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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1圆的方程课件 苏教版必修2


2.2 圆与方程 . 2.2.1 . 圆的方程

学习目标 1.掌握圆的标准方程, 并能根据方程写出圆心的坐 掌握圆的标准方程, 掌握圆的标准方程 标和圆的半径; 标和圆的半径; 2. 掌握圆的一般方程并能由圆的一般方程写出圆 . 心的坐标和圆的半径; 心的坐标和圆的半径; 3.能运用待定系数法求圆的方程. .能运用待定系数法求圆的方程.

/> 课前自主学案 2.2.1 圆 的 方 程 课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1. 圆的定义 : 到定点的距离等于定长的点的集 . 圆的定义: 合.定点是_____,定长是 半径 . 定点是 圆心 ,定长是_____. 2.A(x1,y1),B(x2,y2),则AB= . , , =

(x2-x1)2+(y2-y1)2 _____________________.

知新益能 1.圆的标准方程 .

思考感悟 1.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(a,b,r∈R)表示一 .方程 - - , , ∈ 表示一 个圆吗?为什么? 个圆吗?为什么? 提示:未必表示圆. ≠ 时 表示圆心为(a, 提示:未必表示圆.当r≠0时,表示圆心为 ,b), 半径为|r|的圆; = 时 表示一个点(a, . 半径为 的圆;当r=0时,表示一个点 ,b). 的圆

2.圆的一般方程 . x2+y2+Dx+Ey+F=0 + + = (1)圆的一般方程形式为 圆的一般方程形式为_______________________, 圆的一般方程形式为 它可以配方化为2+2=
? ? ? ? D2+E2-4F D?2 ? E?2 ? + + ?x+ ? +?y+ ? = 2? ? 2? 4 ? ______________________________. ? D E? ? - ,- ? ? 2 2 ? 为圆 2+E2-4F>0时,表示以____________为圆 ? ? ①当D > 时 表示以

1 D2+E2-4F 2 为半径的圆; 心, _______________为半径的圆; 为半径的圆

D ②当 D +E -4F=0 时,方程只有实数解 x=- , = =- 2 ? D E? ? ? E ?- ,- ? 2?; y=- ,即只表示一个点? 2 即只表示一个点__________; =- 2 方程没有实数解, ③当 D2+E2-4F<0 时,方程没有实数解,因而它 < 不表示任何图形. 不表示任何图形. (2)圆的一般方程的特点 圆的一般方程的特点 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半 而一般方程突出了方程形式上的特点: 径,而一般方程突出了方程形式上的特点: 的系数______, ① x2 和 y2 的系数 相等 ,且不等于 0; ; 没有_____这样的二次项 这样的二次项. ②没有 xy 这样的二次项.
2 2

思考感悟 2.方程 2+2y2-4x-3y-1=0表示圆吗?若表示 表示圆吗? .方程2x - - = 表示圆吗 其圆心和半径分别是什么? 圆,其圆心和半径分别是什么?

提示: 提示:方程 2x2+2y2-4x-3y-1=0 可化为 x2+y2 - - = 3 1 32 1 2 - 2x- y- = 0, 则 (- 2) + (- ) - 4×(- )= - - , - - ×- = 2 2 2 2 33 3 >0,所以该方程表示圆,其圆心是 , ),半径 ,所以该方程表示圆,其圆心是(1, , 4 4 为 1 32 1 1 2 (-2) +(- ) -4×(- )= 33. ) × 2 2 4 2

3.点与圆的位置关系 . (1)点与圆的位置关系有三种:①点在圆外;②点 点与圆的位置关系有三种: 点在圆外; 点与圆的位置关系有三种 在圆上; 点在圆内. 在圆上;③点在圆内. (2)设点 到圆心距离为 , 圆的半径为 , 则点与 设点P到圆心距离为 设点 到圆心距离为d,圆的半径为r, 圆的位置有如表所示的对应关系 位置关系 d与r的关系 与 的关系 点在圆外 d>r 点在圆上 d=r = 点在圆内 d<r

(3)已知点 已知点M(x0,y0)和圆的方程 2+y2+Dx+Ey+ 和圆的方程x 已知点 和圆的方程 + + F=0(D2+E2-4F>0).则其位置关系如下表: = .则其位置关系如下表:

位置关系 点 M 在圆外 点 M 在圆上 点 M 在圆内

代数关系
2 x0+y2+Dx0+Ey0+F>0 0 2 x0+y2+Dx0+Ey0+F=0 = 0 2 x0+y2+Dx0+Ey0+F<0 0

课堂互动讲练

考点突破 圆的标准方程 若已知条件中包含圆的几何性质(含有 “ 圆心”“ 若已知条件中包含圆的几何性质 含有“ 圆心 ”“ 含有 半径”“ 切线 ”“切点 ”“弦长 等关键词), 半径 ”“切线 ”“ 切点 ”“ 弦长 ” 等关键词 , 则 ”“ 切线”“ 切点”“ 弦长” 一般应选用圆的标准方程, 一般应选用圆的标准方程,其解题关键在于寻求该 圆的圆心与半径. 圆的圆心与半径.

例1

(本题满分 分)求圆心在直线 -2y-3=0 本题满分14分 求圆心在直线 求圆心在直线x- - = 本题满分

且过点A(2, - 3), B(- 2, - 5)的圆的标准 上 , 且过点 , , - , 的圆的标准 方程. 方程. 思路点拨】 【思路点拨】 解答本题可以先根据所给条件确

定圆心和半径,再写方程, 定圆心和半径,再写方程,也可以设出方程用待 定系数法求解. 定系数法求解.

为圆心. 【规范解答】 法一:设点 C 为圆心. 规范解答】 法一: ∵点 C 在直线 l:x-2y-3=0 上, : - - = 的坐标为(2a+ , ∴可设点 C 的坐标为 +3,a).2 分 又∵该圆经过 A、B 两点,∴CA=CB.4 分 、 两点, = ∴ (2a+3-2)2+(a+3)2= (2a+3+2)2+(a+5)2, + - ) + ) + + ) + ) =-2.8 分 解得 a=- =- ,-2), ∴圆心坐标为 C(-1,- ,半径 r= 10.12 分 - ,- = 故所求圆的标准方程为(x+ + … 故所求圆的标准方程为 +1)2+(y+2)2=10.…14 分

法二:设所求圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,2 分 - -
?(2-a)2+(-3-b)2=r2 - ) - ) ? ?(-2-a)2+(-5-b)2=r2 - ) - ) 由条件知 ? - - = ?a-2b-3=0 ?a=- =-1 =- ? =-2 =- 解得?b=- ? 2 ?r =10

,6 分

,10 分

故所求圆的标准方程为(x+ 故所求圆的标准方程为 +1)2+(y+2)2=10.…14 分 + …

名师点评】 【 名师点评 】

本题的两种解法各有优劣. 本题的两种解法各有优劣 . 法一

采用圆的定义; 法二采用待定系数法构造方程, 采用圆的定义 ; 法二采用待定系数法构造方程 , 此解法是通法, 但计算量较大, 此解法是通法 , 但计算量较大 , 要注意计算的准 确性. 确性. 变式训练1 变式训练 求圆心在x轴上 且过点 求圆心在 轴上,且过点 轴上 且过点A(5,2)和B(3, 和 , 的圆的标准方程. -2)的圆的标准方程. 的圆的标准方程

解 : 法一 : 设圆的方 程为 (x- a)2 + (y - b)2 = - r2(r>0). . ?b=0 = ? ?(5-a)2+(2-b)2=r2 - ) 则 - ) , ? - )2 - )2 2 ?(3-a) +(-2-b) =r
?a=4 = ? = 解得?b=0 ? = ?r= 5

.
2 2

∴所求圆的标准方程为(x-4) +y =5. 所求圆的标准方程为 -

法二: ,-2)两点 法二:∵圆过 A(5,2)、B(3,- 两点, 、 ,- 两点, 的中垂线上. ∴圆心一定在线段 AB 的中垂线上. 1 AB 中垂线的方程为 y=- (x-4), =- - , 2 令 y=0,得 x=4,即圆心坐标为 C(4,0), = , = , , ∴r=CA= (5-4)2+(2-0)2= 5, = = - ) - ) , 所求圆的标准方程为(x- ∴所求圆的标准方程为 -4)2+y2=5.

圆的一般方程 若已知条件与圆心、半径无直接关系, 若已知条件与圆心 、 半径无直接关系 , 一般用圆的 一般方程,再用待定系数法求出系数 、 、 一般方程,再用待定系数法求出系数D、E、F.
例2 已知 △ ABC的三个顶点为 已知△ 的三个顶点为A(10,13)、 B(2, - 的三个顶点为 、 ,

3)、C(-2,1),若AB、BC、AC的中点分别为 、 Q、 、 - 的中点分别为P、 、 若 、 、 的中点分别为 R,求过P、Q、R三点的圆的方程. ,求过 、 、 三点的圆的方程 三点的圆的方程.

思路点拨】 【思路点拨】

分别求出P、 、 的坐标 的坐标, 分别求出 、Q、R的坐标,设出圆

的一般方程求解. 的一般方程求解. 【解】 因为A(10,13)、B(2,-3)、C(-2,1), 、 因为 , 、 - ,

所以P(6,5)、Q(0,-1)、R(4,7), 、 所以 , 、 , 设所求圆的方程为x 设所求圆的方程为 2+y2+Dx+Ey+F=0, + + = , 把点P、 、 的坐标代入此方程可得 把点 、Q、R的坐标代入此方程可得

?62+52+6D+5E+F=0, + + = , ? ?(-1)2-E+F=0, ) + = , ? 2 4 +72+4D+7E+F=0, + + = , ?

?D=- , =-4, =- ? =-6, =- 解得?E=- , ? =-7, =- ?F=- ,

所以过 P、Q、R 三点的圆的方程为 、 、 x2+y2-4x-6y-7=0. - - =

名师点评】 【 名师点评 】

本题是由圆上的三点确定圆, 本题是由圆上的三点确定圆 , 由于

用一般式求圆的方程运算较复杂, 用一般式求圆的方程运算较复杂 , 故运算时一定要 一丝不苟、确保无误. 一丝不苟、确保无误.

变式训练2 变式训练

已知△ 的三个顶点分别为A(- 已知 △ ABC的三个顶点分别为 - 的三个顶点分别为

1,5), B(- 2, - 2), C(5,5). 求其外接圆的一般 , - , , . 方程式. 方程式.

法一: 解:法一:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F + + =0.
?-D+5E+F+26=0 + + + = ? - + + = 由题意可得?-2D-2E+F+8=0 ? + + + = ?5D+5E+F+50=0 ?D=- =-4 =- ? =-2 =- 解得?E=- ? =-20 =- ?F=-



.

故圆的方程为 x2+y2-4x-2y-20=0. - - =

法二: 法二:由题意可求得弦 AC 的中垂线方程为 x=2, = , BC 的中垂线方程为 x+y-3=0. + - =
?x=2 ?x=2 = = . 由? ,解得? + - = = ?x+y-3=0 ?y=1

的坐标为(2,1), ∴圆心 P 的坐标为 , 圆半径 r=AP= (2+1)2+(1-5)2=5, = = + ) - ) , 2 2 圆的方程为(x- ∴圆的方程为 -2) +(y-1) =25. - 即 x2+y2-4x-2y-20=0. - - =

圆的方程的综合应用 灵活选择圆的两种方程, 灵活选择圆的两种方程 , 同时结合数形结合的思 想能有效找到解题的捷径. 想能有效找到解题的捷径.
例3 已 知 圆 C : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 1 , 点 A( -

1,0),B(1,0), 点 P在圆上运动 , 求 d= PA2 + PB2 的最 , 在圆上运动, 在圆上运动 = 值及相应的点P的坐标. 值及相应的点 的坐标. 的坐标

思路点拨】 【思路点拨】

设出点P的坐标, 设出点 的坐标,将PA2+PB2转化为 的坐标

关于点P坐标的关系式 , 然后利用点P在圆上的性质 关于点 坐标的关系式, 然后利用点 在圆上的性质 坐标的关系式 求解. 求解.
【解】 设点 P(x0,y0),则 ,
2 2 d=(x0+1)2+y2+(x0-1)2+y2=2(x0+y0)+2. = + 0 0

设 ?=x2+y0,则 ? 的几何意义是圆上的点和原点的距 = 0 2 离的平方.作直线 OC,交圆于 P1(x1,y1),P2(x2,y2). 的平方. , , .

的最大值是(OC+1)2=36, ∴? 的最大值是 + , ∴d 的最大值是 74; ; 同理: 的最小值是(OC-1)2=16, 同理:? 的最小值是 - , ∴d 的最小值是 34. 4 又直线 OC 的方程是 y= x, = , 代入圆的方程取得最小 3 18 24 12 16 值的点 P( , ),取最大值的点 P( , ). , . 5 5 5 5

【名师点评】 名师点评】

由于圆既是中心对称图形, 由于圆既是中心对称图形,又是

轴对称图形,因此涉及圆上的点的问题可转化为 轴对称图形, 与圆的圆心及半径有关的问题来处理. 与圆的圆心及半径有关的问题来处理.

方法感悟 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法,充分 .确定圆的方程的主要方法是待定系数法, 利用圆的几何性质, 利用圆的几何性质 , 可以大大简化计算的过程与 难度. 难度. 2.求圆上一点到某点、某线等的距离,一般先求 .求圆上一点到某点、某线等的距离, 出圆心到点或线的距离,再加上 或减去 半径, 或减去)半径 出圆心到点或线的距离,再加上(或减去 半径,便 得所求距离. 得所求距离.


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