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11-12学年高中数学 2.1.4 函数的奇偶性课件 新人教B版必修1


情境引入:观察下列图片中物体的特点

考察下列两个函数: 1 3 (1) f ( x) ? x ; 4

(2) g ( x) ? x .
2

思考:对于上述两个函数,f(x)与f(-x),

g(x)与g(-x),有什么关系?

(一)奇函数、偶函数的定义 对于

函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时,相应的两个 函数值也是一对相反数.这样的函数是奇函数

奇函数:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于D内
任意一个 x ,都有 ? x ? D, 且

f(-x)=-f(x).则这个函数叫做奇函数。 对于函数y=g(x),当自变量x取一对相反数时,相应的两个 函数值相等.这样的函数是偶函数

偶函数:设函数y=f(x)的定义域为D,如果对于D内
任意一个 x ,都有 ? x ? D, 且 f(-x)=f(x).则这个函数叫做偶函数。

(二)奇函数、偶函数图像的对称性
考察奇函数y=f(x)的图像,依奇函数的定义可知: 点P(x, f(x) )与点P‘(-x,-f(x) ) 都在这个奇函数的图像上。直观上容易发现,点P绕原点O 旋转1800 后与点P’重合.这说明这两点关于坐标原点对称, 所以它的图像关于原点对称;反之亦然. 如果一个函数是奇函数,则这个 函数的图像是以坐标原点为对称中心 的中心对称图形;反之,如果一个函 数的图像是以坐标原点为对称中心的

中心对称图形,则这个函数为奇函数

考察偶函数y=g(x)的图像,依偶函数的定义可知:
点P(x, g(x) )与点P‘(-x,g(-x) ) 都在这个偶函数的图像上。这两点关于y轴对称,所以它的 图像关于y轴对称;反之亦然. 如果一个函数是偶函数,则这个

y4
1
-2 -1
0

函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称 图形;反之,如果一个函数的图像是以 y轴为对称轴的轴对称图形,则这个函 数为偶函数

1 2

x

性质
f(-x)= - f(x) 奇函数 图象关于原点对称

f(-x)=f(x)
偶函数 图象关于y轴对称

(1)判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性. 思考
解:对于函数f(x)= x3 +x,其定义域为(-∞,+∞). 因为对定义域内的每一个x,都有 f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x), y 3+x为奇函数。 所以,函数 f(x)=x
(2)如图,给出函数 f(x)=x3+x 图像的一部

.

.

.
x

分,你能根据f(x)的奇
偶性画出它在y轴左边 的图像吗?

.
.

0

.

例1 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x) = x ? x 3 ?x 5 ; (2) f(x) = x ? 1 2 (3) f(x) = x+ 1  ;    f(x) = (4)

x 2 ,x ? [ ?1, 3]

解:(1)函数 f(x) = x ? x3 ? x5 的定义域为R,当x ? R时,-x ? R
5 5 3 3 因为 f( ? x) = ? x ? x ? x ? ? x ? x ? x ) ? f(x) ( ? 5 3   所以函数 f(x) = x ? x ? x 是奇函数

(2)函数 f(x) = x 2 ? 1的定义域为R,当x ? R时,-x ? R
2 2 因为 f( ? x) = ? x ) ? 1 ? x ? 1 ? f(x) ( 2   所以函数 f(x) = x ? 1是偶函数

(3)函数 f(x) = x ? 1的定义域为R,当x ? R时,-x ? R
因为 f( ? x) = ? x ? 1 ? -(x-1) - f(x) ? ? x+1) (    所以 f( ? x) ? - f(x), ? x) ? f(x) f(   所以函数 f(x) = x ? 1既不是奇函数也不是是偶函数

(4)因为函数的定义域关于原点不对称,存在3? [-1,3].  而-3? [-1,3],所以f(x)=x2 , x ? [-1,3]既不是奇函 数也不是偶函数

1 例2研究函数y ? 2 的性质并作出它的图像 x
解:已知函数的定义域是x ? 0的实数集,即{x ? R | x ? 0} 由函数的解析式可知:对任意的x值,对应的函数值y>0, 函数的图像在x轴上方;函数的图像在x=0处断开,分成两 部分;f(-x)=f(x),函数为偶函数.

列表描点画出函数的图像. 由图像可看出,函数在 (-?,0)是增函数,在(0,+?) 是减函数

函数奇偶性的说明:
(1)由定义知,若 x是定义域中的一个数值,则–x也必 然在定义域中,因此函数是奇函数或偶函数的一个必 不可少的条件是定义域关于原点对称。例如,函数 f(x)=x2在(-∞,+∞)上是偶函数,但 f(x)=x2在 [-1 ,2]上无奇偶性。 (2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。 (3) 偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足 f(-x)=f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点 对称。

课堂练习
1.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,试将下图补充完整。

.

.

y

.
0

.

.

y

. f(x)
x

. . .
.
0

. . g(x)
x

2.判断下列函数的奇偶性:
(1) f (x) ? 2x4 ?3x2; (2) f (x) ? x3 ? 2x.

(偶函数) (奇函数)

(1)已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10,那么f(2)等于( A )。 A、-10 ; B、10 ; C、20 ; D、与b、c有关 (2)下面四个命题中,正确的个数是(C ) ①奇函数的图像关于原点对称。 ②偶函数的图像关于y轴对称。 ③奇函数的图像一定过原点。 ④偶函数的图像一定与y轴相交。 A、4 ; B、3 ; C、2 ; D、1 (3)如果定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数,那么, a= ________ 8 (4)判断函数的奇偶性 x2 ?1 2 ?1 ① f (x) ? x ② f (x) ? x ③ f (x) ? x ④ f (x) ?3x2 ?2x

达标练习

1 是偶函数,2是奇函数,3、4无奇偶性。

小结
本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性 的方法。(先看定义域后看f(-x)和f(x)的关系, f(-x)=f(x) →偶, f(-x)=-f(x)→奇)


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