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我们身边的概率和博弈问题


在很多人眼里,数学是书本上的知识,是研究者的领域,而事实上,在我们的生活中, 数学无处不在,其中具有典型意义的就是概率和博弈问题。只要留心,生活处处存在概率和 博弈,了解并学会如何运用它们,会使我们解决生活中的问题变得简单化,往往让我们意想 不到。 中世纪欧洲盛行掷骰子赌博,其中提出许多很有趣的概率问题。当时法国的帕斯卡、 费尔马和旅居巴黎的荷兰数学家惠更斯都对此类问题感兴趣, 他们用组合数学研究了许多与 掷骰子有关的概率计算问题。 20 世纪 30 年代柯尔莫哥洛夫提出概率公理化以来, 自 概率论 迅速发展成为数学领域里一个相对较新的和充满活力的学科,并且在工程、国防、生物、经 济和金融等领域得到了广泛的应用, 而且与人们的生活有着密切的联系。 拉普拉斯有一句名 言:“生活中最重要的问题,绝大部分其实只是概率问题” 。 在遵守一定 “游戏规则” 的前提下, 具有竞争或对抗性的行为称为 “博弈” 比如打牌、 , 下棋、企业经营或国际间的政治和军事谈判等。博弈的思想历史渊源悠久。 《史记》中就记 载了战国时期“田忌赛马”的故事,这是运用(http://www.flycity.cn )博弈思想以弱胜强的经 典例子。 《孙子兵法》中含有丰富而深刻的博弈论思想。1944 年美国数学家冯·诺伊曼和摩 根斯特恩的著作《博弈论与经济行为》创立了博弈论这门学科。上世纪 80 年代以后,博弈 论已经成为整个社会科学特别是经济学的核心。著名经济学家萨缪尔森认为:要想成为现代 社会中有文化的人,必须对博弈论有大致的了解。 下面我试图通过若干例子来向大家展示概率论和博弈论是如何成为我们“日常生活指 南”的。 一."生日悖论" n 个人中至少有两人生日相同的概率 P(n)是多少?这是有名的"生日问题"。答案是:对 于 n≤365,P(n)=1-Q(n),其中 Q(n)为 n 个人生日都不相同的概率: 下面是一张对照表: 令人难以置信的是:随机选取的 23 人中至少两人生日相同的概率居然超过 50%, 人 50 中至少两人生日相同的概率居然达到 97%!这和人们的直觉是抵触的。因此这一结果被称 为生日悖论,尽管它在数学上是正确无误的。理解"生日悖论"的关键在于任意两个人的搭配 方式可以很多,例如 23 个人可以产生 23×22/2=253 种不同的搭配。 二.如何理解社会和大自然中出现的奇迹? 对单个彩民和单次抽奖来说, 中乐透头奖的概率是 2250 万分之一, 但到 2008 年之前, 在"纽约乐透"史上发生过 3 次一人中两次头奖的事件。例如,2007 年 8 月 30 日美国纽约的 安杰洛夫妇喜中"纽约乐透"头奖, 获得 500 万美元奖金。 他们 1996 年与另外 3 人共分了 1000 万美元头奖。这真是堪称一个奇迹。 在河北省著名旅游景点野三坡的蚂蚁岭左侧,断崖边缘有一块直径 10 米、高 4 米的" 风动石",此石着地面积不足覆盖面积的 1/20,尤其基部接触处只有两个支点。这也算是一

个奇迹。 从概率论观点看,上述两个奇迹的发生并不奇怪,因为即使是极小概率事件,如果重 复很多次, 会有很大概率发生。 "纽约乐透"每周三及周六晚间各开奖一次, 每年开奖 104 次, 15 年间经历约 1500 次开奖。假定以前中过"纽约乐透"头奖的人还经常买"纽约乐透"彩票, 而且他们下的总注数每次超过 3000 注(注意:中过大奖的人一次可能下很多注), 那么在 15 年 间他们之中有人再中头奖的概率超过 1/5,这已经不是很小的概率了。大自然中的奇迹是地 壳在亿万年的变迁中偶然发生的,但这种奇迹在历史的长河中最终出现则是一种必然现象。 三.在分组对比中占优,总体上一定占优吗? 答案是:不一定!下面是一个例子。假定有两种药(A 和 B),要通过分组临床试验对比其 疗效。以下是试验结果的统计表: 从甲乙两组试验结果看,药物 A 的疗效都优于药物 B,但总体来看,药物 B 的疗效反 而优于药物 A。早在 20 世纪初,当人们为探究(http://luntan.flycity.cn )两种因数是否具有某 种相关性而进行分组研究时就发现了这种现象:在分组比较中都占优势的一方,在总评中反 而是劣势。直到 1951 年英国统计学家辛普森在他发表的论文中才正式对这一现象给予理论 解释。后人就把这一现象称为"辛普森悖论"。 四.如何评估疾病诊断的确诊率? 假想有一种通过检验胃液来诊断胃癌的方法,胃癌患者检验结果为阳性的概率为 99.9%,非胃癌患者检验结果为阳性("假阳性")的概率为 0.1%。假定某地区胃癌患病率为 0.01%。问题是: (1)检验结果为阳性者确实患胃癌的概率(即确诊率)是多大? (2)如果"假阳性"的概率降为 0.01%、0.001%和 0,确诊率分别上升为多少? (3)用重复检验方法能提高确诊率吗? 早在 18 世纪中叶,英国学者贝叶斯(Bayes)就提出"由结果推测原因"的概率公式(贝叶 斯公式)。 我们用"+"表示阳性, H、 分别表示胃癌患者和非胃癌患者, 用 F 则由贝叶斯公式, 确诊率为:P(H|+)=P(+|H)P(H)/P(+)。 问题(1)的答案是:确诊率为 1/11;问题(2)的答案是:如果"假阳性"的概率降为 0.01%、 0.001%和 0,确诊率分别上升为 50%、90.9%和 100%;问题(3)的答案是:有一定的提高, 但大幅度提高的可能性很小。原因是"假阳性"主要是检验技术本身问题造成的,重复检验的 结果相关性很大,不能按独立事件对待。 五.在猜奖游戏中改猜是否增大中奖概率? 这一问题出自美国的电视游戏节目’Let’smakeadeal’ 。问题的名字来自该节目的主持

人蒙提·霍尔。上世纪 90 年代曾在美国引起广泛和热烈的讨论。假定在台上有三扇关闭的 门,其中一扇门后面有一辆汽车,另外两扇门后面各有一只山羊。主持人是知道哪扇门后面 有汽车的。 当竞猜者选定了一扇门但尚未开启它的时候, 节目主持人去开启剩下两扇门中的 一扇,露出的是山羊。主持人会问参赛者要不要改猜另一扇未开启的门。问题是:改猜另一 扇未开启的门是否比不改猜赢得汽车的概率要大?答案是:改猜能增大赢得汽车的概率,从 原来的 1/3 增大为 2/3。也许有人对此答案提出质疑,认为改猜和不改猜赢得汽车的概率都 是 1/2。为消除这一质疑,不妨考虑有 10 扇门的情形,其中一扇门后面有一辆汽车,另外 9 扇门后面各有一只山羊。 当竞猜者猜了一扇门但尚未开启时, 主持人去开启剩下 9 扇门中的 8 扇,露出的全是山羊。显然:原先猜的那扇门后面有一辆汽车的概率只是 1/10,这时改猜 另一扇未开启的门赢得汽车的概率是 9/10。 六.如何设计对敏感性问题的社会调查? 设想要对研究生论文抄袭现象进行社会调查。如果直接就此问题进行问卷调查,就是 说要你直说你是否抄袭,即使这样的调查是无记名的,也会使被调查者感到尴尬。设计如下 方案可使被调查者愿意做出真实的回答:在一个箱子里放进 1 个红球和 1 个白球。被调查者 在摸到球后记住颜色并立刻将球放回,然后根据球的颜色是红和白分别回答如下问题:你的 生日是否在 7 月 1 日以前?你做论文时是否有过抄袭行为?回答时只要在一张预备好的白纸 上打√或打×,分别表示是或否。假定被调查者有 150 人,统计出共有 60 个√。问题是: 有抄袭行为的比率大概是多少?已知:P(红)=0.5,P(√|红)=0.5,P(√)=0.4,求条件概率 P(√| 白)=?用贝叶斯公式算出的答案是 30%。 七.为什么企业间的"价格联盟"往往是短命的? 在博弈论里有一个著名的"囚徒困境"问题:两个共同犯案囚徒不坦白也不揭发对方可 能得到最轻的处罚(判刑 1 年); 如果一方坦白并揭发对方, 另一方不坦白, 坦白方判刑 2 年, 不坦白方判刑 10 年;如果两方都坦白和揭发对方,各判刑 5 年。但一方总会怀疑另一方为 了减刑而出卖自己, 如果自己不坦白就会受到加重处罚, 所以选择坦白和揭发对方是两个囚 徒共同的最佳策略。因为在对方坦白前提下自己不坦白将被加重处罚。这是非合作博弈的" 纳什均衡":任何一方单方面改变策略只能对自己造成不利。"纳什均衡"理论对人类社会有着 广泛而深刻的意义。它已经深入到社会的政治、军事、文化、经济领域各个层面,成为人们 思维的一部分。 从博弈论的角度分析,在一个竞争的市场中,如果商品严重地供大于求,则要陷入" 囚徒困境"。因为对任何供应商来说,最佳策略都是降价促销,以期获得更大的营业额,从 而价格战不可避免。要从"囚徒困境"解脱,供应商被迫形成"价格联盟"。但每个商家都想自 己偷着降价给自己带来好处。因此,价格联盟只能是短命的,因为它不是一个"纳什均衡"。 八.为什么现实生活中"搭便车"现象不可避免? 这首先要从博弈论中著名的"智猪博弈"故事说起。这个故事有多种版本,其大意是说: 在一个长长的猪圈里,有一头大猪和一头小猪,猪圈一端有个踏板,需要多次费力踩踏板, 猪圈另一端才会落下一些食物到食槽。 如果小猪去踩踏板, 大猪会在小猪跑到食槽之前就吃 完落下的 9 成食物,而小猪只能得到 1 成食物;如果是大猪踩踏板,则大猪能在小猪吃完 3

成落下的食物之前就跑到食槽, 抢到其余的 7 成食物。 假定踩踏板要费掉相当于 2 成食物转 化的体能,两只猪各自会采取什么策略呢?对小猪而言,等待大猪去踩踏板是最佳策略,这 就是所谓的"搭便车"策略。对大猪而言,由于知道小猪的等待是最佳策略,它不得不去踩踏 板,这是它的唯一选择,否则它也要和小猪一样挨饿。在现实社会生活中,懒人和偷奸取巧 的人从生活经验的积累中无意识地就学会了"搭便车"策略。 九.为什么在多人非合作博弈中弱者有时反倒有利? 下面是著名的"三个快枪手决斗"模型:甲、乙、丙同时开枪进行决斗,幸存者进入下一 轮决斗。如果他们的命中率分别是 0.9,0.8 和 0.5,则他们的最优策略是甲、乙互射,丙对 准甲射击。结果是相对较弱的乙和丙结成了"暂时联盟"。三国时期的孙权和刘备就是结成了 暂时联盟对付曹操的。通过概率计算,甲、乙、丙经过两轮决斗后幸存下来的概率分别是 4.5%,5%,90.5%。当然,这一模型是理想化的数学模型,但它给了我们很好的启示:弱者 在强者竞争的夹缝中幸存下来的例子在商界是层出不穷的。 十.存在完美的民主选举制度吗? 早在 18 世纪,法国思想家孔多赛就提出了著名的"投票悖论"(Votingparadox):假设甲乙 丙三人面对 a、b、c 三个备选方案有如下的偏好次序:甲:a>b>c,乙:b>c>a,丙:c>a>b。 如果对备选方案进行两两对决,投票结果是:a 优于 b,b 优于 c,c 优于 a,得出自相 矛盾的结果!所以按照少数服从多数的投票规则,不一定能得出合乎大多数人意愿的所谓" 社会偏好次序"。 受到孔多赛的"投票悖论"的启发,1951 年,美国著名数理经济学家阿罗用数学公理化 方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合(http://www.bianwanjia.cn )乎大多数人意愿的 领导者进行了研究。结果,他得出了一个惊人的结论(即阿罗"不可能"定理):当至少有 3 名候 选人和 2 位选民时,不存在满足阿罗公理的选举规则。由于他的"不可能"定理和在一般均衡 理论方面的突出贡献获得了 1972 年诺贝尔经济学奖。按照著名经济学家萨缪尔森的评价, 阿罗"不可能"定理可以和数理逻辑学中的哥德尔"不完备性定理"相媲美。 相关链接 概率论(probabilitytheory)是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决 定性现象而言的。 在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。 随机现象则是指 在基本条件不变的情况下, 一系列试验或观察会得到不同结果的现象。 每一次试验或观察前, 不能肯定会出现哪种结果,呈现出偶然性。随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随 机试验的每一可能结果称为一个基本事件, 一个或一组基本事件统称随机事件, 或简称事件。 事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。 虽然在一次随机试验中某个事件的发生是 带有偶然性的,但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。 概率论的起源与赌博问题有关。16 世纪,意大利的学者吉罗拉莫·卡尔达诺开始研究 掷骰子等赌博中的一些简单问题。 世纪中叶, 17 当时的法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏, 游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子,如果其中没有 6 点出现,玩家赢,如果出现一次 6 点,则

庄家(相当于现在的赌场)赢。按照这一游戏规则,从长期来看,庄家扮演赢家的角色,而玩 家大部分时间是输家,因为庄家总是要靠此为生的,因此当时人们也就接受了这种现象。 后来为了使游戏更刺激,游戏规则发生了些许变化,玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次,不同时出现 2 个 6 点,玩家赢,否则庄家赢。当时人们普遍认为,2 次出现 6 点的概率 是一次出现 6 点的概率的 1/6,因此 6 倍于前一种规则的次数,也既是 24 次赢或输的概率 与以前是相等的。然而事实却刚好相反,从长期来看,这回庄家处于输家的状态,于是他们 去请教当时的数学家帕斯卡, 求助其对这种现象作出解释, 这个问题的解决直接推动了概率 论的产生。 随着 18、19 世纪科学的发展,人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之 间有某种相似性, 从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中; 同时这也大大推动了 概率论本身的发展。 概率与统计的一些概念和简单的方法,早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类 的社会实践, 人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性, 并用数学方法研究各种结 果出现的可能性大小,从而产生了概率论,并使之逐步发展成一门严谨的学科。现在,概率 与统计的方法日益渗透到各个领域,并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至 人文科学中。 博弈论(GameTheory)亦名"对策论"、"赛局理论",属应用数学的一个分支,目前在生物 学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。 博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用, 是研究具有斗争或竞争性质现象的数学 理论和方法, 也是运筹学的一个重要学科。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为, 并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。 古语有云,世事如棋。生活中每个人如同棋手,其每一个行为如同在一张看不见的棋 盘上布一个子,精明慎重的棋手们相互揣摩、相互牵制,人人争赢,下出诸多精彩纷呈、变 化多端的棋局。博弈论是研究棋手们"出棋"招数中理性化、逻辑化的部分,并将其系统化为 一门科学。换句话说,就是研究个体如何在错综复杂的相互影响中得出最合理的策略。事实 上, 博弈论正是衍生于古老的游戏或曰博弈如象棋、 扑克等。 数学家们将具体的问题抽象化, 通过建立自完备的逻辑框架、体系研究其规律及变化。这可不是件容易的事情,以最简单的 二人对弈为例,稍想一下便知此中大有玄妙:若假设双方都精确地记得自己和对手的每一步 棋且都是最"理性"的棋手,甲出子的时候,为了赢棋,得仔细考虑乙的想法,而乙出子时也 得考虑甲的想法,所以甲还得想到乙在想他的想法,乙当然也知道甲想到了他在想甲的想 法?? 博弈论思想古已有之,我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作,而且算是最 早的一部博弈论专著。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题,人们对博弈局 势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展。 1928 年,冯·诺依曼证明了博弈论的基本原理,从而宣告了博弈论的正式诞生。1944 年,冯·诺依曼和摩根斯坦共著的划时代巨著《博弈论与经济行为》将二人博弈推广到 n 人博弈结构并将博弈论系统的应用于经济领域,从而奠定了这一学科的基础和理论体系。

1950~1951 年,约翰·福布斯·纳什(JohnForbesNashJr)利用不动点定理证明了均衡点 的存在, 为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。 纳什的开创性论文 人博弈的均衡点》 《n (1950), 《非合作博弈》(1951)等等,给出了纳什均衡的概念和均衡存在定理。此外,塞尔顿、哈桑 尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。今天博弈论已发展成一门较完善的学科。博弈论 (GameTheory)和决策论(DecisionTheory)、运筹学(OperationsResearch)等一起构成现代企业经 济、军事战略等系统管理学的理论基础。


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