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【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 小题专题练(二)理


小题专题练(二)

三角函数与平面向量

(建议用时:50 分钟)

?π ? 4 ? π 3π ? 1.已知 cos? -α ?= ,且 α ∈? , ?,则 tan α =( ) 2 ? ?2 ? 5 ?2 4 4 A.- B. 3 3 3 3 C.- D. 4 4 2.已知向量 a=(1,2),b=(2,0),c=

(1,-2),若向量 λ a+b 与 c 共线,则实数 λ 的值为( ) 1 A.-2 B.- 3 2 C.-1 D.- 3
3.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=2 3,cos A= 3 且 2

b<c,则 b=(
A.3 C.2

) B.2 2 D. 3

2 3 4.若两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= |a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角 3 是( ) π π A. B. 6 3 2π 5π C. D. 3 6 π 5.(2015·淄博第一次统考)将函数 f(x)=sin(2x+φ )(|φ |<π )的图象向左平移 个 6 π? ? 单位后得到函数 g(x)=cos?2x+ ?的图象,则 φ 的值为( ) 6? ? 2π π A.- B.- 3 3 π 2π C. D. 3 3 π? ? 6.若函数 y=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?在一个周期内的图象如图所示,M, 2? ? → → N 分别是这段图象的最高点与最低点,且OM·ON=0,则 A·ω 等于( )

A. C.

π 6 7 π 6

B.

7π 12

7 D. π 3
1

→ → → → → → 7.在△ABC 中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F 为 BC 的三等分点,则AE·AF =( ) 8 10 A. B. 9 9 25 26 C. D. 9 9 3π ? ? cos?α - ? 10 ? π ? 8.若 tan α =2tan ,则 =( ) 5 π? ? sin?α - ? 5? ? A.1 B.2 C.3 D.4 → → → 9.(2015·聊城质量检测)若△ABC 外接圆的圆心为 O,半径为 4,OA+2AB+2AC=0, → → 则CA在CB方向上的投影为( ) A.4 B. 15 C. 7 D.1 10.(2015·菏泽第三次四校联考)已知函数 f(x)= 3sin ω x+cos ω x(ω >0)的图象 π π 与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列, 把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个 2 6 单位,得到函数 g(x)的图象.关于函数 g(x),下列说法正确的是( ) ?π π ? A.在? , ?上是增函数 ?4 2? π B.其图象关于直线 x=- 对称 4 C.函数 g(x)是奇函数 ?π 2π ? D.当 x∈? , ?时,函数 g(x)的值域是[-2,1] 3 ? ?6 1 2 11.(2015·枣庄统考)已知角 α 的终边经过点 A(- 3,a),若点 A 在抛物线 y=- x 4 的准线上,则 sin α =________. 2 12.(2015·莱芜摸底考试)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ac=b π 1 2 -a ,A= ,则 B=________.13.已知 e1,e2 是平面单位向量,且 e1·e2= .若平面向量 6 2 b 满足 b·e1=b·e2=1,则|b|=________. 14.函数 y=tan ω x(ω >0)与直线 y=a 相交于 A,B 两点,且|AB|最小值为π ,则函 数 f(x)= 3sin ω x-cos ω x 的单调增区间是________. 15.已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x(ω >0),x∈R.若函数 f(x)在区间(-ω ,ω ) 内单调递增,且函数 y=f(x)的图象关于直线 x=ω 对称,则 ω 的值为________.

2

小题专题练(二) 三角函数与平面向量 4 ?π ? 4 1.解析:选 A.因为 cos? -α ?= ,所以 sin α = ,显然 α 在第二象限,所以 cos 5 ?2 ? 5 3 4 α =- ,故 tan α =- . 5 3 2.解析:选 C.由题知 λ a+b=(λ +2,2λ ),又 λ a+b 与 c 共线,所以-2(λ +2) -2λ =0,所以 λ =-1. 2 2 2 2 3.解析:选 C.由 a =b +c -2bccos A,得 4=b +12-6b,解得 b=2 或 4.又 b<c, 所以 b=2. 2 3 4.解析:选 B. 设向量 a+b 与 a-b 的夹角为 θ ,因为|a+b|=|a-b|= |a|,所 3 4 2 4 2 1 2 2 2 2 2 2 以 a + 2a·b + b = a , a - 2a·b + b = a , 两 式 相 加 得 , b = a , 则 cos θ = 3 3 3 1 a2- a2 2 2 3 (a+b)·(a-b) a -b 1 π = = = ,所以 θ = . |a+b||a-b| |a+b||a-b| 2 3 2 3 2 3 |a| |a | 3 3 ? ? π? ? 5.解析:选 C.由题意得 g(x)=sin?2?x+ ?+φ ?, 6 ? ? ? ? π? 2π ? ? ? 又 g(x)=cos?2x+ ?=sin?2x+ ?, 6? 3 ? ? ? π 2π π 所以 +φ =2kπ + ,k∈Z,即 φ =2kπ + ,k∈Z, 3 3 3 π 因为|φ |<π ,所以 φ = . 3 T π π π 6.解析:选 C.由题中图象知 = - = ,所以 T=π ,所以 ω =2. 4 3 12 4 π 7 ? ? ? ? 又知 M? ,A?,N? π ,-A?, ?12 ? ?12 ? 2 7 π → → 2 由OM·ON=0,得 2 =A , 12 7 7 π ,所以 A·ω = π .故选 C. 12 6 → → → → → → 7.解析:选 B.由|AB+AC|=|AB-AC|,化简得AB·AC=0,又因为 AB 和 AC 为三角形 → → 的两条边,不可能为 0,所以AB与AC垂直,所以△ABC 为直角三角形.以 AC 为 x 轴,以 AB 为 y 轴建立平面直角坐标系,如图所示,则 A(0,0),B(0,2),C(1,0),由 E,F 为 BC 的 → ?2 2? → ?1 4? → → 2 1 2 4 ?2 2? ?1 4? 三等分点知 E? , ?,F? , ?,所以AE=? , ?,AF=? , ?,所以AE·AF= × + × = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 10 . 9 所以 A=

3

3 ? π π? π? ? ? ? 8.解析:选 C.因为 cos?α - π ?=cos?α + - ?=sin?α + ?, 10 ? 5 2? 5? ? ? ? π? π π π ? tan α +tan sin?α + ? sin α cos +cos α sin 5? 5 5 5 ? 所以 原式= = = . π? π π π ? tan α -tan sin?α - ? sin α cos -cos α sin 5? 5 5 5 ? π π 2tan +tan 5 5 π 又因为 tan α =2tan ,所以 原式= =3. 5 π π 2tan -tan 5 5 9. 解析:选 C.如图所示,取 BC 的中点 D,连接 AD,OD,则由平面向量加法的几何意 1→ 1→ → → → → → → 1→ → → 义得AB+AC=2AD.又由条件得AB+AC=- OA= AO,所以 2AD= AO,即 4AD=AO,所以 A, 2 2 2 → → → → → O,D 共线,所以 OA⊥BC,所以 CD 为CA在CB方向上的投影.因为|AO|=|CO|=4,所以|OD| → → =3,所以|CD|= |→ OC|2-|OD|2= 7,故选 C.

π? T π ? 10.解析:选 D.f(x)= 3sin ω x+cos ω x=2sin?ω x+ ?,由题设知 = ,所以 6 2 2 ? ? π? 2π π ? T=π ,ω = =2,所以 f(x)=2sin ?2x+ ?.把函数 f(x)的图象沿 x 轴向左平移 个单 6 T 6 ? ? π π π ? ? ? ? ? ? 位,得到 g(x)=2sin ?2?x+ ?+ ?=2sin ?2x+ ?=2cos 2x 的图象,g(x)是偶函数且 6? 6? 2? ? ? ? π ?π π ? ? π 2π ? 在? , ?上是减函数, 其图象关于直线 x=- 不对称, 所以 A, B, C 错误. 当 x∈? , ? 3 ? 4 ?4 2? ?6 π ? π 4π ? 时,2x∈? , ?,则 g(x)min=2cos π =-2,g(x)max=2cos =1,即函数 g(x)的值域 3 ? 3 ?3 是[-2,1]. 1 11.解析:由条件,得抛物线的准线方程为 y=1,因为点 A(- 3,a)在抛物线 y=- 4 1 1 x2 的准线上,所以 a=1,所以点 A(- 3,1),所以 sin α = = . 3+1 2 1 答案: 2 12.解析:依题意得 a =b +c -2bccos A,即 b -a +c -2bccos A=ac+c - 3bc =0, a+c= 3 b. b2-a2-ac=b2-a(a+c)=b2- 3ab=0, b= 3a, 且 c= 3b-a=2a>b,
4
2 2 2 2 2 2 2

c2=a2+b2,C= ,B= .
π 答案: 3 1 1 13.解析:因为 e1·e2= ,所以 |e1||e2|cos〈e1,e2〉= , 2 2 所以 〈e1,e2〉=60°. 又因为 b·e1=b·e2=1>0,所以 〈b,e1〉=〈b,e2〉=30°. 1 2 3 由 b·e1=1,得|b||e1|cos 30°=1,所以 |b|= = . 3 3 2 2 3 答案: 3 14.解析:由函数 y=tan ω x(ω >0)的图象可知,函数的最小正周期为π ,则ω =1, π π π π 2π ? π? 故 f(x)=2sin?x- ?.由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z), 得 2kπ - ≤x≤2kπ + 6? 2 6 2 3 3 ? (k∈Z). π 2π ? ? 答案:?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3 ? ? π? ? 15.解析:f(x)=sin ω x+cos ω x= 2sin?ω x+ ?, 4? ? 因为 f(x)在区间(-ω ,ω )内单调递增,且函数图象关于直线 x=ω 对称, π π 2 所以 f(ω )必为一个周期上的最大值,所以有 ω ·ω + =2kπ + ,k∈Z,所以 ω 4 2 π = +2kπ ,k∈Z. 4 2π ω π π π 2 2 又 ω -(-ω )≤ ,即 ω ≤ ,所以 ω = ,所以 ω = . 2 2 4 2 答案: π 2

π 2

π 3

5


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