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数列求和与通项公式典型题目(学生用)


数列
一、知识要点: 1.数列的有关概念:定义、分类、通项公式、前 n 项和的公式、递推公式 等差数列:定义、通项公式、前 n 项和的公式(三个) 、 性质( m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq ,…) 等比数列:定义、通项公式、前 n 项和的公式、性质( m ? n ? p ? q ? am an ? a p aq ,…) 2.数列递

推: 基本类型:等差型、等比型、 S n 与 an 关系型、待定系数型(分配常数型) 、累加 型、累积型 提高型:倒数型、对数型。 3.数列求和:错位相减法,拆项相消法,公式法,倒序相加法,并项求和法,周期性法。 4.数列的实际应用( 单利、复利、增长率问题。 )

5.题型:
(1)基本题:知三求二型的计算(方程思想) { ,

1 } 型数列的求和, {nxn ?1} 型数列 n(n ? 1)

的求和 (2)提高型:递推 ? 通项 ? 求和(可能会综合有不等式证明、函数求最值、数学归纳法 等,但数列是核心函数是工具) 二、练习题
* 1.设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
2

(1)求 a1 及 an ; (2)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

2.已知数列 ?an } 满足, a1= ’ 2 ? 2, an+2= 1a

an ? an?1 , n ? N* . 2

(1)令 bn ? an ?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列; (2)求 ?an } 的通项公式。

3.在等比数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n 。若 Sm , Sm? 2 , Sm?1 成等差数列,则 am , am? 2 , am?1 成 等差数列。 (1)写出这个命题的逆命题; (2)判断逆命题是否为真?并给出证明。

4.数列 an ? 是首项 a1 ? 4 的等比数列,且 S 3 , S 2 , S 4 成等差数列, (1)求数列 an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 an ,设 Tn 为数列 ? 若 Tn ≤ ? bn ?1 对一切 n ? N 恒成立,求实数 ? 的最小值.
*

?

?

?

1 ? ? 的前 n 项和, ? bn bn ?1 ?

5.已知数列 {an } 是首项为 a1 ?

1 1 ,公比 q ? 的等比数列,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? a n ? bn 。 (1)求证:{bn } 是等差数列;
4

(2)求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ; (3)若 cn ?

1 2 m ? m ? 1 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

6. 已知点 (1,

1 ) 是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {a n } 的前 n 项 3

和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1 1000 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 的最小正整数 n 是多少? bnbn?1 2009

7.已知数列 {a n } 中, a1 ?

1 在直线 y ? x 上,其中 n ? 1, 2,3? . ,点(n, 2an?1 ? an) 2

的通项; (1)令 bn ? an ?1 ? an ? 1 ,求证数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?a n ? 、 ⑶ 设 S n , Tn 分别为数列 ?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ?
等差数列?若存在,试求出 ? .若不存在,则说明理由。

? S n ? ?Tn ? ?为 n ? ?

8.已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,设 a n 是 S n 与 2 的等差中项,数列 {bn } 中, b1 ? 1 , 点 P (bn , bn ?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上。 (1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式;

(2)若数列 {bn } 的前 n 项和为 Bn ,比较

1 1 1 ? ??? 与 1 的大小; B1 B2 B2 B3 Bn Bn ?1

(3)令 Tn ?

b b1 b2 ? ? ? ? n ,是否存在正整数 M ,使得 Tn ? M 对一切正整数 n 都成 a1 a2 an

立?请说明理由。

2 9.已知正数数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且关于 x 的方程 x ? an x ?

1 (an ?1 ? 2n ?1 ) ? 0 2

?a ? (n ? N * , n ? 2) 有两个相等的实根。 (1)求证:数列 ? n ? 是等差数列; n ?2 ?
(2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设数列 ?an ? 前 n 项之和 S n ,求证:

Sn ? 2n ? 3 。 2n

2 2 2 2 11.设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, S n 为其前 n 项和,满足 a2 ? a3 ? a4 ? a5 , S7 ? 7

(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 S n ; (2)试求所有的正整数 m ,使得 am am ?1 为数列 ?an ? 中的项. am ? 2


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