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2012全国高中数学联赛广东预赛试题(详细解析)


2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1. 已知 2012 2 ? 2010 ? 2011 ? 2013 ? 2014 ? k 2 ?k ? 0? ,则 k ? 答案: 2012 2 ? 2 (或 4048142

) 解: n2 ? (n ? 2)(n ? 1)(n ? 1)(n ? 2) ? n2 ? (n2 ? 4)(n2 ? 1)
? n2 ? (n4 ? 5n2 ? 4) ? (n2 ? 2)2 .

.

2. 函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? 3 的最小值等于 6 6 答案:1 解:因为
f ( x) ? sin x cos

?

?

.

?
6

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? 3

? 3 sin x ? cos x ? 3 ? 2sin( x ? ) ? 3, 6

?

所以 f ( x) 的最小值为 1.

3. 已知 f ( x) ? 数,则 k 的值为 1 答案: . 4 解:由于

bx ? 1 1 ,其中 a, b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常 2x ? a x .

1 bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b 2 ? 1) x ? b k ? f ( x) ? f ( ) ? ? ? x 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a

是常数,故 2a ? k ? b ,且 (a 2 ? 4)k ? b 2 ? 1 . 将 b ? 2ak 代入 (a 2 ? 4)k ? b 2 ? 1 整理得
2 (4k 2 ? k )a 2 ? (1 ? 4k ) ? 0 , 分 解 因 式 得 ( 4 k ? 1 )k(a ? 1? ) . 0若 4k ?1 ? 0 , 则

ka 2 ? 1 ? 0 ,因此 ab ? 2ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4k ?1 ? 0 ,即 k ?

1 . 4

1

4. 已知方程 32 x ? 3x ?1 ? p 有两个相异的正实数解,则实数 p 的取值范围 是 .
9 答案: (? , ?2). 4

解法一:令 t ? 3x ,则原方程化为 t 2 ? 3t ? p ? 0 . 根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.
? ?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0, ? 9 令 f (t ) ? t 2 ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 12 ? 3 ?1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ?2. 4 ?3 ? ? 1. ?2

解法二:令 y ? 3x ,则原方程化为 y 2 ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程 最多有两个解, 而由 y ? 3x 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x , 因此所求的 p 应当使 y 2 ? 3 y ? p ? 0 有两个相异的实数解 y1 , y2 , 且满足 3x1 ? y1 ,3x2 ? y2 的两个实 数 x1 , x2 都是正的. 由于 x1 , x2 都是正的,故 y1 , y2 都应大于 1. 由于 y1 ? y2 ? 3 ,故
y2 ? 3 ? y1 , 因此 y1 必须满足 y1 ? 1 ,3 ? y1 ? 1 及 y1 ? 3 ? y1 . 因此 y1 的取值范围为

3 3 9 (1, ) ? ( , 2) . 因此 p ? ? y1 y2 ? ? y1 (3 ? y1 ) 的取值范围为 (? , ?2) . 2 2 4

5. 将 25 个数排成五行五列:

a11 a21 a31 a41 a51

a12 a22 a32 a42 a52

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

已知第一行 a11 , a12 , a13 , a14 , a15 成等差数列,而每一列 a1 j ,a2 j ,a3 j ,a4 j ,

a5 ( 都成等比数列, 且五个公比全相等. 若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 , j 1? j ? 5 )
则 a11 ? a55 的值为______. 答案: ?11 解: 可知每一行上的数都成等差数列, 但这五个等差数列的公差不一定相等.

2

由 a41 ? ?2 , a43 ? 10 知 a42 ?

10 ? (?2) ? 4 且公差为 6,故 a44 ? 16 , a45 ? 22 . 2

由 a24 ? 4 , a44 ? 16 知公比 q ? ?2 .

?2 1 ? ? , a55 ? 22 ? 2 ? 4 ? 11 ,故 a11 ? a55 ? ?11 ; 3 s 4 ?2 1 若 q ? ?2 ,则 a11 ? 3 ? , a55 ? 22 ? (?2) ? 4 ? (?11) ,故 a11 ? a55 ? ?11 . s 4
若 q ? 2 ,则 a11 ? 6. 设点 P 在曲线 y ? ______. 解: 2(1 ? ln 2) . 函数 y ?
1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称. 2 1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? . 2 2 2
1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? . 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d min ? 2(1 ? ln 2) . 7.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小 方格内至多填一个字母, 若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共 有 . 答案:3960
2 2 A4 ? 72 种, 解: 使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 使得 2 个 b 既不同 2 2 A4 ? 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 722 种. 行也不同列的填法有 C4

其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;
1 A92 ? 16 ? 72 种. 2 个 a 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C16

所以,符合条件的填法共有 722 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种. 8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体

3

的体积为 112? ,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 80? ,该梯形 绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为 156? ,则该梯形的周长为 答案: 16 ? 2 13 . 解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋
1 1 1 转体的体积为 ? h2b ? ? h 2 (a ? b) ? ? h 2 (a ? 2b) ,因此 ? h2 ( a ? 2b) ? 112 ? ,即 3 3 3 a ? 2b 336 7 h2 ( a ? 2b) ? 336. 同理有 h 2 (2a ? b) ? 240 ,两式相除得 ? ? ,去分母 2a ? b 240 5

.

化简得 b ? 3a ,代入 h2 (a ? 2b) ? 336 得 ah2 ? 48 . 注意到直角腰长等于高 h , 梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,
1 其体积为 h(a 2 ? ab ? b 2 ) ? 156 . 将 b ? 3a 代入化简得 a 2 h ? 36 . 结合 ah2 ? 48 可 3

解 得 a?3 , , 因 此 b?9 , 由 勾 股 定 理 知 另 一 条 腰 的 长 度 为 h? 4
42 ? (9 ? 3) 2 ? 2 13 ,因此梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 1. (本小题满分 16 分)设椭圆
x2 y2 + =1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A, B , a2 b2

点 P 在椭圆上且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| ,证明:直线 OP 的 斜率 k 满足 | k |? 3 . 解法一:设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , A(?a,0) . 由 | AP |?| OA | ,有 (a cos ? ? a ) 2 ? (b sin ? ) 2 ? a , 即 a2 cos2 ? ? 2a2 cos? ? b2 sin 2 ? ? 0 .
??1 ? cos ? ? 0, 从而 ? 2 2 2 2 2 2 2 ?? a cos ? ? 2a cos ? ? b sin ? ? a sin ? .

……4 分

b2 sin 2 ? 2 1 ? ?1 ? ? 3. 所以, ? ? cos ? ? 0 ,且 2 2 a cos ? cos ? 2

所以, | k |?

b sin ? 2 ? ?1 ? ? 3. a cos ? cos ?

……16 分
4

解法二:设 P(a cos ? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) .
a b 则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) . 2 2
|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? k AQ ? k ? ?1 .

k AQ ?

b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ . 2a ? a cos ?

……8 分

2 2 2 ? 2ak AQ ? (b 2 ? b 2 k AQ ) ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? b 2 ? a 2 k AQ ? a 2 ? a 2 k AQ

?| k AQ |?

1 ?| k |? 3 . 3

……16 分

2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求
S ? ( a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )
2 2 2 2 2 2

的最大值. 解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? bc ? c ? b , c ? ca ? a ? a .
2 2 2 2 2 2

……………5 分 根据 AM-GM 不等式可得
S ? a b ( a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2

4 3ab 3ab 2 2 ? ? ? ( a ? ab ? b ) 9 2 2
3 2

? 4( a ? b) 6 4( a ? b ? c) 6 ? ? ( a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12. 2 5 5 9? 3 3 ? ? ? 3
3ab 3ab
2

4?

……………15 分 所以 S 的最大值为 12,这时 ?a, b, c ? ? ?2,1,0? . ……………20 分 3. (本小题满分 20 分)求出所有的函数 f : N ? N 使得对于所有 x , y
* *

? N , ( f ( x )) ? y 都能被 f ( y ) ? x 整除.
*
2 2

解:根据题目的条件,令 x ? y ? 1 ,则 ( f (1)) ? 1 能被 f (1) ? 1 整除.
2

因此 ( f (1)) ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除, 也就是 f (1)( f (1) ? 1) 能被 f (1) ? 1 整除.
2

因 为 f ( 1 )与 f (1) ? 1 互 素 , 所 以 f ( 1 ? )
f ( 1? ) ?1f

能 1 被 f ( 1? )

整 1 除,且

,所以 ? (1 ) 1 f (1) ? 1 ? 0 , f (1) ? 1. ……………10 分
2

)) 令 y ? 1 ,则 ( f ( x

? 1 能被 1 ? x 整除,因此 ( f ( x)) ? x .从而 f ( x) ? x ,对
2
2 2

5

所有 x ? N .
*

令 x ? 1,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除.从而 y ? f ( y ) ,对所有 y? N .
*

综上所述, f ( x) ? x ,对所有 x ? N .
*

……………20 分

6


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