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平顶山许昌新乡三市2013届高三第三次调研考试理科数学试题有答案


2013 年高三理科数学三模试卷参考答案
一、选择题: ABABC 1——5 二、填空题: 13. ?192 三、解答题: 17. 解:(Ⅰ)? an ?1 ? f ? an ? ? 14. 6------10 15. 36?

BDCAA
16. ③④

11----12 CB

15 3

4

an 3an ? 1

?

3a ? 1 1 1 1 1 ? n ? 3? ? ? ?3 an?1 an an an?1 an

所以数列 ?

?1? ? 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列 ?????? ?????? ?????? ?????? 6 分 ? an ?

(Ⅱ)?

1 1 ? 1 ? 3 ? n ? 1? ? 3n ? 2 ? an ? an 3n ? 2 1 1 1 ? 1 1 ? ? ? ?? ? ? 3n ? 2 3n ? 1 3 ? 3n ? 2 3n ? 1 ?

? an ? an?1 ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n ?????? 12 分 ? Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ? 3 ? 3n ? 1 ? 3n ? 1
18. (I)基本事件总数为 6 ? 6 ? 36 ,
2 若使方程有实根,则 ? ? b ? 4c ? 0 ,即 b ? 2 c .

当 c ? 1 时, b ? 2,3, 4,5,6 ;当 c ? 2 时, b ? 3, 4,5,6 ;当 c ? 3 时, b ? 4,5,6 ; 当 c ? 4 时, b ? 4,5,6 ;当 c ? 5 时, b ? 5, 6 ;当 c ? 6 时, b ? 5, 6 ,
2 记方程 x ? bx ? c ? 0 有实根为事件 A ,

事件 A 所含基本事件个数为 5 ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 2 ? 19,

19 . ?????? ?????? ?????? ?????? 6 分 36 17 2 1 17 ? , P (? ? 2) ? , (II)由题意知, ? ? 0,1, 2 ,则 P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? 36 36 18 36
2 因此,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率为

故 ? 的分布列为

?

0

1

2

P

17 36

1 18

17 36

? 的数学期望 E? ? 0 ?

17 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 1. ?????? ?????? ?????? 12 分 36 18 36

19. (Ⅰ)解:因为底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60? , 又 AC ? a 所以 AB ? AD ? a ,在 ?PAB 中,因为 PA ? a ,所以

PA2 ? AB2 ? 2a 2 ?

?

2a

?

2

同理, ? PB2 故 PA ? AB ,

PA ? AD ,

所以 PA ? 平面 ABCD ,作 EG / / PA 交 AD 于 G ,则 ABCD .作 GH ? AC 于 H ,连结 EH ,则 EH ? AC , 为二面角 E ? AC ? D 的平面角. 又 PE ? ED ? 2 ? 1 ,所以

EG ⊥平面 ?EHG 即

1 2 3 EG ? a, AG ? a, GH ? AG sin 60? ? a. 3 3 3
从而

t a n EHG ? ?

EG 3 ? ? , ?EHG ? 3 0 . GH 3

? 二面角 E ? AC ? D 是 30?. ?????? ?????? 6 分
(Ⅱ) 解法一 以 A 为坐标原点, 直线 AD 、AP 分别为 y 轴、z 轴, A 点垂直平面 PAD 的直线为 x 轴, 过 建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为

2 1 3 1 3 1 a,? a,0), C ( a, a,0). D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a). 3 3 2 2 2 2 ??? ? 2 1 ???? 3 1 a, a,0). 所以 AE ? (0, a, a), AC ? ( 3 3 2 2

A(0,0,0), B(

??? ? ??? ? 3 1 AP ? (0,0, a), PC ? ( a, a, ?a). 2 2
??? ? 3 1 BP ? (? a, a, a). 2 2 设点 F 是棱 PC 上的点, ??? ? ??? ? 3 1 PF ? ? PC ? ( a? , a? , ?a? ), 其中 ? ? ? 1, 0 2 2 ??? ??? ??? ? ? ? 3 1 3 1 则 BF ? BP ? PF ? (? a, a, a) ? ( a? , a? , ?a? ) 2 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? 3 1 ?( a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )). 令 BF ? ?1 AC ? ?2 AE 2 2 ? 3 3 ? a?1 , ? a(? ? 1) ? ?? ? 1 ? ?1 , 2 ? 2 ? 1 2 4 ?1 ? a(1 ? ? ) ? a?1 ? a? 2 , 即?1 ? ? ? ?1 ? ? 2 , ? 2 3 3 ?2 ? 1 1 ? ? ?a(1 ? ? ) ? 3 a? 2 . ?1 ? ? ? 3 ? 2 . ? ?



解得

? ? , ?1 ? ? , ? 2 ? .

1 2

1 2

3 2

即 ??

??? ? ? 1 1 ???? 3 ??? 时, BF ? ? AC ? AE. 2 2 2

即, F 是 PC 的中点时, BF 、 AC 、 AE 共面. 又 BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ?????? ?????? 12 分 解法二 当 F 是棱 PC 的中点时, BF / / 平面 AEC ,证明如下, 证法一 取 PE 的中点 M ,连结 FM ,则 FM / / CE . ①

1 PE ? ED , 知 E 是 MD 的中点. 2 连结 BM 、 BD ,设 BD ? AC ?O ,则 O 为 BD 的中点. 所以 BM / / OE . ② 由①、②知,平面 BFM / / 平面 AEC . ?????? ?????? 12 分 又 BF ? 平面 BFM ,所以 BF / / 平面 AEC .


EM ?

证法二因为

??? ??? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? BF ? BC ? CP ? AD ? (CD ? DP ) 2 2 1 3 1 3 ? AD ? CD ? DE ? AD ? ( AD ? AC) ? ( AE ? AD) 2 2 2 2 3 1 ? AE ? AC. 2 2
所以 BF 、 AE 、 AC 共面. 又 BF ? 平面 ABC ,从而 BF ?? 平面 AEC . ?????? ?????? 12 分 20. 解: (Ⅰ)由题意:一条切线方程为: x ? 2 ,设另一条切线方程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) 则:

| 4 ? 2k | k 2 ?1

? 2 ,解得: k ?

3 3 5 ,此时切线方程为: y ? x ? …………2 分 4 4 2 6 8 , y ? ,则直线 AB 的方程为 x ? 2 y ? 2 5 5

切线方程与圆方程联立得: x ? ?

令 x ? 0 ,解得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ;令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,∴ a ? 2

故所求椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 ……………………………6 分 4

? y ? kx ? 3, ? (Ⅱ)联立 ? x 2 整理得 1 ? 4k 2 x 2 ? 8 3kx ? 8 ? 0 , 2 ? ? y ? 1. ?4

?

?

令 P( x1 , y1 )

, Q( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

8 ? 8 3k , x1 x 2 ? , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

? ? (8 3k ) 2 ? 32(1 ? 4k 2 ) ? 0 ,即: 2k 2 ? 1 ? 0
原点到直线 l 的距离为 d ?

3 1? k 2

, ……………………………………8 分

| PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ,

∴ S?OPQ

1 3 3 2k 2 ? 1 2 ? PQ ? d ? | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 2 6? 2 2 2 (1 ? 4k 2 ) 2
?1

2k 2 ? 1 1 =2 6? ?2 6? 2 2 2 4(2k ? 1) ? 12(2k ? 1) ? 9 4(2k 2 ? 1) ? 12 ?
当且仅当 k ?

9 2k 2 ? 1

5 时取等号,则 ?OPQ 面积的最大值为 1.………………………12 分 2

21. 解: (I) f ?( x) ? (3x2 ?12x ? 3)ex ? ( x3 ? 6x2 ? 3x ? t )e x ? ( x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3)e x

令g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? t ? 3, g '( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3)

?g(-1)>0 g ( x)在(-?,-1),(3,+?)上递增, (-1,3)上递减. ? g ( x)有3个零点? ? ??8 ? t ? 24. ? g (3) ? 0
…………………4 分
3 2 x (II)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3x ? t )e ? x ,即 t ? xe
?x

………

? x 3 ? 6 x 2 ? 3x .

转化为存在实数 t ??0, 2? ,使对任意的 x ? ?1, m? , 不等式 t ? xe
?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.
?x

即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ( x) ? e
?x

? x3 ? 6 x2 ? 3x 在 x ? ?1, m? 上恒成立.

?x

? x2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m? 上恒成立……………………6 分

? x2 ? 6 x ? 3 ,则 ??( x) ? ?e? x ? 2x ? 6 .
?x

设 r ( x) ? ??( x) ? ?e

? 2x ? 6 ,则 r?( x) ? e? x ? 2 ,因为1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 .

故 r ( x) 在区间 ?1, m? 上是减函数………………………8 分 又 r (1) ? 4 ? e
?1

? 0, r (2) ? 2 ? e?2 ? 0, r (3) ? ?e?3 ? 0

故存在 x0 ? (2,3) ,使得 r ( x0 ) ? ? ?( x0 ) ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,有 ? ?( x) ? 0 . 从而 y ? ? ( x) 在区间 ?1, x0 ? 上递增,在区间 ? x0 , ??? 上递减………10 分 又 ? (1) ? e ? 4 ? 0, ? (2) ? e ? 5>0, ? (3) ? e ? 6>0,
?1 ?2 ?3

? (4) ? e?4 ? 5>0,? (5) ? e?5 ? 2 ? 0,? (6) ? e?6 ? 3 ? 0.
所以当 1 ? x ? 5 时,恒有 ? ( x) ? 0 ;当 x ? 6 时,恒有 ? ( x) ? 0 ; 故使命题成立的正整数 m 的最大值为 5.…………………………12 分 22. (I)证:∵CH ? AB, DB ? AB, , ∴?AEH ? ?AFB, ?ACE ? ?ADF ∴
EH AE CE ,∵HE ? EC , ? ? BF AF FD

∴BF ? FD ∴ F 是 BD 中点.………….…5 分

?? (II)∵ AB 是直径,∴?ACB =90° ?BCF = ?CBF =90° CBA ? ?CAB ? ?ACO ∴
∴?OCF ? 90 ,∴CG 是 ? O 的切线….………10 分 (说明:也可证明 ?OCF ? ?OBF (从略,) 23.(Ⅰ )横坐标不变,纵坐标变为原来的 2 倍得到 ?
?

? x ? 2cos ? ? 2 (?为参数) ? y ? 2sin ?

? C1为 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 4 .…….………….…3 分
2

又?C2为? =4sin? ,即x2 ? y 2 ? 4 y .…….………….….…….………….…5 分 (Ⅱ C1和C2 公共弦的垂直平分线的极坐标方程是 ? cos ? ? ? )

? ?

??

? ? 2 .…….………10 分 4?

24. (I)当 a ? ?5 时,要使函数 f ? x ? ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . 有意义, 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ?2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 . 综上所求函数的定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,??? …….….…….………….…5 分 (II) 函数 f ? x ? 的定义域为 R , | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 恒成立, | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a 恒成立, 则 即

?1 ? 2 x, ( x ? ?1) ? 构 造 函 数 h?x ? ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3, ( ?1 ? x ? 2) , 求 得 函 数 的 最 小 值 为 3 , 所 以 ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?
a ? ?3 .…….……….…….………10 分


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