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导数第3讲


高频考点(2015 年 3 月 22 日) 导数及应用 总第 3 讲 知识点 2.导数与函数的极值 应用 1.判断极值点的个数 1. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x) 在 ( a, b) 内的图象如图 所示,则函数 f ( x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 A A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 x 2 2. a ? R, 讨论函数 f ( x) ? e ( x ? ax ? a ? 1) 的极值点的个数 y y ? f ?( x) b a O x 应用2.求极值 ( x0处左右两侧的 f ?( x0 )异号, f ( x0 ) 为极值点,左正右负极大,左负右正极小 x0处左右两侧的 f ?( x0 )同号, f ( x0 ) 不为极值点) 1.(广东 12)求函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 1的极值. 解析: f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 3x ( x? 2) ,令 f ?( x ) ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ,显然当 x ? 0 时 f ?( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 2 时 f ?( x) ? 0 ;当 x ? 2 时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 1在 x ? 2 处取得极小值。 2.(安徽理科第 16 题)设 f ( x) ? 4 ex ,其中 a 为正实数.当 a ? 时,求 f ( x) 的极值点; 2 3 1 ? ax 解:当 a ? 4 ex 时, f ( x) ? ,对函数求导得: 4 2 3 1? x 3 4 8 1 x e x ( x 2 ? x ? 1) e (2 x ? 1)(2 x ? 3) 3 3 , f ?( x) ? ?3 4 2 2 4 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) 3 3 1 3 3 1 当 x ? ( , ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( ,??), x ? (??, ) 时, f ?( x) ? 0 2 2 2 2 1 3 1 3 ? f ( x) 在 (??, ) 上递增,在 ( , ) 上递减,在 ( ,??) 上递增, 2 2 2 2 1 3 所以函数 f ( x) 在 x ? 是极大值点,在 x ? 是极小值点。 2 2 3.【2014·重庆卷】已知函数 f ( x) ? x ? a ? ln x ? 3 ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处 4 x 2 1 的切线垂直于 y ? x 2 (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间和极值。 1 1 a 1 ? 2 ? ,由 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处切线垂直于直线 y ? x 知 2 4 x x 解: (Ⅰ)对 f ? x ? 求导得 f ? ? x ? ? 5 3 f ? ? x ? ? ? ? a ? ?2, 解得 a ? ; 4 4 x 5 3 1 5 1 x2 ? 4 x ? 5 ? ? ln x ? ,则 f ? x ? ? ? 2 ? ? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? 4 4x 2 4 4x x 4 x2 第 1 页 共 6 页 高频考点(2015 年 3 月 22 日) 导数及应用 总第 3 讲 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 5 .因 x ? ?1 不在 f ?


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