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1第一讲整数的基本性质 学生版


第一讲 整数的基本性质
本讲概述
一. 离散性 任何两个整数之间至少相差 1。即:

二.奇偶分析 将全体整数分为两类,凡是 2 的倍数的数称为偶数,否则称为奇数.因此,任一偶数可表为 2m(m∈Z) , 任一奇数可表为 2m+1 或 2m-1 的形式.奇、偶数具有如下性质: (1)奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数; 奇数±偶数=奇数;偶数×偶数=偶数; 奇数×偶数=偶数;奇数×奇数=奇数; (2)任何一个正整数 n,都可以写成 n ? 2 m l 的形式,其中 m 为非负整数,l 为奇数.

三. 整数的相除 1.整除的定义 一般的,两个整数 a 和 b(b≠0),若存在整数 k,使得 a=bk,我们称 a 能被 b 整除,记作 b|a.此时把 a 叫做 b 的倍数,b 叫做 a 的约数.如果 a 除以 b 的余数不为零,则称 a 不能被 b 整除,或 b 不整除 a,记 作b ? a. 2.数的整除特征 (1)1 与 0 的特性: 1 是任何整数的约数,即对于任何整数 a,总有 1|a. 0 是任何非零整数的倍数,a≠0,a 为整数,则 a|0. (2)能被 2,5;4,25;8,125;3,9;11,7,13 整除的数的特征: 能被 2 整除的数的特征:个位为 0,2,4,6,8 的整数能被 2 整除,我们记为 2k(k 为整数). 能被 5 整除的数的特征:个位数为 0 或 5 的整数必被 5 整除,我们记为 5k(k 为整数). 能被 4、25 整除的数的特征:末两位数字组成的两位数能被 4(25)整除的整数必能被 4(25)整除. 能被 8,125 整除的数的特征:末三位数字组成的三位数能被 8(125)整除的整数必能被 8(125)整 除. 能被 3,9 整除的数的特征:各个数位上数字之和能被 3 或 9 整除的整数必能被 3 或 9 整除. 能被 11 整除的数的特征:一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差如果是 11 的倍数,则这 个数就能被 11 整除. 能被 7,11,13 整除的数的特征:一个三位以上的整数能否被 7(11 或 13)整除,只须看这个数的末 三位数字表示的三位数与末三位以前的数字组成的数的差(以大减小)能否被 7(11 或 13)整除. 3.整除的基本性质 (1)自反性:a|a(a≠0) (2)对称性:若 a|b, b|a,则 a=b (3)传递性:若 a|b, b|c,则 a|c

(4)若 a|b, a|c,则 a|(b, c) (5)若 a|b, m≠0,则 am|bm (6)若 am|bm, m≠0,则 a|b (7)若 a|b, c|b, (a, c)=1,则 ac|b 4.带余除法: 对于任一整数 a 及大于 1 的整数 m,存在唯一的一对整数 q, r (0≤r<m),使得 a=qm+r 成立,这个式子 称为带余除法式。q 就是 a 除以 m 的不完全商,r 就是 a 除以 m 的余数。 证明:取由所有 m 的整数倍排成一列数 …, -km,…, -2m, -m, 0, m, 2m, …, km, … (k∈N) a 必介于该数列中的某两个相邻数之间,即存在整数 q,使 qm≤a<(q+1)m。 令 r=a-qm,则 0≤r<m,于是有 a=qm+r 如还有整数 q1,r1 满足 a=q1m+r1 (0≤r1<m),则 q1m+r1=qm+r?m(q1-q)=r-r1 若 q1≠q,则|m(q1-q)|≥m,而|r-r1|<m,这是不可能的. 这说明 q1=q, 于是 r1=r。

四. 基本定义:素数、合数、最大公约数、最小公倍数、完全平方数、阶乘 1. 一个大于 1 的整数 n 如果没有真因子(大于 1 而小于 n 的约数) ,则称 n 为素数;否则称它为合数. 素数的性质 1:若 p 为素数,a,b 为整数,如 p|ab,那么 p 必整除 a,b 之一. 素数的性质 2:素数有无穷多个.(欧几里得在公元 3 世纪给出了一个经典的利用反证法的证明) 2. 设 a,b,…,c 是有限个不全为零的整数,同时整除它们的整数叫做它们的公约数(或公因子).这些数中必 有一个最大的,称为 a,b,…,c 的最大公约数,记作(a,b,…,c).如果(a,b,…,c)=1,则称 a,b,…,c 是互素 的;同时为它们的倍数的整数叫做它们的公倍数,其中正的公倍数中最小的那个称为最小公倍数,记 作[a,b,…,c] 3. 一个数如果是另一个整数的完全平方,那么我们就称这个数为完全平方数,也叫做平方数. 性质 1:完全平方数的末位数只能是 0,1,4,5,6,9. 性质 2:奇数的平方的个位数字为奇数,十位数字为偶数. 性质 3 奇数的平方是 8n+1 型;偶数的平方为 8n 或 8n+4 型. 性质 4 不能被 5 整除的数的平方为 5k±1 型,能被 5 整除的数的平方为 5k 型. 性质 5:平方数的形式具有下列形式之一:16m,16m+1, 16m+4,16m+9.
4. 对任一正整数 n,定义 n 的阶乘为

n! ? n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ????? 3 ? 2 ?1

例题精讲
【例1】 (1)求整数 a,b,c,使得 (2)奇数的平方都可表为 8m+1 形式,偶数的平方都可表为 8m 或 8m+4 的形式(m∈Z) (3) 证明能被 7,11,13 整除的数的特征。

【例 2】

,

是+1 或者-1。求证:n 是 4 的倍数。

【例 3】(1)证明 n 2 ? n ? 1不是平方数; (2)证明连续三个自然数之积非平方数. (3)证明十进制表示中有 3 个数位为 1,其它数位均为 0 的数 n 非平方数。

【例 4】三角形三边长均为质数,证明:其面积不可能为整数.

【例 5】m,n 是正整数 (1)若 (2)若 (3) ,证明: . 互质. .

(4)求证:

【例 6】 (1)设 a,b 是正整数,且 a+b|ab.求证:(a,b)>1. (2)设 a,b 是正整数, .求证:a=b.

(3)设(a,b,c)=1,且 ab=c(a-b).求证:a-b 是一个完全平方数。

【例 7】求出所有的非负整数 n., 使得 20n+2 能整除 2003n+2002.

【例 8】自然数 n 恰有 12 个正因数,将它们由小到大排列: 1 ? d1 ? d2 ? ... ? d12 ? n 且 dd4 ?1

? (d1 ? d2 ? d4 )d8 ,求 n.

【例 9】试找出所有的正整数对(a,b)使得

能整除



【例 10】 a,b 是两个正整数,

除以 a+b 的商是 q,余数是 r.求出所有使得

的 a,b.

大显身手

练习 1:正整数 a,b,p,q,r,s,满足

。求证:

练习 2:有 n 个整数,积为 n,和为 0。求证:n 是 4 的倍数。 练习 3:试找出最小的自然数 n,使它的立方的十进制表示中末三位数字恰为 888. 练习 4:可以对写在黑板上的四位数进行如下形式的操作:或者将它的某两个相邻数字同时加 1,如果它 们都不等于 9;或者将它的某两个相邻数字同时减 1,如果它们都不等于 0,试问能否通过这样的操作将 1234 变为 2002? 练习 5:证明: 1992 | 997
995

? 995997

练习 6:记 f (n) ? n ? n ? 41 ,证明: (1)有无穷多个正整数 n 使得 f(n)为合数; (2)有无穷多个正整数 n 使得 43|f(n)。
2

练习 7:设 n 为正整数,若 2n ? 1,3n ? 1 均为完全平方数,试确定 5n+3 是否为合数?如可能为素数,试给 出 n 的一个可能值. 练习 8:试求所有满足 p ? q ? ( p ? q) 的质数对 ( p, q) .
3

练习 9:设 a,b 为正整数,且

b ?1 a ?1 ? 为整数,证明: (a, b) ? a ? b a b
,其中, . 记。

练习 10 :记 n 为大于 1 的整数,全部正因子为 . (1) 证明: ; (2) 确定所有 n,使得 D| . 练习 11:p,q 均为正整数,使得 试证:1979︱p 。

p 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ??? ? q 2 3 4 1318 1319

练习 12:试求所有这样的质数 p,使得 p ? 11恰有 6 个不同的正约数。
2
1990

练习 13:以 d(n)表示 n 的正因子的个数,试确定 S=

? d (k ) 的奇偶性。
k ?1

练习 14:求所有的正整数对(a,b),使得

是一个正整数。

本讲义编写者朱超逸老师将给大家开设习题课,选讲部分习题,希望大家能认真思考&多多做练习!



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