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《综合法和分析法》1


2.2直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
第一课时(综合法)

一、复习:

推 理
演绎推理 (必然性推理)

合情推理
(或然性推理)

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊) (一般到特殊) 归纳

演绎推理是证明数学结论、建立数学体 系的重要思维过程.

数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.

演绎推理“三段论”的一般模式 大前提:已知的一般原理; 小前提:所研究的特殊情况; 结 论:根据一般原理,对特殊情况做 出判断. “三段论” 的表示

大前提: M是P. 小前提: S是M. 结 论: S是P.

二 探究:综合法
例1已知a>0,b>0,求证: a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc 证明: 因为b2+c2 ≥2bc,a>0 所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.

综合法的定义:利用已知条件和某些数学 定义、公理、定理等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定 理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P ? Q1
Q1 ? Q 2
Q2 ? Q3



Qn ? Q

综合法是中学数学证明中最常用的方法。 综合法是从已知到未知,从题设条件到结论的 逻辑推理方法。 综合法一种由因索果的证明方法。

例2:在△ABC中,三个内角A、B、 C对应的边分别为a、b、c,且A、B、 C成等差数列,a、b、c成等比数列,求 证△ABC为等边三角形.
?

证明 由A,B, C成等差数列 ,有2B ? A ? C.
因为A,B, C为ΔABC的内角, 所以A ? B ? C ? π. π 由 ① ②, 得B ? . 3


② ③ ④

由a,b, c成等比数列 ,有b2 ? ac.
由余弦定理及 ③ ,可得 b2 ? a2 ? c 2 ? 2ac cosB ? a2 ? c 2 ? ac.

再由④,得a ? c ? ac ? ac,即 ?a ? c ? ? 0,
2 2 2

因此 a ? c.从而有 A ? C.



π 由② ③ ⑤ 得, A ? B ? C ? .所以 ΔABC是等边三角形 . 3

解决数学问题时, 往往先作语言转换, 如把文字语言转换成符号语言, 或把 符号语言转换成图形语言等.还要通 过细致的分析, 把其中的隐含条件明 显表示出来.

例:已知a、b、c是不全相等的正数, 求证a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 证明:因为a、b、c是不全为相等的正数 所以a(b2+c2)≥2abc. ① 同理b(c2+a2)≥2abc. ② 同理c(a2+b2)≥2abc. ③ ∵a、b、c是不全相等的正数 ∴①②③三式不能全取“=” ∴①②③三式相加得 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

课堂练习

课堂小结

综合法──联想尝试 其模式为: 由因导果 (已知) A ? B1 ? ? ? Bn ? B (结论)



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