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从一道例题的分析谈强化命题证明一类数列不等式


中学数学研究
例3 已知数列{a。i满足al


2009年第6期
1,a。2 3”

3.a。+2=pa。+l十职。的数列通项 例4

+2a。一l(佗≥2),求a。.

已知数列{口。}满足al=1,a2=2,

解:将a。=3”+2a。一l两边

同除以3”,得

以n+2 以n+2=鲁口n+l+去口n,求nn. 2了口n+l十了口n,承nn‘

蚤=1+垒≥土,变形为雾=1+号?雾}.设6。

解:设a。+2一觚。+1=t(a。+1一sa。)展开

=蚤测铲l+扛_1①,令”t=号?



后,得盘n+2=(£+s)口"+l—tsan.由s+£=专,
对:一。1,解得s:1,£:一百1,条件式可化为

(%一l一£)展开即b。=专易。一1+专£②,由①②
得£=3.条件可化成“一3=了2(6。一1—3),数 列t

口。+2一口。+l=一去(瞳。+1一口。),故数列{an+I

b。一3}是以61~3=一号为首项,号为公差 的等比数列..?.6。~3=一百8×(号)旷1,又由
+3)得口。=3”+1—2”+2.

一晓。}是以口2一优1=1为首项,一去为公比的

等比数列,.‘.盘。+1一口。=(一{)”1.问题转化
为利用累加法求数列的通项的问题,解得a。= 2一鱼.f一上p一1
4 4


brt虿an,所以乱=bn?3”=3”(一号×(号)”一I
点评:递推式为a。+1=pa。+f(以),其中





点评:递推式为口。十2=pa。+1十∞。(P、q

为常数)时,可以设口。+2一Sa。+1=t(岔。+1一 Sa。),其待定常数S、t由S+t=P,st=一q求 出,从而化归为上述已知题型.


f(7z)=qn+l(八q为常数)时,可同除以q时1,

得争车{2詈。7an+1,再令6n 2歹an,从而化归为
an+l=∞。+q(八g为常数)型数列求解.

薯}jIkj‘}啦■}省}省}j格1毒k业鞋省}1鲎e萱e夸k寸}薯}jkjIk业业■e书e业毒业誓}j‘}:Ik鲎章■}■}省鲁书}鲎}誊t童}业业jk誊章坐

从一道例题的分析谈强化命题证明一类数列不等式
江苏省如东高级中学(226400) 陈唐明

文[1]通过强化命题结论的方法突破了一 类数列不等式证明过程中直接使用数学归纳法
难以实现从咒=k到扎=k+1过渡的瓶颈,笔

(笔者注:原文中n为不小于2的正整数,而据

文[1]分析实为咒∈N。,且咒∈N。命题亦成
立,故作此改动,下同)

者经过仔细研读,发现该文思路新颖,令人耳目 一新,对数学归纳法教学和竞赛辅导具有借鉴 作用.但同时笔者也发现文[1]例1在分析过程 中对数学归纳法的递推传递性原理的使用似有
不当之处,为便于研讨,现将该例的分析过程抄 录如下: 例1

文[1]分析如下:假设竹=忌时,不等式1一

(文[1]例1)设”为正整数,求证:

互1+歹1一百1+…+丽1一轰<譬成立,则当 ”=尼+1时,1一号十吾一百1+…+丽1一磊1 +矗一嘉b<譬+志一矗b,
无法推出小于辱.这是由于不等式右边是常
?35
?

1一吉+吾一百1+…十五{1一上2n<譬.
万方数据

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中学数学研究

数,不具有传递性.若将譬缩小为譬一厂(咒)
(笔者注:此处f(咒)>0),即证加强命题:

F(2)<譬一,(2),故无法得到F(3)<譬,更
R不上xt v咒E

F(,z)=l一丢+号一百1+…+丽1一万1<
锺2一厂(咒),那么原命题成立.以下只要寻找
f(赡)即可.(为表述方便,笔者将不等式左边记、 为F(,z),下同)


N’’F(规)<譬了.

既然上述说法欠妥,那该如何改进呢?下

面我们循着文[1]的思路来完善它.

-%If]不妨假设命题加强为:

1一i1+i1一百1+…+丽1
南(其中厂(孢)>o)①
加强形式令为歹丽1
如下:

一磊1≤譬一

(1)咒=l时,F(1)=1一寻<譬一厂(1);

(2)假设想=志时,F(忌)=1一号+号一号

(注意到不等式左边是分式形式,此处我将 ,相当于文[1]中的厂(咒))

夏十乏而一乏乙面气—虿一,(意)+——一 夏1+瓦1可一赤<譬一厂(”+2—kL+1一

+...+南~去<譬一厂(酰则当行=志+1 时,F(忌+1)=1一号+号一百1+…+丽1一
一狐b<o(*),且1一i1\.f虿2一厂(1),即

下面寻求厂(扎)满足的条件. 既然①式成立,则可以用数学归纳法证明

虱≥}巧,要使结论成立,只要一厂(愚)+丽1

(1)当,z=1时,左边:l一1≤安一

南,即们)≥2“2+1)②
(2)假设咒=忌时命题盛立,即l一号十号
一i}+…+了i毛可一弓1玉\,,一,(忌),则咒:k 一了十…十芝两一乏愚\2一-,【息,,.!119
72

似)>砸再‰,且“1)<学,故
可取,(愚)。磊1.
的数学归纳法证明,表面上看,似无不当之处.



+1时,只需证明l一丢+号一丢+…+丽1 通过以上分析,文[1]得到了厂(志)2磊1 一瓦1+志2k 1一矗2‰1熊2一Jr(忌+1).从而 (当厂(忌)=1时f(1)=百1,而字≈o.207,厂 只需证明譬一厂(忌)十丽1一夏j}可≤弩.一 (1)<单并不成立),并利用之给出了例1 f(k十1),即需证南一东b≥矗一
2忌’


(志+)弋
-K

\K‘上/‘∥。lI”



o工

厶、K

1上』



但是,我们知道,数学归纳法的步骤(2)本质上 是证明递推的传递性,即由砚=雄。时命题成立 净"=nO+l时命题成立≥'l=no+2时命题 成立专……,从而对所有的行≥,zo命题都成 立.而依据文[1]说法(打*号处),由咒=k时

狐b③
观察③式结构,不等式右边分母是一次多 项式,于是考虑如果厂(咒)是一次多项式,则③ 式即可转化为两个多项式的比较,从而通过控 制f(n)的系数使③式成立.

F(忌)<譬一,(志)只能推出咒=忌十1时F(忌+
1)<譬,试想在保证卵:1时F(1)<辱一/(1)

令f(咒)=alr/+b(a,b为待定常数),代入
②式得n+6≥2(应+1)④

的条件下,我们能得到F(2)<譬,但无法得到
?36. 万方数据

一丽1,即4ak2+6ak+2a≥a2是2+口(口

代入③式得磊—‰一i南≥夏‰

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f4a≥口2,

倒2已知扎6

N’,求证:刍。十歹与+
+…

项系数,只需{6口≥口(口十2b),即
f0≤口≤4

…十六<碧.
分析:假设命题加强为:刍十两1

{6≤3一号
【2口≥6(口+b)

⑤,结合④式并注意厂(挖)?o,

不藉取{口b 541,’即厂(7z)=4咒+1.故原不等式 可加强为1一i1+了1一百1 o…+丽1 一去≤

应刚私{黠f(k南1对志
I厂(是)
+1)少2‘+1一

+再1≤署一而1(其中,(他)>o),则厂(托)

譬一石三1.将上述分析过程稍加整理即得加
l口乡磊
对愚∈N*恒成立,即

证明:设g(挖)=l一丢+号一丢+…+
i=芝i一害:+i=毛I,则g(咒+1)一g(7z)=1 2,z一1 27z。4
7z+

[焘一赤]“赤一尚]
’小1 5、¨’上7

5、“7

{三茎琴’不妨设n=吾,印八种=舌?2“.具体
证明略,请读者白行完成_

—.————————————!:————~———————————————.!:——————一
一‘2咒+1’‘2礼十2’


(2孢十丢)(2珏+—妻)
<0,知g(7z)是单

注:本例中口的取值不唯一,只需满足象

712+6时2

4n2+6砣+专

例3

已知冠6 N’,求证:豇1+石2+…+

调递减数列,故g(n)≤g(1)<等,命题得证.
上例即为∑』<C(C为常数)型不等式
£=”0“f

丁者孤<号.

证明问题.通过以上分析可知,利用加强命题的 方法证明该类问题的一般步骤是:


F梳≤土一彳‰(其中厂(以)>o,则2
l,(.;})

分析:假设命题加强为:责+者+…+


(7z十)!吣

f (咒)、丹1.,¨叫/w硝。







(1)将i曼。乏<C加强为;要。玄≤c—

南(其中“川>o);
(2)由a。的结构特征和f(砚)应满足的条
件,确定f(n)的表达式; (3)构造单调数列或利用数学归纳法证明 之。 下面再举两例说明.

睽1"了1一南,

Ii皋一忐≥7叁÷慕对女∈N*恒成立.f(k

+1)夕(.;}+3)P

K州P矾儿

最好出现(是+3)!,不妨令,(挖)2以’(挖+

万方数据

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中学数学研究
f(咒)=(竹+2)!.具体证明略,请读者自行完
成.

』刍≤号一志
f口≥1,

l而1丽一孤‰≥揣对^∈”匣眦

参考文献
[1]魏立国.强化命题巧证数列不等式.中学数学研究
(南昌),2005,4.

即1口≤糍对志∈N”恒成立,碍口=1’即

■}誊姑业啦薯}业业业省}啦啦越色'她业螗业鞋--zae'-,曲b,■}坐业业逝业坐逝誊坐螺■音j譬业■毒业业啦毒皓越e避坐

细析一道向量题
江苏省泰州市民兴实验中学(225300)
丁益民
某日,在一资料上看到下面一道题: 题1
AC

也告诉我们只要解决好第(1)问,离第(2)问还 会远么?

如图1,在/XABC中,l

AB I=3,

(2)第(1)问和第(3)问是有背景的
解决第(1)问我们会用到以下知识:首先是

l=1,l为BC的垂直平分线,l与BC交于

点D,E为l上异于D的任意一点.

(1)求AD?(AB—AC)的
值; (2)判断AE?(AB—AC) 的值是否为一常数,并说明理 由;
,——l———k,——I

...…

向量AD的表示,即以AB,AC为基底表示AD
(这一向量是自然的,因为条件中f
AB

.—▲.,—I..,、..一

f,f

AC

是两个已知量);其次是向量的数量积运算,这

是不困难的.但这一小题会让我们联想到2007
图1

年陕西卷第15题: 题2 如图2,在△ABC


(3)若AC上BC,取线段AD上任一点F, 求AF?(FB十FC)的最大值. 1.题目告诉我们什么

中,么BAC=120。,AB=2, AC=1,D是边BC上一点,
B D C

图2

从命题角度来看,本题的设计背景是丰富 的,融向量的线性运算,数量积运算予一体,具
有一定的思维量,同时每问的设计也是循序渐 进的.

DC=2BD,则AD?BC=一
相比之下,高考题(2)应该比题1(1)来得

更复杂(就是向量的表示和运算上的复杂),但 它们的本质还是一样的:即都是以AB,AC作为
。—一...I

(1)第(1)问与第(2)问间是特殊与一般的
关系

基底来表示向量AD,BC.

拿到试题,引起我们注意的是待求目标中 第(1)问与第(2)问的唯一差异:将点D换成了 点E,这一细微差异是否改变问题的实质呢?
实际上,就是这么个细微差别暗示了我们解题

而对于题1的第(3)问,我们不妨可以看一 下2005年江苏卷第18题: 题3 在△ABC中,o为中线AM上一个

的方向——从特殊到一般.我们可以这样认为: 第(1)问中点D是一个定点,而第(2)问中则将 之变成了动点E,即第(1)问是第(2)问的特殊
情形,这就暗示我们要沟通第(2)问与第(1)问

动点,若AM=2,则OA?(OB+0C)的最小值



...…

可以看出这两个问题也是如出一辙的,当 然可以理解为题1(3)是由高考题改编而成的,

的联系,就是要将第(2)问向第(1)问转化,同时
?38? 万方数据

也可以理解为高考题是源于题1(3)了,不管它

从一道例题的分析谈强化命题证明一类数列不等式
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 陈唐明 江苏省如东高级中学,226400 中学数学研究 STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG 2009,""(6) 0次

参考文献(1条) 1.魏立国 强化命题巧证数列不等式[期刊论文]-中学数学研究(南昌) 2005(04)

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