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人教a版必修5学案:2.1数列的概念与简单表示法(1)(含答案)


第二章 § 2.1





数列的概念与简单表示法(一)
自主学习

知识梳理 1.数列的概念 按照一定 ________ 排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 ________. 2.数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,?,an,?,简记为__

____,其中________称为 数列{an}的第 1 项(或称为________),a2 称为第 2 项,?,________称为第 n 项. 3.数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列:项数________的数列; 无穷数列:项数________的数列. (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列:从第 2 项起,每一项都________它的前一项的数列; 递减数列:从第 2 项起,每一项都________它的前一项的数列; 常数列:各项________的数列; 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做 这个数列的通项公式. 5.数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前 n 项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示,那么这 个公式叫做数列的递推公式. 自主探究 1.数列 1,2,3,4,?的一个通项公式是____________. 1 1 1 2.数列 1, , , ,?的一个通项公式是____________. 2 3 4 3.数列 2,4,6,8,?的一个通项公式是____________. 4.数列 1,3,5,7,?的一个通项公式是____________. 5.数列 1,4,9,16,?的一个通项公式是____________. 6.数列 1,2,4,8,?的一个通项公式是____________. 7.数列-1,1,-1,1,?的一个通项公式是____________. 8.数列 1,-2,3,-4,?的一个通项公式是____________. 9.数列 9,99,999,9 999,?的一个通项公式是____________. 10.数列 0.9,0.99,0.999,0.999 9,?的一个通项公式是____________. 对点讲练 知识点一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. 1 1 5 13 29 61 3 (1)-1,7,-13,19,?;(2)0.8,0.88,0.888,?;(3) , ,- , ,- , ,?;(4) , 2 4 8 16 32 64 2 7 9 1, , ,?;(5)0,1,0,1,? 10 17 例1

总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同时,要善于 利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化而达到问题的解决. 变式训练 1 写出下面数列的一个通项公式. 1 1 1 1 (1)2 ,4 ,6 ,8 ,? (2)10,11,10,11,10,11,? 2 4 8 16 8 15 24 (3)-1, ,- , ,? 5 7 9

知识点二 根据递推公式写出数列的前几项 a =1, ? ?1 设数列{an}满足? 写出这个数列的前 5 项. 1 an=1+ ?n>1,n∈N*?. ? an-1 ?

例2

总结 由递推公式可以确定数列,它也是给出数列的一种常用方法. 变式训练 2 在数列{an}中,已知 a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列 的前 6 项.

知识点三 数列通项公式的应用
?9n2-9n+2? ?; 已知数列? 2 ? 9n -1 ? (1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; 1 2? (4)在区间? ?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.

例3

总结 判断某数是否为数列中的项, 只需将它代入通项公式中求 n 的值, 若存在正整数 n,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列的项. ?-1?n?n+1? 变式训练 3 已知数列{an}的通项公式 an= . ?2n-1??2n+1? 2 (1)写出它的第 10 项;(2)判断 是不是该数列中的项. 33

1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π 的不同近似值,依据精确的程度 可形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141,?,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1,- + 1,1,-1,1,?的通项公式可写成 an=(-1)n,也可以写成 an=(-1)n 2,还可以写成 an ?-1 ?n=2k-1?, ? =? 其中 k∈N*. ? 1 ? n = 2 k ? , ? 课时作业 一、选择题 1.设数列 2, 5,2 2, 11,?,则 2 5是这个数列的( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 8 项 D.第 9 项 2.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是( ) n?n-1? A.an=n2-n+1 B.an= 2 n?n+1? C.an= D.an=n2+1 2 3.已知数列{an}中,an=2n+1,那么 a2n 为( ) A.2n+1 B.4n-1 C.4n+1 D.4n 4.若数列的前 4 项为 1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是( ) 1 n-1 A.an= [1+(-1) ] 2 1 B.an= [1-cos(n· 180° )] 2 2 C.an=sin (n· 90° ) 1 - D.an=(n-1)(n-2)+ [1+(-1)n 1] 2 5.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 1 2 3 4 5 题 号

答 案 二、填空题 6.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 __________. 7.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家 经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆 成如图所示的三角形形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第 10 个三角形数是 ______.

8.数列 a,b,a,b,?的一个通项公式是____________. 三、解答题 9.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个点.

10.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· a2· a3· ?· an=n2. 256 (1)求 a3+a5;(2)探究 是否为此数列中的项;(3)试比较 an 与 an+1 (n≥2)的大小. 225

§ 2.1

第二章 数 列 数列的概念与简单表示法(一)

知识梳理 1.顺序 项 2.{an} a1 首项 an 3.(1)有限 无限 (2)大于 自主探究 1.an=n 1 2.an= n 3.an=2n 4.an=2n-1 5.an=n2 - 6.an=2n 1

小于 相等

7.an=(-1)n + 8.an=(-1)n 1n 9.an=10n-1 10.an=1-0.1n 对点讲练 + 例 1 解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示,其各项的绝对值的排列规律为: 后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6, 故通项公式为 an=(-1)n(6n-5) (n∈N*). 8 8 8 (2)数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),?, 9 9 9 1 ? 8? ∴an= ?1-10n? (n∈N*). 9 (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,?易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 项变为- ,因此原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,?, 2 2 2 2 2 n 2 - 3 ∴an=(-1)n· n (n∈N*). 2 3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得分子 2 5 10 17 的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16?即数列{n2},可得分 母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 (n∈N*). n +1
? ?0 ?n为奇数? 1+?-1?n 1+cos nπ (5)an=? 或 an= (n∈N*)或 an= (n∈N*). 2 2 ?1 ?n为偶数? ? 变式训练 1 解 (1)这是个混合数列, 1 1 1 1 可看成 2+ ,4+ ,6+ ,8+ ,?. 2 4 8 16 1 故通项公式 an=2n+ n (n∈N*). 2 (2)该数列中各项每两个元素重复一遍,可以利用这个周期性求 an.原数列可变形为: 10+0,10+1,10+0,10+1,?. 1+?-1?n 故其一个通项为:an=10+ (n∈N*), 2 ? ?10,n为奇数 或 an=? (n∈N*). ?11,n为偶数 ? 3 (3)通项符号为(-1)n,如果把第一项-1 看作- ,则分母为 3,5,7,9,?,分母通项为 3 2 2n+1;分子为 3,8,15,24,?,分子通项为(n+1) -1 即 n(n+2), n2+2n 所以原数列通项为:an=(-1)n (n∈N*). 2n+1 例 2 解 由题意可知 a1=1, 1 1 a2=1+ =1+ =2, a1 1 1 1 3 a3=1+ =1+ = , a2 2 2 1 2 5 a4=1+ =1+ = , a3 3 3 1 3 8 a5=1+ =1+ = . a4 5 5

变式训练 2 在数列{an}中,已知 a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写出此数列 的前 6 项. 解 a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17, a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33. 9n2-9n+2 例 3 (1)解 设 f(n)= 9n2-1 ?3n-1??3n-2? 3n-2 = = . ?3n-1??3n+1? 3n+1 28 令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)= . 31 3n-2 98 (2)解 令 = ,得 9n=300. 3n+1 101 98 此方程无正整数解,所以 不是该数列中的项. 101 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明 ∵an= = = 1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N*,∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. 3n-2 2 1 (4)解 令 <an= < , 3 3n+1 3
? ?3n+1<9n-6 则? ,即 ?9n-6<6n+2 ?

?n>6 ? 8 ?n<3

7 7 8 .∴ <n< . 6 3

又∵n∈N*, 1 2? 4 ∴当且仅当 n=2 时,上式成立,故区间? ?3,3?上有数列中的项,且只有一项为 a2=7. ?-1?10×11 11 变式训练 3 解 (1)a10= = . 399 19×21 n+1 2 (2)令 = , ?2n-1??2n+1? 33 化简得:8n2-33n-35=0, 7 解得 n=5 或 n=- (舍去). 8 2 2 2 当 n=5 时,a5=- ≠ .∴ 不是该数列中的项. 33 33 33 课时作业 1.B [数列通项公式为 an= 3n-1,令 3n-1=2 5,解得 n=7.] 2.C 3.C 4.D [令 n=1,2,3,4 代入验证即可.] 5.C [n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去).] 6.an=2n+1 7.55 解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,?,第 10 个三角形数为:1+2+3+4+?+10 =55.

a+b + a-b? 8.an= +(-1)n 1? 2 ? 2 ? a+b a-b a+b a-b 解析 a= + ,b= - , 2 2 2 2 a+b + a-b? 故 an= +(-1)n 1? 2 ? 2 ?. 9.解 图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分支有 1 个点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4)除中间 1 个点外,有 四个分支,每个分支有 3 个点;?;猜测第 n 个图中除中间一个点外,有 n 个分支,每个分 支有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个数为 1+n(n-1)=n2-n+1. n2 10.解 由题意知:an= (n≥2). ?n-1?2 9 25 61 (1)a3+a5= + = . 4 16 16 256 162 (2)∵ = 2=a16, 225 15 256 ∴ 为数列中的项. 225 ?n+1?2 n4-?n2-1?2 2n2-1 n2 (3)n≥2 时,an-an+1= - = = >0,∴an>an+1. n2 ?n-1?2 ?n-1?2n2 ?n-1?2n2


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