当前位置:首页 >> 数学 >>

第一节导数的概念及其运算


第一节 [考情展望]

导数的概念及其运算

1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算. [双基自测] 1.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h


<

br />A. ?3 C. ?9

B. ?6 D. ?12

【解析】 lim
h ?0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h) ? 4 lim ? 4 f ' ( x0 ) ? ?12 h ? 0 h 4h

【答案】D 2.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( A.e2 ln 2 C. 2 B.e D.ln 2 )

【解析】 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1, 由 f′(x0)=2,即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 【答案】 B 1 3.某汽车的路程函数是 s(t)=2t3-2gt2(g=10 m/s2),则当 t=2 s 时,汽车的加速度是( A.14 m/s2 C.10 m/s2 B.4 m/s2 D.-4 m/s2 )

【解析】 由题意知,汽车的速度函数为 v(t)=s′(t)=6t2-gt,则 v′(t)=12t-g, 故当 t=2 s 时,汽车的加速度是 v′(2)=12×2-10=14 m/s2. 【答案】 A [考点分析] 一、导数的概念 1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: (1)定义:称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy =Δ lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x= x→0 Δx Δx

f?x0+Δx?-f?x0? Δy x0,即 f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→0 Δx (2)几何意义:函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线斜率.(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地,切线方程为 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0). 2.函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)=Δ lim x→0 f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

二、基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 三、导数的运算法则 1.[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); 2.[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ? f?x? ? ?′= 3.? (g(x)≠0). [g?x?]2 ?g?x?? 导函数 f′(x)=n· xn-1 f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x f′(x)=axln_a(a>0) f′(x)=ex 1 f′(x)=xln a 1 f′(x)= x

导数的运算法则特例及推广 (1)[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x),其中 a,b 为常数. f′?x? ? 1 ? (2)?f?x??′=- (f(x)≠0). ? ? [f?x?]2 (3)导数的加法与减法法则,可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形,即 [u(x)± v(x)± ?± ω(x)]=u′(x)± v′(x)± ?± ω′(x). 四、复合函数的导数 设 u=v(x)在点 x 处可导,y=f(u)在点 u 处可导,则复合函数 f[v(x)]在点 x 处可导,

且 f′(x)=f′(u)· v′(x),即 y′x=y′u· u′x.

“分解—求导—回代”法求复合函数的导数 (1)分解 适当选定中间变量,正确分解复合关系,即说明函数关系 y=f(u),u=g(x); (2)求导 分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导),要特别注意中间变量对自变量 求导,即先求 y′u,再求 u′x; (3)回代 计算 y′u· u′x,并把中间变量代回原自变量(一般是 x)的函数. [典例分析] 导数的计算

求下列函数的导数: (1)y=exsin x; 1 1? ? (2)y=x?x2+x +x3?; ? ? x x (3)y=x-sin 2cos 2; (4)y= ln?2x+3? . x2+1 (1)利用积的导数运算法则求解,(2)(3)先化简再求导,(4)利用商的导数

【思路点拨】

运算法则和复合函数求导法则求解. 【尝试解答】 (1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x+excos x.

1 2 (2)∵y=x3+1+x2,∴y′=3x2-x3. 1 1 (3)∵y=x-2sin x,∴y′=1-2cos x. ?ln?2x+3??′?x2+1?-ln?2x+3??x2+1?′ (4)y′= ?x2+1?2 ?2x+3?′ 2 · ?x +1?-2xln?2x+3? 2x+3 = ?x2+1?2 2?x2+1?-2x?2x+3?ln?2x+3? = . ?2x+3??x2+1?2 规律方法 1 1.本例在解答过程易出现商的求导中,符号判定错误.

2.求函数的导数的方法 ?1?连乘积的形式:先展开化为多项式的形式,再求导. ?2?根式形式:先化为分数指数幂,再求导. ?3?复杂公式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再求导. ?4?复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导. ?5?不能直接求导的:适当恒等变形,转化为能求导的形式再求导. 对点训练 求下列函数的导数: 1? ? (1)y=(1+ x)?1+ ?; x? ? (2)y=3xex-ln x+e; (3)y= 3-x+e2x. 1? 1 1 ? 【解】 (1)∵y=(1+ x)?1+ ?=2+x- +x , 2 2 x? ? 1 3 1 1 ∴y′=-2x-2+2x-2. 1 1 (2)y′=(3x)′ex+3x(ex)′- x=3xexln 3+3xex-x 1 =3xexln(3e)-x. 1 1 (3)y′=2(3-x)-2(3-x)′+e2x(2x)′ 1 1 =-2(3-x)-2+2e2x.
【当堂检测】

1.下列函数求导运算正确的个数为(

)

1 x x ①(3x)′=3xlog3e;②(log2x)′=x· ln 2;③(e )′=e ; ? 1 ? ④?ln x?′=x;⑤(x· ex)′=ex+1. ? ? A.1 C.3 B.2 D.4 1 x 1 ? 1 ? ①(3x)′=3xln 3;②(log2x)′=xln 2;③(ex)′=ex;④?ln x?′=- = ? ? ?ln x?2

【解析】 -

1 ;⑤(x· ex)′=ex+x· ex=ex(x+1),故选 B. x· ?ln x?2

【答案】 B 2.若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)等于( A.2 C.-2 【解析】 f′(x)=2f′(1)+2x, ∴令 x=1,得 f′(1)=-2, ∴f′(0)=2f′(1)=-4. 故选 D. B.0 D.-4 )


相关文章:
第1讲 导数的概念及其运算
第1导数的概念及其运算_数学_高中教育_教育专区。高二数学导数及其概念的复习讲义 第1导数的概念及其运算第一部分 知识梳理 1. 导数的定义 设函数 y ? ...
第一节 导数的基础知识
第一节 导数的基础知识_数学_高中教育_教育专区。第一节 导数的概念及运算 知识点 1.平均变化率概念: 经典例题: 1.已知函数 f ( x) ? 2x 2 ? 4 的...
导数第一节讲解练习
导数第一节讲解练习_数学_高中教育_教育专区。§ 3.1 导数的概念及其运算 1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率 函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均...
第一节 导数及其运算
第一节 导数及其运算_数学_高中教育_教育专区。第一节 一、知识导学 导数及其运算 1.瞬时变化率:设函数 y ? f ( x) 在 x0 附近有定义, 当自变量在 x ...
第一节 导数及导数的运算
重视对导数概念的理解,熟练掌握导数的计算公式和导数的几何意义,为导数的应用打...一个方向,应引起重视. 四、知识讲解第一节(一)高考目标 考纲解读 1.了解导数...
导数的概念及其运算
导数的概念及其运算 1.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 等于( B A.e2 B.e ln 2 C. 2 ). D.ln 2 2.曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0...
导数的概念及其运算
处的导数是___. x Δx 考点二:导数的运算例 2:求下列函数的导数: (1)y...第一节导数的概念及其运... 暂无评价 5页 2下载券 3.1 导数的概念及其运算...
导数的概念及其运算
导数的概念及其运算 1、导数的概念及几何意义: (1)导数的概念: (2)导数的几何意义: 2、导数的运算: (1)导数的运算法则: 3、复合函数的导数: 例 1:用导数...
导数的概念及其运算
导数的概念及其运算(一) 主要知识及主要方法: 当自变量在 x ? x0 处有增量...f (x) 在开区间 (a, b) 内每一点都有导数,第1页 导性的必要条件,而...
导数的概念及其运算
导数的概念及其运算_高三数学_数学_高中教育_教育专区。课时作业(十八) 一、选择...所以 y1 与 y2 仅有两个交点,而且第二个交点 是 y1 和 y2 相切的点,即...
更多相关标签:
导数的概念及其运算 | 导数的概念及运算 | 导数的概念与运算 | 导数公式及运算法则 | 导数运算法则 | 导数运算 | 导数的概念 | 导数的运算法则 |