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2013年陕西省咸阳市高考模拟考试试题(二)文科数学


2013 年咸阳市高考模拟考试试题(二) 文科数学参考答案
一、选择题: DBDAC BCBAA 1. 选 D. 2. 选 B. 3. 选 D. 准线为 y ? 1 的抛物线为 x2 ? ?4 y ,所以 a ? ?4 4. 选 A. 5. 选 C.依题意知,正三棱柱的底面边长为 4,高为 3,可得其侧视图的面积为 3 ? 2 3 ? 6 3 6. 选 B. 令

f ( x) ? ln x ? x ? 4 ,则 f (1) ? ?3 ? 0, f (2) ? ln 2 ? 2 ? 0, f (3) ? ln 3 ? 1 ? 0 知 f ( x ) 在 (2,3) 存在零点,即方程 ln x ? x ? 4 ? 0 在 (2,3) 上有根,∴ a ? 2

1? i 1? i ? 1 ? i ,知复数 在复平面上对应的点在第四象限. i i

.

7. 选 C. 由 sin(

?
4

? x) ?

2 2 3 得 sin x ? cos x ? ,平方得 1 ? sin 2 x ? ,即 sin 2x ? 3 3 3

1 ? . 3
8. 选 B. 9. 选 A. 易知 x ? 10, y ? 8 ,由 ( x, y ) 即 (10,8) 在回归直线 y ? ?3.2 x ? a 上得 a ? 40 10.选 A. 11. ?x ? R, x2 ? 2x ? 4 ? 0 12. 2 或 ?1 13. ②④ 14.

4025 2012 ,写成 1 ? 也可得分. 2013 2013

? 15. A.9 . 由 x, y ? R 且 x ? y ? 1 知

1 4 1 4 y 4x y 4x ? ? ( x ? y)( ? ) ? ? ? 5 ? 2 ? ?5 x y x y x y x y

? 9 ,当且仅当

1 2 y 4x ? ,即 x ? , y ? 时取等号. 3 3 x y

B.

2 3 . 设 BC ? AD ? x ,则由切割线定理得 CA ? CD ? CB ? CE ,即 4(4 ? x) ?

x( x ? 10) ,解得 x ? 2 ,即 CB ? 2 ,又 AC 是小圆的直径,所以

AB ? CA2 ? CB2 ? 42 ? 22 ? 2 3 .
C. 2
2 2 圆 ? ? 1 化为普通方程为 x ? y ? 1,直线 ? (cos? ? 3sin ? ) ? 6 化为普通方程

为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,圆心 (0, 0) 到直线 x ? 3 y ? 6 ? 0 距离为 3 ,故所求距离最小值为 2. 16.解: (1)由 b sin A ? 3a cos B 及正弦定理得 sin A sin B ? 3 sin A cos B ∵ sin A ? 0 又0 ? B ?? ∴ tan B ? 3 ∴B ?

?
3

-----------------------6 分

(2)由正弦定理得: sin A ? sin C ? sin A ? sin(

2? ? A) 3 2? 2? ? sin A ? sin cos A ? cos sin A 3 3

3 3 ? sin A ? cos A 2 2 3 1 ? 3( sin A ? cos A) 2 2 ? 3 sin( A ? ) 6 2? ? ? 5? ∵0 ? A ? ∴ ? A? ? 3 6 6 6 ? 1 3 ∴ sin( A ? ) ? ( ,1] ∴ sin A ? sin C ? ( , 3] 6 2 2
17.

?

---------12 分

? (1) 证明:在 ?ADF 中,由 AD ? 1, AF ? 2, ?A ? 60 易知 ?ADF ? 90 ,即 A1D ? DF
?

∵平面 A1DF ? 平面 BDFC ∴ A1D ? 平面 BDFC (2) 解:由(1)知 A1D ? 平面 BDE ……………6 分

?BDE 中, BD ? BE ? 2, ?DBE ? 60? ,得 S ?BDE ?
又 A D ?1 1 ∴ VE ? A1BD ? VA1 ? BDE ?

1 ? 2 ? 2 ? sin 60? ? 3 2

1 1 3 S?BDE ? A1D ? ? 3 ?1 ? 3 3 3

……………12 分

18.解: (1)依题意知,数列 {an } 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列,可得

an ? 1 ? (n ?1) ? n
(2)由(1)知 bn ? n ? 2n ∴ Tn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ????? ?(n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n

………………4 分

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ????? ?(n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
相减得 ?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n ? n ? 2n?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 1? 2
………………12 分

整理得 Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

19. : (1)依题意可知,这 6 天中空气质量达到一级的有 3 天,那么第四季度估计(按 90 天 计算)有 ? 90 ? 45 天的空气质量达到一级. ( 解法 1:记“从 的PM 25 日 监 数 中 随 抽 2天 恰 一 空 质 2) 6天 均 测 据 , 机 出 , 有 天 气 量 . 达 一 ”为 件 A , 到 级 事 ∵从 6 天的 PM 2.5 日均监测数据中,随机抽出 2 天,有 ?28,31? , ?28,33? , ?28, 44? ,

3 6

…6 分

?28, 45? ,?28,79? , ?31,33?,?31,44?,?31,45? , ?31,79? , ?33,44?,?33,45?,?33,79? , ?44, 45? , ?44,79? , ?45,79? 共 15 种 情 形 , 其 中 恰 有 一 天 空 气 质 量 达 到 一 级 的 ?28, 44? , ?28, 45? , ?28,79?,?31,44?,?31,45? , ?31,79? , ?33,44?,{33,45},{33,79}
9 3 ? . …………………12 分 15 5 2 1 1 解法 2: 基本事件总数 C6 ? 15 ,其中恰有一天空气质量达到一级的有 C3C3 ? 9 ,所求概 9 3 ? 率为 …………………12 分 15 5
共 9 种情形,∴ P ( A) ? 解 3: “从 的PM 2 日 监 数 中 随 抽 2天 恰 一 空 质 达到一级”分两种情形:第一 法 6天 . 5 均 测 据 , 机 出 , 有 天 气 量 天为一级且第二天不是一级或第一天不是一级且第二天为一级.故所求概率为

3 3 3 3 3 ? ? ? ? 6 5 6 5 5
20.解: (1)由

………………12 分

c 2 2 2 2 及 a ? b ? c 设 a ? 3m, c ? 2m, b ? m(m ? 0) ,依题意得 ? a 3

1 ? 2 2m ? 2m ? 2 2 ,解得 m ? 1 ,于是 a ? 3, b ? 1. 2

即椭圆 C :

x2 ? y2 ? 1. 3

………………5 分

(2)依题意设 P( x1 , kx1 ? m), Q( x2 , kx2 ? m) , 则由 AP ? AQ ? 0 及 A(0,1) 得 ( x1 , kx1 ? m ?1) ? ( x2 , kx2 ? m ?1) ? 0 即 (k 2 ?1) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? (m ?1)2 ? 0 ① ……8 分

??? ???? ?

? y ? kx ? m ? x 2 ? 3(kx ? m)2 ? 3 ? 2 2 ?x ? 3y ? 3
即 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0

依题意 (6km)2 ?12(m2 ?1)(3k 2 ? 1) ? 0 ? 3k 2 ? 1 ? m2
x1 ? x 2 ? ? 6km 3m2 ? 3 ,x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
………………10 分

3m2 ? 3 ?6km ? k (m ? 1) ? (m ? 1)2 ? 0 代入①得 (k ? 1) 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
2

化简得 2m ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? ?
2

1 或m ?1 2

当m ? ?

1 1 时,直线 l : y ? kx ? ,符合题意; 2 2

当 m ? 1 时,直线 l : y ? kx ? 1 ,过定点 (0,1) ,不合题意,舍去. ………12 分 综上, m ? ?

1 . 2 2a ? 3ln x( x ? 0) x

…………………………13 分

21.解: 由 f ( x) ? ax ? 得 f ?( x) ? a ?

2a 3 ax 2 ? 3x ? 2a ? ? ( x ? 0) x2 x x2
………………….4 分

(1) 依题意 f '(1) ? 0, 解得 a ? 1 (2)由(1)知 f ( x) ? x ?

2 ? 3ln x( x ? 0) x ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 0) 此时 f ?( x) ? x2
知 f (x) 在 [1, 2) 上递减,在 (2, e] 上递增, ∴ f ( x)min ? f (2) ? 1 ? 3ln 2

2 f ( x)m a x? m a x f ( 1f) , e ? ) } ? a x { 1 , ? ? 3 } .……..9 分 { ( m e ? ? 1 e 2a 3 (2) 依题意 f ?( x) ? a ? 2 ? ? 0 在 (0, ??) 上恒成立, x x 3x 即a ? 2 在 (0, ??) 上恒成立. x ?2
∵x ? 0, ∴

3x 3 3 3 2 ? ? ? x ?2 x? 2 4 2 2 x? x x
2

当且仅当 x ? ∴a ?

2 ,即 x ? 2 时取等号 x

…………12 分

3 2 4

…………….14 分


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