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【核按钮】2015高考新课标数学(理)课时作业:2.2 函数的单调性与最大(小)值]


1.函数 y= x2+2x-3的单调递减区间是( ) A.(-∞,-3] B.[1,+∞) C.(-∞,-1) D.[-1,+∞) 2 解:由 x +2x-3≥0 得 x≥1 或 x≤-3. 则单调递减区间为(-∞,-3],故选 A. 北京)下列函数中,既是偶函数又在区间 2.(2013· (0,+∞)上单调递减的是( ) 1 - A.y= B.y=e x x C.y=-x2+1

D.y=lg|x| 解:利用偶函数定义 f(-x)=f(x),排除选项 A, B,由 y=-x2+1 的图象知 C 正确.故选 C. 西安调研)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数, 3.(2013· 且当 x≥0 时, f(x)单调递减, 若 x1+x2>0, 则 f(x1)+f(x2) 的值( ) A.恒为正值 B.恒等于零 C.恒为负值 D.无法确定正负 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, f(x)单调递减,∴f(x)在 R 上单调递减. 又 x1+x2>0,则 x1>-x2, ∴f(x1)<f(-x2)=-f(x2), 从而有 f(x1)+f(x2)<0.故选 C. 4. 设 函 数 g(x) = x2 - 2(x ∈ R) , f(x) = ? ?g(x)+x+4,x<g(x), ? 则 f(x)的值域是( ) ?g(x)-x,x≥g(x). ? 9 ? A.? ?-4,0?∪(1,+∞) B.[0,+∞) 9 ? C.? ?-4,+∞? 9 ? D.? ?-4,0?∪(2,+∞) 解: 令 x<g(x), 即 x2-x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2. 2 令 x≥g(x),即 x -x-2≤0,解得-1≤x≤2.故函数 f(x) 2 ? ?x +x+2,x<-1或x>2, =? 2 当 x< - 1 或 x>2 时, ?x -x-2,-1≤x≤2. ? 1? f(x)>f(-1)=2;当-1≤x≤2 时,f? ?2?≤f(x)≤f(-1),即 9 ? 9 - ≤f(x)≤0.故函数 f(x)的值域是? +∞). 故 ?-4,0?∪(2, 4 选 D. 5.若函数 f(x)=log2(x2-ax+6)在(-∞,2]上是 减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[4,5) D.[4,5] 2 解:令 u=x -ax+6,则 f(x)=log2u 在(0,+∞) 上是增函数,若 f(x)在(-∞,2]上是减函数,则 u=x2 -ax+6 在(-∞,2]上是减函数且恒大于 0,从而有

a ? ?2≥2, ? 解得 4≤a<5.故选 C. ? ?umin=22-2a+6>0, 6.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)= -f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ) A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) 解:f(x-8)=-f(x-4)=f(x),∴T=8,又 f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0. ∵f(x)在[0,2]上是增函数,且 f(x)≥0, ∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且 f(x)≤0, 又 x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-4)≥0,且 f(x)为减函 数. 同理 f(x)在[4,6]上为减函数且 f(x)≤0,大致图象 如图所示.

∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)=f(0) =0. ∴f(-25)<f(80)<f(11),故选 D. 安徽) 若函数 f(x) =|2x+a|的单调递增区 7.( 2012· 间是[3,+∞),则 a=____________. a 解法一:函数的对称轴为 x=- ,由对称性可知 2 a - =3,∴a=-6. 2 解法二:由 f(3)=0?a=-6.故填-6. 山东)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1, 8. (2012· 2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1- 4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=_________. 1 ?f(-1)=4, ? ?a=4, ? 解:若 0<a<1,则? 即? 解 ? ?f(2)=m, 2 ? ?a =m, 1 a= , 4 得 1 m= . 16 1? 3 ∴g(x)=? ?1-4×16? x=4 x在[0,+∞)上是增函 a2=4, ? ?f(2)=4, ? ? 数, 满足题意. 若 a>1, 则? 即?1 ?f(-1)=m, ? =m, ? ?a a = 2 , ? ? 1? ? 解得 ? 1 ∴ g(x) = ?1-4× 2? x =- x 在 [0 ,+ ∞) ?m=2. ?

? ? ?

1 1 上是减函数,不合题意.综上知,a= .故填 . 4 4 9.已知 a>b>0,m>0. b+x (1)判断函数 f(x)= 在区间(0,+∞)内的单 a+x 调性; b b+m (2)证明不等式 < . a a+m b+x a+x+(b-a) a-b 解: (1)∵f(x)= = =1- , a+x a+x a+ x a-b 又 y=- 在(-a,+∞)内为增函数, a+x ∴f(x)在(0,+∞)内为增函数. (2)证明:∵由(1)知 f(x)在(-a,+∞)内为增函数, ∴当 x1=0,x2=m 时,x1<x2,有 b b+m f(x1)<f(x2),即 < . a a+m 10. 用函数单调性的定义证明: f(x)=ax+a-x 在(0, +∞)上是增函数(这里 a>0 且 a≠1). 证明:任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=( a + a )-( a x2 + a ? x2 ) x1 1 ? ? 1 =( a - a x2 )+ ? x1 ? x2 ? a a ? ? x1 1 = x1 ? x2 ( a - a x2 )( a x1 ? x2 -1), a ∵0<x1<x2,∴x1+x2>0, a x1 ? x2 >0. (1)当 a>1 时, a x1 ? x2 >1, a < a x2 , ∴ a x1 ? x2 -1>0, a - a x2 <0, ∴f(x1)-f(x2)<0. (2)当 0<a<1 时, a x1 ? x2 <1, a > a x2 , ∴ a x1 ? x2 -1<0, a - a x2 >0, ∴f(x1)-f(x2)<0. 综上所述, 对于任何 a>0 且 a≠1, 均有 f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 11.已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),当 x>1 时, f(x)>0,且对于任意的正数 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y). (1)证明:函数 f(x)在定义域上是单调增函数; 1? ? 1 ?≥2,求 x 的取 (2)如果 f? =- 1 且 f ( x ) - f 3 ? ? ?x-2? 值范围. 解:(1)证明:设 0<x1<x2. x2 ? x2 x1 -f(x1)=f? ?+f(x1)-f(x1) 则 f(x2)-f(x1)=f? ?x1· ? ?x1? x2? =f? ?x1?. x2? x2 因为 >1,所以 f? ?x1?>0, x1 所以 f(x2)-f(x1)>0. 故 f(x)在定义域上是单调增函数.
x1
x1

1 (2)当 x=y=1 时,f(1)=0.令 y= , x 1 1 ? ? ? 得 f(1)=f(x)+f? ?x?,所以 f? x?=-f(x). 1? 故由 f? ?3?=-1,得 f(3)=1. 1 于是 f(x)-f?x-2?=f(x)+f(x-2)=f(x2-2x)≥2, ? ? 而 2=f(3)+f(3)=f(9),则有 f(x2-2x)≥f(9). 2 ?x -2x≥9, 所以 x 满足?x>0,

?

? ?x-2>0,

解得 x≥1+ 10.

x1

? x1

x1

x1

故实数 x 的取值范围是[1+ 10,+∞). 已知函数 f(x)=x2+lnx-ax 在(0, 1)上是 增函数. (1)求 a 的取值范围; x (2)在(1)的结论下,设 g(x)=e2x+|e -a|,x∈[0, ln3],求函数 g(x)的最小值. 1 解: (1)f ′(x)=2x+ -a.∵f(x)在(0, 1)上是增函数, x 1 ∴2x+ ≥a 在(0,1)上恒成立, x 1? 即 a≤? ?2x+x?min(x∈(0,1)), 1 2 ∵2x+ ≥2 2当且仅当 x= 时,取等号, x 2 所以 a 的取值范围为{a|a≤2 2}. (2)设 t=ex,则 h(t)=t2+|t-a|(显然 t∈[1,3]), 当 a≤1 时,h(t)=t2+t-a 在区间[1,3]上是增函 数,所以 h(t)的最小值为 h(1)=2-a. ?t2-t+a,1≤t≤a, ? 当 1<a≤2 2时,h(t)=? 2 ?t +t-a,a<t≤3. ? 因为函数 h(t)在区间[a, 3]上是增函数, 在区间[1, a]上也是增函数,又 h(t)在[1,3]上是连续函数,所以 h(t)在[1, 3]上为增函数, 所以 h(t)的最小值为 h(1)=a, ?2-a,a≤1, ∴g(x)min=? ?a,1<a≤2 2.


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