开发建设,阴影部分为一公共设施不能建设开发,且要求 用栏栅隔开(栏栅要求在直线上) ,公共设施边界为曲线

f ( x)? 1? a 2x ( a ? 0 ) 的一部分,栏栅与矩形区域的边
界交 于点 M、N,切曲线于点 P,设 P(t , f (t )) . ( I)将 ?OMN (O 为坐标原点)的面积 S 表示成 f 的 函数 S(t);

(II)若 t ?

1 ,S(t)取得最小值,求此时 a 的值及 S(t)的最小值. 2

(22)(本小题满分 13 分) 已知函数 r ( x) ? ln x ,函数 h( x) ? ( I)试求 f (x)的单调区间。 (II)若 f (x)在区间 ?1, ?? ? 上是单调递增函数,试求实数 a 的取值范围: (ⅡI)设数列 ?an ? 是公差为 1.首项为 l 的等差数列,数列 ? 求证:当 a ? 1 时, Sn ? 2 ? f (n) ?

1 1 (1 ? )(a ? 0), f ( x) ? r ( x) ? h( x) . a x

?1? ? 的前 n 项和为 S n , ? an ?

1 ? Sn?1 ? 1(n ? N ? , n ? 2) . n

参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1-5 BCDAC 6-10ADBAC 11-12DC 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)9; (14) f (2n ) ?

n?2 ; (15)4; (16)①②④ 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解: (Ⅰ)因为角 A、B、C 成等差数列,所以 2B ? A ? C , 因为 A ? B ? C ? ? ,所以 B ?

?
3

.

………2 分

因为 b ? 13 , a ? 3 , b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 所以 c2 ? 3c ? 4 ? 0 . 所以 c ? 4 或 c ? ?1 (舍去). (Ⅱ)因为 A ? C ? 所以 t ? sin Asin( …………6 分

2? , 3

2? 3 1 ? A) ? sin A( cos A ? sin A) 3 2 2 3 1 1 ? cos2 A 1 1 ? ………………9 分 ? sin 2 A ? ( ) ? ? sin(2 A ? ). 4 2 2 4 2 6 2? ? ? 7? 因为 0 ? A ? ,所以 ? ? 2 A ? ? , 3 6 6 6 3 ? ? ? 所以当 2 A ? ? ,即 A ? 时,t 有最大值 . ……………12 分 4 6 2 3 2? x 是奇函数,所以 f ( ? x) ? ? f ( x), x ? R , ………2 分 (18)解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 2 x ? k ?
即 2? x ? k ?2 x ? ?(2 x ? k ? 2? x ), 所以 (1 ? k ) ? (k ? 1)?22 x ? 0 对一切 x ? R 恒成立, 所以 k ? ?1 . (Ⅱ)因为 x ? ? 0, ?? ? ,均有 f ( x ) ? 2 ? x , 即 2 x ? k ? 2? x ? 2? x 成立, 所以 1 ? k ? 22 x 对 x ? 0 恒成立, 所以 1 ? k ? (22 x )min , 因为 y ? 22 x 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 (22 x )min ? 1 , 所以 k ? 0 . ……………12 分 ……………8 分 ……………6 分

(19) (Ⅰ) 证明: 因为侧面 PCD ⊥底面 ABCD ,PD ⊥ CD , 所以 PD ⊥ 底 面 ABCD,所以 PD ⊥ AD . 又因为 ?ADC = 90? , 即 AD ⊥ CD ,以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,0) , B(1,1,0) , C (0,2,0) , P(0,0,1) , ??? ? ??? ? 所以 DB ? (1,1,0), BC ? ( ?1,1,0). ??? ? ??? ? 所以 DB ? BC ? 0 ,所以 BC ? BD

由 PD ⊥底面 ABCD ,可得 PD ? BC , 又因为 PD ? DB ? D ,所以 BC ⊥平面 PBD . (Ⅱ)由(Ⅰ)知平面 PBD 的一个法向量为 ……5 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? ( ?1,1,0) ,且 P(0,0,1) , C (0,2,0) ,所以 PC ? (0,2, ?1) ,又 PE ? ? PC , ???? 所以 E (0,2? ,1 ? ? ) , DE ? (0,2? ,1 ? ? ) . ……………7 分
设平面 EBD 的法向量为 n ? (a, b, c) , 因为 DB ? (1,1,0) , ??? ? ???? 由 n?DB ? 0 , n?DE ? 0 ,

??? ?

?a ? b ? 0 得? , ?2? b ? (1 ? ? )c ? 0
令 a ? ?1 ,则可得平面 EBD 的一个法向量为 ??? ? 2? ? ? n?BC ? n ? ? ?1,1, , 所以 cos ? ??? ? , ? ?1 ? 4 ? ? n ?BC 解得 ? ? 2 ? 1 或 ? ? ? 2 ? 1 , 又由题意知 ? ? ? 0,1? ,故 ? ? 2 ? 1 . (20) 解: (Ⅰ)设 d、q 分别为数列 {an } 的公差、数列 {bn } 的公比. 由题意知, a1 ? 1 , a2 ? 1 ? d , a3 ? 1 ? 2d ,分别加上 1,1,3 得 2,2 ? d , 4 ? 2d , ……………12 分

……………10 分

(2 ? d )2 ? 2(4 ? 2d ), 所以d ? ?2
又 an ?1 ? an ,所以 d ? 0 ,所以 d ? 2 , 所以 an ? 2n ? 1 ( n ? N* ), 由此可得 b1 ? 2 b2 ? 4 , q ? 2 ,所以 bn ? 2n ( n ? N* ). (Ⅱ) Tn ? ……………6 分

a1 a2 a 1 3 5 2n ? 1 ? ??? n ? ? 2 ? 3 ??? n , ① b1 b2 bn 2 2 2 2
N

y

1 1 3 5 2n ? 1 ∴ Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 . ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 由①-②得 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2 ? 2n ? 1 ? 3 ? 1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2 n ? 3 , ∴ Tn ? 1 ? 1 2n 2n ?2 2n 2n 1? 2 2n+3 1 1 ∴ Tn ? n ? ? 3 ? ? 3 . 2 n n

P
O

M

x

……………10 分

∴使 Tn ?

2n+3 1 ? ? c (c ? Z) 恒成立的 c 的最小值为 3 .……12 分 2n n

(21)解: (Ⅰ) y? ? ?2ax ,直线 MN 的斜率为 ?2at ,

?直线 MN 的方程为 y ? (1 ? at 2 ) ? ?2at ( x ? t )
令 y ? 0, 得 x ? 分 令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? at ? 2at ? 1 ? at ,? N (0,1 ? at ) ,
2 2 2 2

1 ? at 2 1 ? at 2 ? 2at 2 1 ? at 2 ?t ? ? 2at 2at 2at

1 ? at 2 ?M ( , 0) ………3 2at

1 1 ? at 2 (1 ? at 2 ) 2 2 , (1 ? at ) ? ??MON 的面积 S (t ) ? ? 2 2at 4at
分 (Ⅱ) S ?(t ) ?

………6

3a 2t 4 ? 2at 2 ? 1 (at 2 ? 1)(3at 2 ? 1) , ? 4at 2 4at 2
2

因为 a ? 0, t ? 0 ,由 S ?(t ) ? 0 ,得 3at ? 1 ? 0, 得t ?

1 , 3a

………9 分

当 3at ? 1 ? 0, 即t ?
2

1 时, S ?(t ) ? 0 , 3a 1 1 时, S ?(t ) ? 0 ?当t ? 时, S (t )有最小值 . 3a 3a

当 3at ? 1 ? 0, 即0 ? t ?
2

已知在 t ?

1 1 4 1 处, S (t )取得最小值 ,故有 ? ,? a ? , 3 2 3a 2

4 1 (1 ? ? )2 4 1 1 3 4 ?2 故当 a ? , t ? 时, S (t ) min ? S ( ) ? 4 1 3 2 2 3 4? ? 3 2


………13

1 1 ax ? 1 (22)解: (Ⅰ) f ( x) = ln x ? (1 ? ) ,所以, f ' ( x ) ? , ax 2 a x
因为 a ? 0 , x ? 0 ,所以 ax 2 ? 0 ,令 ax ? 1 ? 0 , x ?

1 , a

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ( , ??) ; f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; ………4 分

1 a

1 a

(Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? [1, ??) 是单调递增函数,则 f ' ( x ) ? 0 恒成立,即 a ?

1 恒成立 x

1 1 即 a ? ( )max ,因为 x ? [1, ??) ,所以 ? 1, 故a ? 1 . x x


…………….7

(Ⅲ)设数列 ?a n ? 是公差为 1 首项为 1 的等差数列,所以 an ? n , S n =1+ 当 a ? 1 时,由(Ⅱ)知: f ( x) =

1 1 +…+ , 2 n

1? x + ln x 在 x ? [1, ??) 上为增函数, x 1 1? x 1 + ln x ? 0 ,即 ln x ? 1 ? f ( n) ? = ln n -1,当 x ? 1时, f ( x) ? f (1) ,所以 n x x

所以 ln

x ?1 1 1 ; ? 1? ? x ?1 x ?1 x x
1 ,当 x ? (1, ??) ,有 g ' ( x ) ? 0 x

令 g ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则有 g ' ( x ) ? 1 ?

则 g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 ln x ? x ? 1,所以 x ? (1, ??) 时, ln 所以不等式

x ?1 x ?1 1 ? ?1 ? x x x

1 x ?1 1 ? ln ? 成立. x ?1 x x

令 x ? 1,2,?, n ? 1,(n ? N? 且 n ? 2) 时, 将所得各不等式相加,得

1 1 1 2 3 n 1 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? 1? ??? , 2 3 n 1 2 n ?1 2 n ?1 1 1 1 1 1 即 ? ? ? ? ? ln n ? 1 ? ? ? ? . 2 3 n 2 n ?1 1 . Sn ? 2 ? f (n) ? ? Sn ?1 ? 1 ( n ? N* 且 n ? 2 ) n

……………13 分



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