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(文科)直线与圆锥曲线


直线与圆锥曲线
(根据《名师经典 2-1》编写,请参考本班情况使用,文科班学案将印发) 一.直线与圆锥曲线的位置关系问题 (1)判断位置关系的问题:根据直线方程与圆锥曲线方程而成方程组,消去 y 和 x 后利 用判别式进行讨论: ①△>0 ? 有两个公共点; ②△=0 ? 有唯一公共点; ③△<0 ? 无公共点。 另外,(一)还可以利用数形结合,以形助数的方法解决——直线经过椭圆内一点,则 必与椭圆相交。 (二)直线与双曲线只一个交点时,除了 ? ? 0 外,还有直线与双曲线的渐 近线平行的情况。 (2)已知两曲线求交点坐标的问题——解方程组; (3)已知直线与曲线交点的个数,确定参数范围的问题——用△ 【例 1】直线

1 x2 y2 x ? y ? 3 ? 0 与椭圆 ? ? 1 的位置关系是_______相离_________ 2 16 4

【例 2】 k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 有两个公共点?有一个公共 点?没有公共点? 答案:当 k ? (??,?

6 6 )?( ,??) 时,有两个公共点; 3 3
当 k ? (?

当k ? ?

6 时,有一个公共点; 3

6 6 , ) 时,没有公共点。 3 3

【 例 3】若直 线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 有且仅有一 个公共点,则 k 的值 是 ___ ? 1或 ?

5 _______。 2

二.弦长相关问题 (1)求弦长问题——用两点间距离公式或弦长公式: 两点间距离公式 | AB |?

( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
2 (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2) - 4 x1 x 2 ] ,这里通常借助

2 弦长公式 | AB |? 1 ? k | x 2 ? x1 |?

韦达定理,达到“设而不求” 、简化运算的目的。 若一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不等实根,则 | x2 ? x1 |?
2

b 2 ? 4ac |a|

? x2 ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 【例 4】已知椭圆 6 9
则弦长 AB=_____2____ 【例 5】已知直线 y ? x ? 2 交椭圆

x2 ? y 2 ? 1 于 M、N 两点,O 为坐标原点,求△MON 5

的面积。

10 3

(2)中点弦问题——通常用“点差法” : 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标 ( x1 y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,将这两点代入圆锥 曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运 算量,我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。 【例 6】已知中心在原点,一个焦点坐标为 (0,4) 的椭圆被直线 x ? y ? 1 ? 0 截得的弦的中 点的横坐标是 ?

2 2x 2 4 y 2 ? ?1 ,求椭圆的方程。 3 3 3

x2 y2 解:设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,交点坐标为 ( x1 y1 ) 、( x2 , y 2 ) ,由题得: a b
中点的纵坐标为 ?

x ? x2 1 2 y ? y2 1 ?? , 1 ? ? ,将交点坐标代入椭圆方程得: ,所以 1 3 2 3 2 3

? x1 2 y1 2 ? 2 ? 2 ?1 ?a b ,两式作差得 ? 2 2 x2 y2 ? ? 2 ?1 ? a2 b ?
练习题(一)
2 2 1.直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与椭圆 2x ? y ? 3 的交点个数是(

)B

A.0 个
2 2

B.1 个
2

C.2 个

D.多于 2 个

2.与圆 x ? y ? a 相离的直线 l 与椭圆 A.相交 B.相离

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的位置关系是( a2 b2
D. 与 a,b 的取值有关

)B

C. 相切

3.抛物线 y ? x 2 ? x ? 2 和直线 y ? x ? m 有两个不同的交点,则 m 的取值范围是( D A. m ? R B. m ? 1 C. m ? 1 D. m ? 1



4. 若 直 线 y ? x ? b 与 椭 圆 2 x 2 ? y 2 ? 1 没 有 公 共 点 , 则 b 的 取 值 范 围 是 ________________. (??,?

6 6 )?( ,??) 2 2

5.直线 l 的方程为 y ? x ? 3 ,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x 2 ? 4 y 2 ? 3 的 焦 点 为 椭 圆 的 焦 点 作 椭 圆 , 那 么 具 有 最 短 长 轴 的 椭 圆 方 程 是 _______________ 。

x2 y2 ? ?1 5 4
6.若不论 k 为何值,直线 y ? kx ? 1 与焦点在 x 轴上的椭圆 数 m 的取值范围。 m ? [1,5) 7. k 取何值时,直线 y ? kx 与双曲线 4 x 2 ? y 2 ? 16 相交、相切、相离? 相交 k ? (?2,2) 、相离 k ? (??,?2] ? [2,??) 、无相切的情况。 8.若直线 y ? 2 x 与抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? m 相交于不同的两点 A、B,求: (1) m 的取值范围; (2)用 m 表示|AB|。 m ? ?4 ; | AB |? 2 5m ? 20

x2 y2 ? ? 1 总有公共点,求实 5 m

练习题(二)

x2 y2 1.设椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F1 , 则过点 F1 且垂直于 x 的弦长等于 ( a b
A A.



2b 2 a

B.

2b 2 c

C.

2c 2 a

D.

b2 a

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 2.斜率为 1 的直线 l 与椭圆 4
A.2 B.

)C

4 5 5

C.

4 10 5

D.

8 10 5

3.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 内一点 P(1,1) 的直线 l 与椭圆交于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,且点 P 4 3
)B D. B. ?

为弦 AB 的中点,则直线 AB 的斜率为( A.

3 4

3 4

C.

4 3

4 3

4.已知过椭圆 C : 2 x 2 ? y 2 ? 3 上的一点 M (1,1) 的切线方程 2 x ? y ? 3 ? 0 ,那么椭圆 C 上的点到直线 l : 2 x ? y ? 13 ? 0 的最小距离为( A.3 B. 11 C. 2 5 )C D.

10

5.已知椭圆的长轴长为 20, 短轴长为 16, 过中心的直线交椭圆于两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则|AB|的取值范围是( A. [6,10] )B C. [8,10] D. [12,20]

B. [16,20]

6.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标 5 4
5 3

原点,则 ?ABO 的面积为__________________.

7.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若过点 P(0,?2) 及 F1 的直线交椭圆于 2 1

A、B 两点,求 ?ABF2 的面积。

4 10 9

2 2 8.已知 ?ABC 的顶点 A、B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上,C 在直线 l : y ? x ? 2 上,且 AB// l ,

当 AB 边经过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 ?ABC 的面积。 2 2 及 2

9.已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,长轴长为 4 ,离心率为

3 , 2

(1)求椭圆 E 的标准方程;

x2 ? y2 ? 1 4

(2)已知点 A(0,1) 和直线 l : y ? x ? m ,线段 AB 是椭圆 E 的一条弦且直线 l 垂直平分弦 AB,求 m 的值。 ?

3 5

x2 ? y 2 ? 1 ,直线 x ? y ? m ? 0 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B,且线 10.已知椭圆 C : 2
段 AB 的中点不在圆 x ? y ?
2 2

5 内,求 m 的取值范围。 (? 3,?1] ? [1, 3) 9


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