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【暑假预习】2015年初高中数学衔接教材讲义:第一讲 数与式的运算


第一讲

数与式的运算

在初中,我们已学习了实数,知道字母可以表示数用代数式也可以表示数,我们把实数 和代数式简称为数与式.代数式中有整式(多项式、单项式) 、分式、根式。它们具有实数 的属性,可以进行运算。在多项式的乘法运算中,我们学习了乘法公式(平方差公式与完全 平方公式) ,并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复 杂的多项式乘法运算,因此本节中将拓展乘法公式的内容,补充三个数和的完全平方公式、 立方和、立方差公式。在根式的运算中,我们已学过被开方数是实数的根式运算,而在高中 数学学习中,经常会接触到被开方数是字母的情形,但在初中却没有涉及,因此本节中要补 充。基于同样的原因,还要补充“繁分式”等有关内容。 一、乘法公式 【公式 1】 (a ? b ? c) 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca 证明: ?(a ? b ? c) 2 ? [(a ? b) ? c]2 ? (a ? b) 2 ? 2(a ? b)c ? c 2
? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 2ac ? 2bc ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ca

1 【例 1】计算: ( x 2 ? 2 x ? ) 2 3

? 等式成立

[来源:学科网]

说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列。 【公式 2】 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b3 (立方和公式) 证明: (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? a 2b ? ab2 ? a 2b ? ab2 ? b3 ? a 3 ? b3 【例 2】计算 : (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )

[来源:学科网 ZXXK]

【公式 3】 (a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a 3 ? b3 (立方差公式) 请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系,公式 1、2 、3 均称为乘法公式。 【例 3】计算:
[来源:学§科§网]

(1) (4 ? m)(16 ? 4m ? m 2 )

1 1 1 1 1 (2) ( m ? n)( m 2 ? mn ? n 2 ) 5 2 25 10 4

(3) (a ? 2)(a ? 2)(a 4 ? 4a 2 ? 16)

(4) ( x 2 ? 2xy ? y 2 )(x 2 ? xy ? y 2 ) 2

说明: (1)在进行代数式的乘法、除法运算时,要观察代数式的结构是否满 足乘法公式的结构。 (2)为了更好地使用乘法公式, 记住 1、2、3、4、?、20 的平方数 和 1、2、3、4、?、10 的立方数,是非常有好处的。 1 【例 4】已知 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x 3 ? 3 的值。 x

说明:本题若先从方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 中解出 x 的值后,再代入代数式求值,则计算较烦 琐.本题是根据条件式与求值式的联系,用整体代换的方法计算,简化了计算。请注意整体 代换法。本题的解法,体现了“正难则反”的解题策略,根据题求利用题知,是明智之举。 【例 5】已知 a ? b ? c ? 0 ,求 a( ? ) ? b( ? ) ? c( ? ) 的值。
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b

说明:注意字母的整体代换技巧的应用。 引申:同学可以探求并证明:

a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca)
二、根 式 式子 a (a ? 0) 叫 做二次根式,其性质如下: (1) ( a )2 ? a(a ? 0) (3) (2) (4)

a 2 ?| a |
b b ? (a ? 0, b ? 0) a a

ab ? a ? b (a ? 0, b ? 0)

【例 6】化简下列各式: (1)
( 3 ? 2) 2 ? ( 3 ? 1) 2

(2)

(1 ? x)2 ? (2 ? x)2 ( x ? 1)

说明:请注意性质 a 2 ?| a | 的使用:当化去绝对值符号但字 母的范围未知时,要对字 母的取值分类讨论。 【例 7】计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)
3 2? 3

(2)

1 1 ? a b

(3) 2

x ? x3 ? 8 x 2

说明:(1)二次根式的化简结果应满足:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被 开方数不含能开得尽方的因数或因式。 (2)二次根式的化简常见类 型有下列两种:①被开方数是整数或整式。化简时,先将 它分解因数或因式,然后把开得尽方的因 数或因式开出来;②分母中有根式(如 开方数有分母(如
3 2? 3

)或被

a x x x ).这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ,转化为 “分母中有 2 2 b 2

根式”的情况.化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进 行化简.(如
3 2? 3

化为

3(2 ? 3) (2 ? 3)(2 ? 3)

,其中 2 ? 3 与 2 ? 3 叫做互为有理化因式)。

【例 8】计算: (1) ( a ? b ? 1)(1 ? a ? b ) ? ( a ? b )2 (2)
a a ? ab ? a a ? ab
[来源:Z。xx。k.Com]

说明:有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分 式二次根式的运算。 【例 9】设 x ?
2? 3 2? 3 ,y? 2? 3 2? 3

,求 x3 ? y3 的值.

说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据 结论的结构特点,倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量。 三、分式 当分式
A A 的分子、分母中至少有一个是分式时, 就叫做繁分式 ,繁分式的化简常用 B B
x 1? x x? 1 x? x

以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质. 【例 10】化简

说明:解法一的运算方法是从最内部的分式入手,采取通分的方式逐步脱掉繁分式, 解法二则是利用分式的基本性质 【例 11】化简
A A? m 进行化简.一般根据题目特点综合使用两种方法。 ? B B?m

x 2 ? 3x ? 9 6x x ?1 ? ? 2 2 6 ? 2x x ? 27 9x ? x

[来源:学科网]

说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行,当分子、分母为多项式时,应先因式分 解再进行约分化简;(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式。

练 习


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