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浙江省2016届高三下学期六校联考数学文试卷


高风中学高三文科测试卷(六)
姓名 班级 学号

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
2 1.已知集合 A= x x ? 4 x ? 3 ? 0 , B ? x 2 ? x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

/>
A. (1 , 3 )

B. (2 ,3 )

C. (1 , 4 )

D. (2 ,4 )

2.已知直线 l1 : (3 ? m) x ? 4 y ? 5 ? 3m 与 l2 : 2x ? (5 ? m) y ? 8 ,则“ l1 // l2 ”是“ m ? ?7 ” 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知空间两条不同的直线 m , n 和平面 ? ,则下列命题中正确的是 A.若 m ? ? , n // ? ,则 m ? n C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n 4.已知 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n

1 1 , a n ?1 ? 1 ? ,则 S10 ? 2 an
C.5 D.6

A.4 5.将函数 y ? sin(4 x ?

B.

9 2

π π ) 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍,再向右平移 个 6 3
π ,0 ) 9 π ,0 ) 4 π ,0 ) 2

单位,得到的函数的图像的一个对称中心为 A. (

π ,0 ) 16

B. (

C. (

D. (

2 6.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ?x ? 1? ? 2 f ?x ? ,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) = x ? x ,

则 f ?? A. ?

? 3? ?? ? 2?
1 2
B. ?

1 4

C. ?

1 8

D. ?

1 16

7.已知 O 为坐标原点,双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F ,以 OF 为直径作 a 2 b2
???? ??? ? ??? ?

圆交双曲线的渐近线于两点 A , B (异于原点) ,若 ( AO ? AF ) ? OF ? 0 ,则双曲线的离 心率 e 为
数学(文科)试题卷·第 1 页(共 4 页)

A. 3

B. 2

C. 3

D. 2

r?Z, m r? (其中 q , 8.设 m 为不小于 2 的正整数, 对任意 n ? Z , 若 n ?q 且0≤ r ? m ) ,
则记 f m (n) ? r ,如 f 2 (3) ? 1 , f3 (8) ? 2 .下列关于该映射 f m : Z ? Z 的命题中,不正 .. 确 的是 . A.若 a , b ? Z ,则 f m (a ? b) ? f m (a) ? f m (b) B.若 a , b , k ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) ,则 f m (ka) ? f m (kb) C. 若 a ,b ,c ,d ? Z , 且 f m (a 则 f m (a ? c ) ? fm () b , f m (c) ? f m (d ) , ) ? fm ( b?) d D.若 a , b , c , d ? Z ,且 f m (a) ? f m (b) , f m (c) ? f m (d ) ,则 fm (ac) ? f m (bd ) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9.设 ? 是第二象限角, P ( x, 4) 为其终边上一点,且 cos ? ? 则x? , tan ? ? . ,

1 x, 5

2
2

10.某几何体的三视图如右图, 则该几何体的体积为 表面积为 .

1 1 正视图

1

1 1 1 侧视图

11.设函数 f ( x) ? ?

? 2 x , x ? [?1,2] ,则 f (? log2 3) = 8 ? 2 x , x ? ( 2 , 4 ] ?
.

,若 f ?t ? ? [ 0 , 1 ],则

俯视图

实数 t 的取值范围是

12.动直线 l : (3? ? 1) x ? (1 ? ? ) y ? 6 ? 6? ? 0 过定点 P ,则点 P 的坐标为

,若

? x?0 ? 直线 l 与不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域有公共点,则实数 ? 的取值范围是 ?2 x ? y ? 2 ?
1 1 k ? ? ? 0 恒成立,则实数 k 的最小值为 . a b a?b ??? ? 2 ??? ? 14.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? BC ,点 E 是线段 AD 上的一个动点(不含端点) , 3
13.设 a ? 0, b ? 0 ,且不等式 若 BE ? ? AB ? ? AC ,则

.

??? ?

??? ?

??? ?

? ?1 = ?

.

15.如右图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 为正方形边上的动点,

数学(文科)试题卷·第 2 页(共 4 页)

现将△ ADE 所在平面沿 AE 折起,使点 D 在平面 ABC 上的射影 H 落在直线 AE 上.当

E 从点 D 运动到点 C ,再从点 C 运动到点 B ,则点 H 所形成轨迹的长度为

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.如右图,在四边形 ABCD 中, ?D = 2? B ,且 AD ? 1 , CD ? 3 , cos B ? (Ⅰ)求 ?ACD 的面积; (Ⅱ)若 BC ? 2 3 ,求 AB 的长.

3 . 3
A D

B

C

17.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S 4 ? 16, S 6 ? 36. (Ⅰ) 求 an ; (Ⅱ) 设 {bn } 满足 bn ? q
an

?q ? 0? , Tn ?

1 1 1 ,求 Tn . ? ??? b1b2 b2b3 bnbn ?1

18.如右图所示的几何体是由以正 ?ABC 为底面的直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱) 被平面 DEF 所截而得, AB ? 2 , BD ? 1 , AF ? 2 , CE ? 3 , O 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:直线 OA //平面 DEF ; (Ⅱ)求直线 FC 与平面 DEF 所成的角的正弦值.
F E

D A C

O

B

数学(文科)试题卷·第 3 页(共 4 页)

19.如右图,点 F (0,2) 是抛物线 x 2 ? 2 py 的焦点. (Ⅰ)求抛物线方程; (Ⅱ)若点 P 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上一动点,直线 l 是圆 O 在点 P 处的切线,直线 l 与抛 物线相交于 A, B 两点( A, B 在 y 轴的两侧) ,求四边形 OAFB 的面积的最小值.

y F A P
x
O

B

20.已知函数 f ( x) ?

ax 3 2 (a ? 0, b ? 1) ,满足: f (1) ? 1 ,且 f ( x) 在 R 上有最大值 . x ?b 4
2

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ?[ 1 , 2 ]时,不等式 f ( x) ?

3m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 2) x ? m
2

数学(文科)试题卷·第 4 页(共 4 页)

2016 届浙江省六校联考数学(文科)答案
1.B 2.C 3.A 4.C 5.D 10. 6.D 7.D 8.A , 2? 9.-3, ?

4 3

? 3

1? 5 ? 2
14.

11. 3

, ?? 1,0? ? ? ,4? 2 15. ?

?7 ? ? ?

12.

(0, ?6) ,

? 7? ?1, 3 ? 13.-4 ? ?
2

1 2

16. 解: (Ⅰ) cos D ? cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? 因为 ?D ? ? 0, ? ? ,所以 sin D ? 所以△ACD 的面积 S ?

1 3

????????? 2 分

2 2 , 3

?????????? 4 分

1 ? AD ? CD ? sin D ? 2 . 2

?????? 7 分

(Ⅱ)解法一:在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 . ??????????? 9 分 ????? 12 分

在△ABC 中, AC2 ? AB2 ? BC2 ? 2 AB ? BC ? cos B ? 12

把已知条件代入并化简得: AB2 ? 4 AB ? 0 因为 AB ? 0 ,所以 AB ? 4 ??14 分 解法二:在△ACD 中, AC2 ? AD2 ? DC2 ? 2 AD ? DC ? cos D ? 12 , 所以 AC ? 2 3 . 因为 BC ? 2 3 , 得 AB ? 4 . ?????????????????????? 9 分

2 3 AB AC AB ? ? ,所以 ,??? 12 分 sin B sin ?ACB sin B sin ?? ? 2B ?
??????????????????????14 分

17. 解:解:(Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 S 4 ? 16, S 6 ? 36,

4?3 ? 4a1 ? d ? 16 ? ? 2 , ? ?6a ? 6 ? 5 d ? 36 1 ? 2 ? ? a1 ? 1 解得 ? , ?d ? 2 ? an ? 2n ? 1
(Ⅱ) bn ? q
an

????2 分

???????4 分 ???????7 分

? q2n?1 , {

1 1 1 } 是首项为 4 ,公比为 4 的等比数列, q q bnbn?1

???9 分

数学(文科)试题卷·第 5 页(共 4 页)

? q ? 1 时,

Tn ?

1 1 1 ? ??? b1b2 b2b3 bnbn ?1

=

1 1 (1 ? 4 n ) 4 1 1 q q ? 4 (1 ? 4 n ) 1 q ?1 q 1? 4 q

?12 分

? q ? 1时,?Tn

?n

?????14 分

?? 1 1 (1 ? 4 n ) (q ? 1) ?? 4 ?Tn ? ?? q ? 1 q ?n (q ? 1) ?

??????15 分

18. (1)证:取 DE 的中点 G,连结 GF.由三棱柱得,AF//BD//CE, ∵OG 为梯形 CBDE 的中位线 ∴OG//CE,且 OG=2 而 CE//AF,且 AF=2 ∴OG // AF ∴GF//OA ……………………7 分

∴四边形 OAFG 为平行四边形

又 OA ? 平面 DEF,GF ? 平面 DEF ∴ OA//平面 DEF (2)∵ AO ? 面BCED , FG // OA ,∴ FG ? 面BCED 又 FG ? 面DEF ,∴ 面DEF ? 面BCDE 在面 BCED 中,过 C 作 CH ? DE ,连 CH,则 CH ? 面DEF ∴ ?CFH 为直线 FC 和面 DEF 所成角。 在 ΔCFH 中, CF ? 2 2 , CH ?

…………………….11 分

CH 3 3 2 ? , , sin ?CFH ? CF 4 2 3 ∴直线 FC 和面 DEF 所成角的正弦值为 。 …………………….15 分 4
注:解法 2 可用等积法;解法 3 可用空间直角坐标系 19.解: (Ⅰ) x2 ? 8 y (Ⅱ)解法一:设点 P( x0 , y0 ) ,则直线 l : x0 x ? y0 y ? 1 联立直线 l 与抛物线方程可得 y 0 x 2 ? 8 x 0 x ? 8 ? 0 ,
2 由题意可得 ? ? 64x 0 ? 32 y 0 ? 0 且 x 1 x 2 ? ?

…………….5 分 …………….6 分

8 ? 0 ,故 0 ? y 0 ? 1 , y0

……………..8 分 ……………..10 分

而 x1 ? x 2 ? ?

8 x0 8 2 2 , x1 x 2 ? ? ,且 x 0 ? y0 ? 1, y0 y0
2 64 x 0 2 y0

∴ | x1 ? x 2 | 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?

?

2 32 64 x 0 ? 32 y 0 ? 2 y0 y0

数学(文科)试题卷·第 6 页(共 4 页)

?

2 ? 1 1 64(1 ? y0 ) ? 32 y0 17 ? ? 32?2( ? )2 ? ? ? 32 , 2 8? y0 ? y0 4

……………….13 分

当且仅当 y 0 ? 1 时取“=” , ∴S?

∴ | x1 ? x 2 |? 4 2 , 即四边形 OAFB 面积的最小值为 4 2 .15 分

1 | OF | ? | x1 ? x 2 |? 4 2 , 2

解法二:设直线 AB : y ? kx ? b

b
2 由直线与圆相切得: 1 ? k

?1

,即 b ? 1 ? k ( b ? 1 )①
2 2 2

…………….7 分

? y ? kx ? b 化简整理得: x 2 ? 8kx ? 8b ? 0 ? 2 x ? 8 y ?
设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? 则 x1 ? x2 ? 8k , x1 ? x2 ? ?8b …………….9 分 由①②得 b ? 1

? A, B 在 y 轴两侧,? x1 ? x2 ? 0 即 b ? 0 ②
S OAFB ? 1 1 ? OF ? x1 ? ? OF ? x 2 2 2

…………….11 分

? x1 ? x2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2
…………….13 分 …………….15 分 ???????2 分

? 64k 2 ? 32b ? 4 4b 2 ? 2b ? 4 (b ? 1)
S 当 b ? 1 时, OAFB 的最小值为 4 2
20. 解: (1)因为 f (1) ? 1 ,得: a ? b ? 1 , 又因为 f ( x) max ?

a 2 b

?

3 2, 4

???????4 分

3 ? a? ? ?a ? 3 3x ? 2 解得: ? 即: f ( x ) ? 2 ? x ?2 ?b ? 2 或 ?b ? 1 (舍) ? 2 ?
(2)解法一:因为

???????6 分

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? m ? (??,1) U (2, ??) ?8 分 ( x ? 2) x ? m
2

则问题为

3x 3m m ? 2 即x? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

数学(文科)试题卷·第 7 页(共 4 页)

即 x x ? m ? m ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立 令 g ? x ? ? x x ? m ? m , g ? x ? ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立, 由?

? ? g ?1? ? 1 ? m ? m ? 0 ? ? g ? 2? ? 2 2 ? m ? m ? 0



4 ?m?4 3

????10 分

整理得 g ( x) ? ?

? x 2 ? m x ? m, ( x ? m) 2 ?? x ? m x ? m, ( x ? m)

问题转化为:求 g ( x) 在 [1,2] 上的最大值 g ( x) max ? 0 ① 当

4 ? m ? 2 时, g ( x) max ? max?g (1), g (2)? 3 4 5 5 ? m ? 时, g (2) ? g (1) ? m ? 2 时, g (1) ? ?1, g (2) ? 4 ? 3m 3 3 3 4 g (1) ? g (2) ,? ? m ? 2 成立 ????12 分 3
2 ?m? m ? ? m ? 0 ?2 ? m ? 4 ? ?2? 4

② 当 2 ? m ? 4 时, g ( x) max ? g ? 又 m ? (??,1) U (2, ??) 解法二: 因为

???14 分

综上,实数 m 的取值范围 2 ? m ? 4

???15 分

3m 在 x ? [1, 2] 恒有意义,? ( x ? 2) x ? m
2

m ?(??,1) ? (2, ??) ??8 分

问题即为

3x 3m m ? 2 对 x ? [1, 2] 恒成立,即 x ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 2 ( x ? 2) x ? m | x?m|
2

x?m ?


m x

?

m m ? x?m? x x

???????10 分

x ? 1 显然成立

当 x ? 1 时, m ?

x2 x ?1

m?4



对于 m ?

x2 x2 ) max , 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1) 2 1 x2 4 4 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, ? ( ) max ? , 即 m ? , x ?1 t t x ?1 3 3
综上,实数 m 的取值范围为 2 ? m ? 4 ???????15 分

数学(文科)试题卷·第 8 页(共 4 页)


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