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在正交曲线坐标系中


喇,

, 护己 声 , 叫






教 学 随笔


护护 叶

全 今

沪沪护护沪护 著

在正 交 曲线 坐 标系 中 梯度 散 度 旋度 的
,






表 示 式的 又 一 种 推 导法
重庆 大 学

谢树 艺

关 于 在 正 交 曲线坐 标 系 中 论


,

梯度



散度



旋度 的表示式 二

,

我 曾在 工 程 数 学 《 矢 量 分 析 与 场

年版

下 面 简称 《 场 论 》
。,
,

的 附录


中采用 哈米 尔 顿
,
,
,

算子
,

,

并通过


坐标 曲 线 上 的 切 线 单位 矢 量
介 绍 另一 种 推导 方 法
的 导数 公式




,

对 曲 线 坐标
,

的 导 数 公式

将 其 推导 出来

这 里
,

,

仍然 采 用 算子 甲

但 是 不 需 引用 自身 的 推 出甚 为 麻 烦 的 单 位 矢 量 二



,

梯 度 的表示 式 设 曲线坐标 为 这 样的矢 量 即 与 。 同指 向
,



,



,



,

我们 知道
,

,

其 梯度
常数
,

方 向垂 直 于等 值 面
叮 吴

刀,
,


,

即 坐标 曲面
日 , 丁 于 叉父 万‘



,

且指 向

,

增大 的 一 侧



,



月含刁

,

, 二‘





幽 觅又

孔万

〕叮 口

一 、。 。
了 玛

妙「 以


如右图
二 章的








,


,



表 坐标 曲 线 式有

侣 , 盛 」 走 工

的弧微分
于是

,

则 由 《 场论 》 第

?





,





孤丁





再 由《 场论 拉梅 系 数

》附 录



的第



,

, ,

,



一 一 一 一 强 概 率 论 公 理 系 统 的 讲 解 并 适 当 介 绍 均 方 收 敛 的 有 关 概 念 与 内容
反 映 良好
,

, 曰二 , 《 二扣‘ 二目



》。哎

,

沁加日味



,

发 现 讲 述 同 样 的 内容 时
,

,

学生

没有 费 解 的 感 觉



当然

,

课 堂教 学 的 方 法 不 应 是 单 一 的
,

教 师 可 以 采 用 直 观教 学 的 方
,

法 来 回避 对 理 性 的 认 识 学 技 术 日新 月 异 的 今 天
,

应 该 指 出直 观 教 学 并 不 是 为 了 回 避 对 理性 的 认 识
回避 对 理 性 的 认 识 是 不 明 智 的


但 在理 论 基 础 簿 弱
,

的 环 节 却 常常 被 一 些 教 师 作 为 超 越 理 性 的 手 段

但 是 从 直 观 到 理性 尚有 一 段 不 短 的 距 离
更 严 重的 是
,
,

在科

先 入 为主

,

没 有 从直 观 到

理性的 整 个 认 识 过 程



,

常 常 给 初 学 者带来 一 些 不 恰当 的 思 想

,

这 从 严 格 学 术 的 角度 来 说 是 不 应 该

这 些 意见 很 不成 熟

可能是 片面 的

,

甚 至是 完 全 错 误 的

,

大胆 地 提 出来

,

希望 通过 广 泛 的 讨


论 来 改 替 我 国 高 等 工 科 院校 的

《 概 率统计 》的 教 学 工



,

以适 应 四 个 现 代 化 建 设 的 需 要

即得

,

万弓产




一 般有

全 ‘

,

,

、 了 、 , 矛 占 、 ‘ 曰产 ,

吸,


于 是 对 具 有 一 阶连 续 偏 导 数 的 函 数

斌 守全
, ,
,

,

,

,

,

其梯度





“ 刁 ”

忍 口
,

百 云
“ 口

万叭
赵 口

,


呻 己
,



,

代入

,

即得




下 万一




忿 日





登 口

事亨 一 一 二甲一 君







散 度 的表 示 式
,




, ,



一卜
,
,

、石 , 、
,
,



,

均 为口
一知


?

的 函 数 且 具 有 一 阶 连 续偏 导 数

其散 度



?






?



,









代入 得
,



?

?

,





,




,

甲口

,

甲口

,

?







甲如




其 右端 第一 项

,

由公 式
?

甲 一




。 卜 代






?




,

,

甲叮
一知





甲口



,

?



‘卜

一 》





‘卜
?

再用公式守

?

?






,
?

,

并 注意到





,

则有

?

甲夕

甲口






从而

?










,



,


,



,

孙 立




,



甲口




?



口,

,

万百




,




百西






?

,

月 口

,

啼矶

月,

同样 可 得

式 右 端 第二 项与 第 三 项 为
?


, ,



,

翻 二


,



?



,

,



,



代入


式 即得






, 月 月
,

雨丁

雨万



,

月 ‘挂





,


,





,

月 ‘月

,



调 和 量 的表示 式
‘卜

因 为 调 合 量 △。

甲 甲。

?

,



故 只 要 将 甲 视 为矢 量 代 入

二丁一 一
,

式 就得 到
口 、
气万 甲





旦 「






夕 旦廷亚 旦 、十

,





,






二二



,

一 二二犷 一











万一 口





旋 度 的表示 式

和 上 面一 样

,




、。


, 卜

二 。,
一 洲卜

其 旋度
一卜



甲 甲
卜 弓






空,



,



右 端 第一 项 由 公 式




二 书









,


一争










一 甲 一万育一一 一











二。




甲。




‘卜

钩 朴旦嗯少立
梦习

甲。
卜 刁



口二 生 通




,





月卜

口 ‘



,

‘ ,
,

匀 斗






口 口
,





类 似 可得

式 右端 第 项 和 第三 项 为 二
卜 一月



甲至





互 一 旦 丝迈 户





, 一卜





















因此 甲


甲 「色

口 续 夕

姓,


璧 口

小 〕

下转







尹一

,

有 极小 值 , 当
这 就是 说
,




,

,

即有 极 大值
,



在驻点处 有






,

,

正 好 就 象二 元

, ,

函 数 无 条 件 极 值 的 充分 条 件 一 样

这时
。 , 。

,

只要
的二



计算 阶偏 导 数
,

函数
,
,





因为



而 不 必 计算













豁 白 解






,

。, 。,

夕。
红。





所以
,

,

例 的解

,


一 一
“ 几
,

当 当


二 一

西



竺些些些 时

,



,



月竺二竺二二二

,














西

,

亿

时 有 极小 值


亿


故 有 极小 值
西








〔 一 一 一下一 气产 下



,







一 时有 极大

一 ,


二二二二二二 二 时
,

西

,



,




,



口口


,

久二




,

最后

我们指出
,

由 初等 数 学 中二 次 三 项

,

式 的知识 可知 负
,
,


,



时 当

,

恒正 或 恒
,
,



、二 沽 扩

下一 口
一 不一

同号

于是





人 曰 卫 凡 夕、 飞 甘





‘ 护 口气 夕吸 沪 饭户气 沪 吸 , 内 趁 入 魂 气 卢吸 州 、卢气 不 趁 叭 口 户 如户劝 龙户, 与 , 内 扭 、稗 叭 州板 州、娜板 声 饭夕气 声勺护、口气 砰气 户板 夕气 沪 勺卢 勺 沪 州 山 户 吸

杯气 声 灿州、沪 劫‘ 翻 叭沪 肉 州

声饭

上接



一互 一

,



一 , 二 二一



「鱼




月 月

卜命 从 卜孟




,

共 」
,

,

兀 〕

或写 为
一卜
,




,



,







今考书
?
?

,

,



、 尸 矛 、



克朗涅 哥

,



函数

,

记 亦称 《 的 符号 》 为






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