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高中所有数学公式(理科)


高中数学常用公式及结论
一、集合与常用逻辑用语: n n n 1 集合 {a1 , a2 , , an } 的子集个数共有 2 个;真子集有 2 ? 1 个;非空子集有 2 ? 1 个。
2 含有一个量词的否定: ‘ 量词改变,结论否定’ 命题 命题的否定

?x ? M , p( x)
?x0 ? M , p( x0 )

/>3 P 真 真 假 4 q 真 假 真

?x0 ? M , ? p( x0 )

?x ? M , ? p( x)
P或q 真 真 真 假 否定词 不大于 不都是 一个也没有 至少有两个 P且q 真 假 假 假 非p 假 假 真 真 原结论 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q 否定词 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

真值表: 同真‘且’真,同假‘或’假

假 假 常见结论的否定形式: 原结论 大于 都是 至少有一个 至多有一个

p 且q

?p 或 ?q

5

四种命题的相互关系:(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

充要条件: (1)、 p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; (2) 、 p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; (4)、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 (5)、 A ? B , A 是 B 的充分条件(小范围 ? 大范围)

二、函数:
1 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2) 顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式)
2

(3) 零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( x1 ,0),( x2 ,0) 时) 2 函数单调性: 增函数: x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f(x)在 x ? D 上是减函数。 (y 随 x 的增大而增大)
1

减函数: x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f(x)在 x ? D 上是减函数。 (y 随 x 的增大而减小) 等价关系: (1)设 x1, x2 ??a, b? , x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2

(2)设 y ? f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 增;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 减. 单调性性质:(1)增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数; (两个函数定义域交集) (2)增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数; (3)

1 , ? f ( x) 与 f ( x) 单调性相反, f ( x)

(有意义的前提) f ( x) 与 f ( x) 单调性相反。

复合函数的单调性: y ? f ?g ( x)? ,由 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合,同真异减。 3 函数的奇偶性: (注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数:在前提条件下,若有

f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 ,则 f(x)就是奇函数。

性质: (1)奇函数的图象关于原点对称; (2)奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3)定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数:在前提条件下,若有 f (? x) ? f ( x) ,则 f(x)就是偶函数。 性质: (1)偶函数的图象关于 y 轴对称; (2)偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)奇函数?偶函数=奇函数; 奇函数?奇函数=偶函数; (2)偶奇函数?偶函数=偶函数; 偶函数±偶函数=偶函数; 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点 对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 4 函数的周期性: 定义:对函数 f(x) ,若存在 T ? 0,使得 f(x+T)=f(x) ? T 是 f(x)的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ; (2)f(x+m)=f(x+n) ,此时周期为 2 m ? n ; (3) f ( x ? m) ? ?

1 ,此时周期为 2m ; f ( x)

(4)两条对称轴: x ? a, x ? b ,此时周期为 T ? 2 a ? b ; (形如 y ? sin x, y ? cos x ) (5)两个对称点: (a,0), (b,0) ,此时周期为 T ? 2 a ? b ; (形如 y ? sin x, y ? cos x )
2

(6)一条对称轴: 一个对称点:x ? a, (b,0) , 此时周期为 T ? 4 a ? b ; (形如 y ? sin x, y ? cos x ) 5 对称性:对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ),

? 函数 f ( x) 关于 y 轴对称 ② f (? x) ? ? f ( x) ? 函数 f ( x) 关于原点对
① f ( ? x) ? f ( x)

a?b 2 特别地: f ( x) ? f (2a ? x) ? 函数 f ( x) 的对称轴是 x ? a a?b ④ f ( x ? a) ? ? f (b ? x) ,0)对称 ? 函数 f ( x) 关于点( 2 特别地: f ( x) ? ? f (2a ? x) ? 函数 f ( x) 的对称点 ( a,0) ⑤ y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 互为反函数 ? y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 关于 y ? x 对称 特别地: ( a, b) 与 (b, a ) 关于 y ? x 对称
③ f ( x ? a) ? f (b ? x)

? 函数 f ( x) 的对称轴是 x ?

6 图像变换: ①平移变换: y ? f ( x) 沿 x 轴方向平移 a 个单位长度

y ? f ( x) 沿 y 轴方向平移 b 个单位长度 ②对称变换: y ? f ( x) 与 y ? f (? x) 关于 y 轴对称 y ? f ( x) 与 y ? ? f ( x) 关于 x 轴对称 y ? f ( x) 与 y ? ? f (? x) 关于原点对称 y ? f ( x) 与 y ? f (2a ? x) 关于 x ? a 成轴对称 y ? f ( x) 与 y ? ? f (2a ? x) 关于 (a,0) 成点对称 ③伸缩变换: y ? f ( x) 纵坐标伸缩为原来的 A 倍 y ? Af ( x) 1 y ? f ( x) 横坐标伸缩为原来的 倍 y ? f ( Ax) A
④翻折变换:

y ? f ( x ? a) y ? f ( x ? b)

左加右减 上加下减

y ? f ( x) :作出 y ? f ( x) 的图像,保留 x 轴上方图像,将 x 轴下方图像沿着 x 轴翻折上去。 y ? f ( x ) :作出 y ? f ( x) 的图像,保留 y 轴右方图像,将其沿着关于 y 轴翻折到左边,右边不变。
( y ? f ( x ) 是偶函数) 7 分数指数幂与根式的性质: (1) a
m n

? n a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).
m n

(2) a

?

?

1
m n

?

1
n

a n n (3) ( a ) ? a .

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(4)当 n 为奇数时, n an ? a ;当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

8

指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

9 指数与指数函数: 指数性质: (1)1、 a
r
?p

?
s

1 ap
r ?s



0 mn m n (2) 、 a ? 1 ( a ? 0 ) ; (3)、 a ? (a )

(4)、 a ? a ? a

(a ? 0, r, s ? Q)

; (5)、 a n ?
3

m

n

am



指数函数:(1)、 y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) 、 y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。 注: 指数函数图象都恒过点(0,1) 10 对数与对数函数: 对数性质: 若 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,则 (1)、 loga M ? loga N ? loga (MN ) ; (2) 、 log a M ? log a N ? log a (3)、 loga bm ? m ? loga b (6)、 loga a ? 1 ; ;(4)、 log am b ?
n

y

y=ax
0<a<1 1
o x

a>1

M ; N

n ? log a b ; (5)、 loga 1 ? 0 m

(7)、

a l o agb ? b

对数的换底公式 : log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a
y

对数函数: (1)、 y ? loga x(a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) 、 y ? loga x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数; 注: 对数函数图象都恒过点(1,0) (3)、
o

y=logax
0<a<1

log ?a , x? ( 0 或 , 1) a x? , a x? 0

?(? 1,

)

1 a>1

x

(4)、 loga x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??) 或 a ? (1, ??)则x ? (0,1) 11 幂函数:幂函数在第一象限的情况: (1)所有的图形都通过(1,1)这点,a 大于 0,函数过(0,0); (2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为单调递减函数。

α >1

α <0
0<α <1

12

平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ) :
x 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) .

三、导数: 1 f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率) : f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t
4

瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim 2

?t ? 0

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ? t ? 0 ?t ?t

函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .

3

几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nxn?1 (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

4

(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 导数的运算法则:

u ' u 'v ? uv ' (v ? 0) . (1) (u ? v) ? u ? v .(2) (uv) ? u v ? uv .(3) ( ) ? v v2
' ' ' ' ' '

5

复合函数的导数:

y ? f ?g ( x)? ,由 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合, y ? f ?g ( x)? ? f (u) ' ? g ( x) ' 。
'

6

导数在函数中的应用: (1) y ? f ( x) 在区间 ?a, b ? 的单调性与导数:

在 ?a, b ? 内恒有 f ' ( x) ? 0 ? y ? f ( x) 递增 在 ?a, b ? 内恒有 f ' ( x) ? 0 ? y ? f ( x) 递减 在 ?a, b ? 内恒有 f ' ( x) ? 0 ? y ? f ( x) 是常数函数

y ? f ( x) 在 ?a, b ? 递增 ? f ' ( x) ? 0 y ? f ( x) 在 ?a, b ? 递减 ? f ' ( x) ? 0 (2)判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法:
当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时,

(1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 7 定积分的性质:

(1)

(2)

(3)

(4)如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则 8 微积分基本定理: 如果 f(x)是[a,b]上的连续函数,并且有 F′(x)=f(x),那么 ? f ( x)dx ? F ( x) ? F ?b? ? F ?a ? a
b b a

5

9

定积分的几何意义:由连续曲线 y ? f ( x) ( f ?x ? ? 0 )和 x ? a, x ? b 及 y ? 0 围成的平面图形

AabB 称为曲边梯形.
y ? f ( x)

图 5-7

1)若 f ( x) ? 0, 如图 5-8 所示,则面积为

S ? ?? f ( x)dx;
a

b

a

b

S
图 5-8

2)把由直线 y=c,y=d(c<d)及两条连续曲线 x=g1(y),x=g2(y)(g1(y) ?g2(y)) y 所围成的平面图形称为 Y-型图形. d x=g2(y) x=g1(y)

c 阴影部分的面积: S ? 3) y y=f2(x) O a y=f1(x) 阴影部分的面积: S ? 10 b x O a y=f1(x) b x O a y=f2(x)

x

?c ?g 2 ( x) ? g1 ( x)?dy
d

O y=f2(x) y

y

b x

y=f1(x)

? ?f
b a

2

( x) ? f1 ( x)?dx

定积分在物理上的应用。 (1)变速 v ? v(t )(t ? 0) 时间在 ?a, b? 段,路程 S ?

? v(t )dt
a

b

(2)变力 F ? F ( x), 物体沿力的方向从 a 移动到 b ,做功 W ?

?

b

a

F ( x)dx

四、三角函数:
1 三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

?

6

2 3 4

同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? , cos ?

正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ?

sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 tan ? tan ?
b ). a

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?
5 二倍角公式及降幂公式

sin 2a ? 2 sin a ? cos a ?
2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
2 2

1 ? tan 2 ? cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ? 1 ? 1 ? 2sin ? ? . 1 ? tan 2 ? 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? sin 2 ? ? , cos 2 ? ? 2 2
6 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) 及函数 y ? cos(? x ? ? ) (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 三角函数的图像:

2? ; |? |

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ?

? . |? |

y=sinx
-π/2 -2π -3π/2 -π

y
1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

o
-1

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

7

正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C ( a ? b ? A ? B ? sin A ? sin B )

8

余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
9 面积定理:

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 10 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2
7

五、平面向量:
1 实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么: (1) 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ; (2)第一分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a ; (3)第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b . 2 3

a 与 b 的数量积(或内积): a ? b =| a || b | cos ? 。 平面向量的坐标运算:
(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 .

4

求夹角: cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2 a ?b ? ( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ). 2 2 | a |?|b | x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? ?2 2 2 求长度: a ? a ? x1 ? x 2

5

平面两点间的距离公式:

d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ). ? ? ? ? ? ? ? ? 6 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) , a // b 存在实数 λ,使 a =λ b 。
(1)三点共线:A、B、C 三点共线<=> AB ? ? AC <=> OC ? xOA ? yOB (其中 x ? y ? 1 ) (2)与 a 共线的单位向量为 ? ? 7 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明:空间任意的两向量都是共面的。 ( 2 )共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数

?

? a a

x, y 使

p ? xa ? yb 。
(3)四点共面:若 A、B、C、P 四点共面<=> AP ? x AB ? y AC <=> OP ? xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z ? 1) 8 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零)
a ? b ( a ? 0 ) ? a ? b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .(对应相乘和为零)
9 线段的定比分公式 :设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) 是 线 段 PP 1 2 的分点, ? 是实数,且

? x1 ? ? x2 x? ? 1 OP ? ? OP2 ? 1? ? t? ). PP ? OP ? 1 ? OP ? tOP 1 ? ? PP 2 ,则 ? 1 ? (1 ? t )OP 2( y ? ? y 1 ? ? 1 ? ? 1 2 ?y ? ? 1? ? ? 10 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、C(x3 ,y3 ) ,则△ABC
8

的重心的坐标是 G ( 11

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

三角形四“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心(外接圆的圆心,中垂线的交点) ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心(中线的交点,三等分点(中位线比) ) ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心(高的交点) ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心(内切圆的圆心,角平分线的交点) ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 .
2 2 2

六、数列:
1 等差数列: (1)通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数 (2) an 和 S n 之间的关系: a n ? ? (2)前 n 项和: (1) S n ?

?

S1 (n ? 1)

?S n ? S n ?1 (n ? 2)

(注:该公式对任意数列都适用)

n(a1 ? an ) n( n ? 1) ? na1 ? d ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 2
(注:该公式对任意数列都适用)

(2) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2)

(3)常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (3) 、 ?an ? 为等差数列,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等差数列。 (4) 、 ap ? qa, q ? p , a则 ?0 pq ? (4)等差数列的判定方法: ①定义法: an?1 ? an ? d 或 an ? an?1 ? d (n ? 2) ( d 为常数) ? {an } 是等差数列 ②中项公式法: 2an?1 ? an ? an?2 ? {an } 是等差数列 ③通项公式法: an ? pn ? q ( p, q 为常数) ? {an } 是等差数列 ④前 n 项和公式法: S n ? An2 ? Bn ( A, B 为常数) ? {an } 是等差数列 注意:①②是用来证明 {an } 是等差数列的理论依据。 2 等比数列: (1)通项公式: (1) an ? a1q
n ?1



?

a1 n ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q
9

(2) an 和 S n 之间的关系: a n ? ?

?

S1 (n ? 1)

?S n ? S n ?1 (n ? 2)

(注:该公式对任意数列都适用)

(2)前 n 项和: (1) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2)

(注:该公式对任意数列都适用)

? na1 ? (2) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

(3)常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 am2 ? an ? ap ? n、m、p 成等比。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。 (3) 、 ?an ? 为等比数列,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等比数列。 (4)等比数列的判定方法: ①定义法:

a n ?1 a ? q 或 n ? d (n ? 2) ( q 是不为零的常数) ? {an } 是等比数列 an a n ?1
2

②中项公式法: an?1 ? an ? an?2 (an an?1an?2 ? 0) ? {an } 是等差数列 ③通项公式法: an ? cq n ( c , q 是不为零常数) ? {an } 是等差数列 ④前 n 项和公式法: S n ? kq2 ? k ( k ?

a1 是常数) ? {an } 是等差数列 q ?1

注意:①②是用来证明 {an } 是等比数列的理论依据。 3 分期付款(按揭贷款) :每次还款 x ?

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1

七、不等式:
1 一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则
2

其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异 号两根之间.即: x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;
2

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
2 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有 x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
3 常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

10

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4) a ? b ? a ? b ? a ? b .

2ab a ?b a 2 ? b2 (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 ? ab ? ? a?b 2 2 4 不等式定理:已知 x , y 都是正数,则有
(5) (1)求和的最小值: x ? y ? 2 xy ,当且仅当 x ? y 取等号;

x ? y ? z ? 33 xyz ,当且仅当 x ? y ? z 取等号。

a1 ? a2 ? ? ? an ? nn a1a2 ?an 当且仅当 a1 ? a2 ? ? an 取等号。
?x? y? (2)求积的最大值: xy ? ? ? ,当且仅当 x ? y 取等号; ? 2 ?
2

?x? y?z? xyz ? ? ? ,当且仅当 x ? y ? z 取等号。 3 ? ? ? (3)已知 a, b, x, y ? R ,若 ax ? by ? 1则有 1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y a b (4)已知 ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b )2 x y x y a b 2 5 柯西不等式: a 2 ? b 2 c 2 ? d 2 ? ?ac ? bd ? 当且仅当 ad ? bc 时, ( ? )等号成立。 c d a a a 2 2 2 2 2 2 2 a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3 ? ?a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 当且仅当 1 ? 2 ? 3 等号成立。 b1 b2 b3

3

?

??

?

?

??

?

? b2 ? ?? bn ? ?a1b1 ? a2b2 ? ?? an bn ? 当且仅当 bi ? 0(i ? 1,2?n) 或存在一个数 k ,使 ai ? kbi (i ? 1,2?n) 时,等号成立。
柯西不等式的一般形式: a1 ? a2 ? ? ? an
2 2 2 2 2 2 1

?

??b

?

2

八、立体几何: 1 线线平行的判断: ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 ②如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 ③垂直于同一平面的两直线平行。 2 线线垂直的判断: ①在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 ②在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。 ③若一直线垂直于一平面,这条直线垂直于平面内所有直线。 补充:一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条。
11

3 线面平行的判断: ①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 ②两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 4 面面平行的判断: ①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线,这两个平面平行。 ②垂直于同一条直线的两个平面平行。 5 线面垂直的判断: ①如果一直线和平面内的两相交直线垂直,这条直线就垂直于这个平面。 ②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面。 ③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面。 ④如果两个平面垂直,那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 6 面面垂直的判断: 一个平面经过另一个平面的垂线,这两个平面互相垂直。 7 空间角的求法: (所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题,尤其是直角三角形) (1)异面直线所成的角:通过直线的平移,把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。异 面直线所成角的范围: 0 ? ? ? 90 ;
o o

注意:若异面直线中一条直线是三角形的一边,则平移时可找三角形的中位线。有的还可以通过 补形,如:将三棱柱补成四棱柱;将正方体再加上三个同样的正方体,补成一个底面是正 方形的长方体。 (2)线面所成的角:斜线与平面所成的角:斜线与它在平面内的射影所成的角。范围 0 ? ? ? 90
o o

(3)二面角:关键是找出二面角的平面角。方法有:①定义法;②三垂线定理法;③垂面法; 定义法:以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线民主两条射线 所成的叫叫做二面角的平面角。 注意:还可以用射影法: cos ? ?

S' ;其中 ? 为二面角 ? ? l ? ? 的大小, S 为 ? 内的一个封闭几 S

何图形的面积; S ' 为 ? 内的一个封闭几何图形在 ? 内射影图形的面积。一般用于解选择、填空题。 8 夹角公式: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ? a, b ??
O O

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

( 1 ) 线 线夹 角 ? ( 共面与 异面 ) [0 ,90 ] ? 两 线的 方向 向量 n1 , n 2 的 夹 角或 夹角 的补 角,
12

cos? ? cos ? n1, n2 ?
(2)线面夹角 ? [0 O ,90O ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n 的夹角,若 为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹角. sin ? (3)面面夹角(二面角)?

? cos ? AP, n ?

[0O ,180O ] :若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量 n1 , n 2

的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角. 9 求点到面的距离的方法:

cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?

①直接法:直接确定点到平面的垂线段长(垂线段一般在二面角所在的平面上) ; ②转移法:转化为另一点到该平面的距离(利用线面平行的性质) ; ③体积法:利用三棱锥体积公式。 ④向量法: B 到平面 ? 的距离:d ? 10

| AB ? n | ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的斜线段). |n|

空间向量的坐标运算:设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (?a1 , ?a2 , ?a3 ) (λ ∈R); (4) a ? b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ;

11 12

球的半径是 R,则其体积 V ?

4 ? R 3 ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为

6 a 12 1 3 6 6 6 (正四面体高 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3

13 多面体: (1)棱柱:两底面互相平行,侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等
侧棱不垂直于底面 侧棱垂直于底面 底面是正多边形

棱柱

斜棱柱
底面是平行四边形

直棱柱
侧棱垂直于底面

正棱柱;
底面是矩形

四棱柱
底面是正方形

平行六面体
棱长都相等

直平行六面体

长方体 正四棱柱 正方体。 (2)正棱锥:底面是正多边形,侧面是等腰三角形,顶点在底面内的射影是底面中心
13

性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形 Rt ?POH , Rt ?POB , Rt ?PBH , Rt ?BOH 实现边,高,斜高间的换算 ③面积: S 正棱锥 ? ④体积: V棱锥 ? (3)正四面体: A 对于棱长为 a 正四面体的问题可将它补成一个边长为

1 ch ' ( c 为底周长, h ' 为斜高) 2
D O

P

1 Sh ( S 为底面积, h 为高) 3

C H B

2 a 的正方体问题。 2

对棱间的距离为

2 a (正方体的边长) 2

正四面体的高

2 6 a ( ? l正方体体对角线 ) 3 3 1 2 3 a ( V正方体 ? 4V小三棱锥 ? V正方体 ) 3 12 1 1 l正方体体对角线 : l正方体体对角线 ) 6 2

正四面体的体积为

正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 1 : 3 ( ?

外接球的半径为

1 6 a (是正方体的外接球,则半径 ? l正方体体对角线 ) 2 4 1 6 a (是正四面体中心到四个面的距离,则半径 ? l正方体体对角线 ) 6 12

内切球的半径为

九、平面解析几何: 1 斜率公式 : k ?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).y=tan a x2 ? x1

2 直线的五种方程: (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件! ) x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
14

3 点到直线的距离 : d ? 4 两平行线间距离: d ? 5 圆的四种方程:

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2 C1 ? C 2
A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

(1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? (4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 6 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: (直接代点简单)若 d ?

7

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 直线与圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:
(d ?

Aa ? Bb ? C

A2 ? B 2 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;

)

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

8

两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d ,则:

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆,

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

o

d

d

d

d

9 椭圆方程的定义: PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹,
PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2为端点的线段

① 椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x
a

2 2

?
2 2

y2 b2
?

? 1( a ? b ? 0) .
x2 b2 ? 1( a ? b ? 0) .

ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y
a

② 一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) . ③椭圆上点到焦点的距离最大值和最小值在长轴端点取得(近日点和远日点) 焦点到对应准线的距离(焦准距) p ?

b2 。 c

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2 10 若 P 是椭圆:
x2 a2 ? y2 b2

b2 . a
?
2

? 1 上的点. F 1, F 2 为焦点,若 ?F 1PF 2 ? ? ,则 ?PF1F 2 的面积为 b 2 tan

(用余弦定理与 PF1 ? PF 2 ? 2a 可得). 若是双曲线,则面积为 b 2 ? cot
15

?
2

.

11

椭圆的的内外部:
2 2 x0 y0 x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) ? ? ?1. 的内部 a 2 b2 a 2 b2 2 2 x0 y0 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b

(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为双曲线

12 双曲线的第一定义: PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 的一个端点的一条射线

① 双曲线标准方程:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a, b ? 0),

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a, b ? 0) .

② 一般方程: Ax2 ?Cy 2 ? 1( AC ? 0) .

a2 b2 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 ④过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2 . a
③ 准线到中心的距离为 13 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程: ? 2 2 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。 (会推,可以不记)
(1)若双曲线方程为 14 图形 抛物线方程:设 p ? 0 ,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O

x O

焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点

F(

p ,0) 2

F (? x?

p ,0) 2

F (0,

p ) 2

F (0,? y?

p ) 2

p 2 x ? 0, y ? R x??

p 2 x ? 0, y ? R

p 2 x ? R, y ? 0 y??

p 2 x ? R, y ? 0

x轴

y轴

(0,0) e ?1
PF ? p ? x1 2 PF ? p ? x1 2 PF ? p ? y1 2 PF ? p ? y1 2

注:①通径为 2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
16

② y 2 ? 2 px (或 x 2 ? 2 py )的参数方程为 ? 15 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(或 ?

? x ? 2 pt ? y ? 2 pt
2

) ( t 为参数).

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ?4 x1 x 2

16 圆锥曲线的统一定义.. 注:椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质 椭圆 1. 到两定点 F1,F2 的距离之和为定 值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 定义 2.与定点和直线的距离之比为定 值 e 的点的轨迹.(0<e<1) 方 标准 方程 参数 方程 范围 中心 顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线 (a,0), 双曲线 1.到两定点 F1,F2 的距离之差的 绝对值为定值 2a(0<2a<|F1F2|)的 点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为 定值 e 的点的轨迹.(e>1) 与定点和直线的距离 相等的点的轨迹. y2=2px 抛物线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? b >0) a2 b2

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0) a2 b2



? x ? a cos? ? y ? b sin ? ? (参数?为离心角)
─a?x?a,─b?y?b 原点 O(0,0) (─a,0), (0,b) , (0,─b) F1(c,0), F2(─c,0) x 轴,y 轴;长轴长 2a,短轴长 2b

? x ? a sec? ? y ? b tan? ? (参数?为离心角)
|x| ? a,y?R 原点 O(0,0) (a,0), (─a,0)

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt (t 为参数) ?
x?0 (0,0) x轴

x 轴, y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b. F1(c,0), F2(─c,0)

p F ( ,0 ) 2

2c

(c= a 2 ? b 2 )

2c (c= a 2 ? b 2 )

e?

c (0 ? e ? 1) a

e?

c (e ? 1) a

e=1

a2 x= ? c

a2 x= ? c
y=±

x??

p 2

渐近线 焦半径 通径

b x a r ? x?
2p

r ? a ? ex

r ? ?(ex ? a)

p 2

2b 2 a

2b 2 a

十、计数原理、概率、随机变量及其分布 1 分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ? m2 ?

? mn . 分步计数原理(乘法原理) : N ? m1 ? m2 ? ? mn n! * m 2 排列数公式 : An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = .( n , m ∈N ,且 m ? n ).规定 0! ? 1 . (n ? m)!
17

3

m 组合数公式: C n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m m?1 m 0 (2) C n + Cn = Cn ?1 .规定 C n ? 1 .

m n?m 组合数的两个性质:(1) C n = Cn ;

4

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) . a b (r ? 0,

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
a0 ? a1 ? a2 ?
5

? an xn 的展开式的系数关系:
? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。

? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ?

事件的关系与运算 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, (A 发生必有事件 B 发生) :A? B 并事件(和事件) :A、B 中至少有一个发生的事件:A ? B,或者 A+B。 且事件(积事件) :A、B 同时发生:A ? B,或者 AB。 互斥事件:A ? B= ? ,表示 A 与 B 不可能同时发生。基本事件是互斥的。 对立事件: ? -A 称为事件 A 的逆事件,记为 A 。 A ? B = ? 且 A ? B ? I 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可表示为 A-AB 或者 A B ,它 表示 A 发生而 B 不发生的事件。 ②运算: 结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

6 7

德摩根率: i ?1 古典概型

? Ai ? ? Ai
i ?1

?

?

A? B ? A? B, A? B ? A? B
1 。 n

1° ? ? ? ?1 ,? 2 ?? n ?,2° P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? P(? n ) ? 设任一事件 A ,它是由 ?1 , ? 2 ?? m 组成的,则有

P(A) = P(?1 ) ? P(? 2 ) ? ? ? P(? m ) ?
8

m A所包含的基本事件数 ? n 基本事件总数

几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每 一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。 对任一事件 A, P( A) ?

L( A) 。其中 L 为几何度量(长度、面积、体积) 。 L (?) P( AB) 为事件 A 发生条件下,事件 B 发生的条件 P( A)

9

条件概率 设 A、B 是两个事件,且 P(A)>0,则称 概率,记为 P( B / A) ?

P( AB) 。 P( A)

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(Ω /B)=1 ? P( B /A)=1-P(B/A) 10 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).
18

n 个互斥事件分别发生的概率的和:
11 12 13 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A?B)= P(A)?P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1? A2??? An)=P(A1)? P(A2)??? P(An).
k k n ?k n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

数学期望: E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? 数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b .

? xn Pn ?

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ? 14 方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2 2

1 . p

? ? xn ? E? ? ? pn ?

标准差: ?? = D? . (1) D ? a? ? b? ? a D? ;
2

方差的性质:

(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 D? ?
2 方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ? . 2

q . p2

15

正态分布密度函数: f ? x ? ?

式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ?
2

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?
十一、数系的扩充与复数的引入

? x?? ? ?. ? ? ?

1 复数的定义:形如 a ? bi(a, b ? R) 的数叫复数, a 叫复数的实部, b 叫复数的虚部 注: a ? bi 称为复数 z 的代数形式 其中 i ? ?1
2
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

2 复数 a ? bi(a, b ? R) 与实数的关系:

?实数 (b=0) ? 复数Z ? a ? bi (a, b ? R) ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ? 3 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
4 共轭复数: 1.复数 z ? a ? bi 的共轭复数记作 z ,即 z ? a ? bi 2. i 的性质:如果 n ? N ,则有
*

i 4n ? 1, i 4n?1 ? i , i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i

3.法则(分母实数化法) :

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ac ? bd bc ? ad ? 2 ? i ? ? c2 ? d 2 c ? d 2 c2 ? d 2 c ? di (c ? di)(c ? di)
19

5

复数的几何意义 1.复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面; x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 注:实轴上的点表示实数;虚轴上的点(除原点)都表示纯虚数 2.复数 z ? a ? bi 3.复数 z ? a ? bi
一一对应 ???? ? 复平面内的点 Z (a, b)
一一对应 ???? ? 复平面上的平面向量 OZ 规定:相等的向量表示同一复数

4.模:向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模,记作 z 或 a ? bi ,则 6 复平面上的两点间的距离公式:

z ? a ? bi ? a 2 ? b 2

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

十二、常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为 r 的圆

? ? r (0 ? ? ? 2? )

圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆

? ? 2r cos ? (?

?
2

?? ?

?
2

)

圆心为 (r ,

?
2

) ,半径为 r 的圆

? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? )

(1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0)

过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线

? cos ? ? a (?

?
2

?? ?

?
2

)

过点 ( a,

?
2

) ,与极轴平行的直线

? sin ? ? a(0 ? ? ? ? )

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