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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件 新人教B版必修2


2.2

直线的方程

2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

学习目标 1. 了解直线的方程与方程的直线的概念和关 系. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两 .理解直线的倾斜角和斜率的概念, 点的直线斜率的计算公式. 点的直线斜率的计算公式.

课前自主学案

2.

2.1

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.一次函数的图象是一条直线,直线上点的 .一次函数的图象是一条直线, 坐标都满足方程, 坐标都满足方程,以方程的解为坐标的点都在 直线上. 直线上. 2.常见的直线函数图象有常数函数,正比例 .常见的直线函数图象有常数函数, 函数等. 函数等.

知新益能 1.直线方程的概念 . 一般地, 一般地 , 如果以一个方程的解为坐标的点都是 某条直线上; 反之, 某条直线上 ; 反之 , 这条直线上的点的坐标都 是这个方程的解, 是这个方程的解 , 那么这个方程叫做这条直线 的方程;这条直线叫做这个方程的直线. 的方程;这条直线叫做这个方程的直线. 一条直线 由于方程y= + 的图象是 的图象是__________, 因而 由于方程 = kx+ b的图象是 , 直线y= + 直线 =kx+b 我们今后就常说_______________. 我们今后就常说

2.直线的斜率 . (1) 直 线 y = kx + b 被 其 上 的 任意两个不同 的点所唯一 ________________的点所唯一 确定(右图 . 因此 , 由这条直 确定 右图). 因此, 右图 线上任意两点A(x1 , y1),B(x2 , 线上任意两点 , y2)的坐标可以计算出 的值, 的坐标可以计算出k的值 的坐标可以计算出 的值,

y2-y1 (x1≠x2) k=_______________. = x2-x1 .
由直线上两点的坐标求这条直线的斜率 k 与这 y1-y2 两点在直线上的___________, . 两点在直线上的 顺序无关 , 于是 k= = x1-x2 如果令 ?x=x2-x1,?y=y2-y1,则 ?x 表示自 = = 的改变量, 改变量, 变量 x 的改变量,?y 表示相应的 y 的改变量, ?y = ≠ 于是_______________. 于是 k=?x(?x≠0) .

(2)斜率的定义 斜率的定义 通常, 我们把直线y= + 中的 系数k 中的________叫做 通常 , 我们把直线 = kx+ b中的 系数 叫做 这条直线的斜率.垂直于x轴的直线 不存在斜率 . ____________. 斜率反映直线的_____________. 斜率反映直线的 倾斜程度 . 3.直线的倾斜角 . (1)定义 定义 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 线的倾斜角.我们规定, 线的倾斜角.我们规定,与x轴平行或重合的直 轴平行或重合的直 线的倾斜角为________. 线的倾斜角为 零度角 .

(2)斜率与倾斜角的关系 斜率与倾斜角的关系 由斜率k的定义可知: = 时 直线平行于x轴或与 由斜率 的定义可知:k=0时,直线平行于 轴或与 的定义可知 x轴重合. 轴重合. 轴重合 k> 0时 , 直线的倾斜角为 锐角 ; k值增大 , 直 > 时 直线的倾斜角为________; 值增大 值增大, 线的倾斜角也随着________. 线的倾斜角也随着 增大 . k<0时,直线的倾斜角为 钝角 ;k值增大,直 < 时 直线的倾斜角为_________; 值增大 值增大, 线的倾斜角也随着________. 线的倾斜角也随着 增大 . ° 垂直于x轴的直线的倾斜角等于 90° 垂直于 轴的直线的倾斜角等于________. 轴的直线的倾斜角等于

思考感悟 过两点P 过两点 1(x1,y1),P2(x2, y2)且x1=x2的直线的倾 , 且 斜角和斜率怎样? 斜角和斜率怎样? 提示:此时,倾斜角为 ° 斜率不存在. 提示:此时,倾斜角为90°,斜率不存在.

课堂互动讲练

考点突破 直线方程的概念 两点确定一条直线, 两点确定一条直线,直线上的点和方程的解是 一一对应关系. 一一对应关系.

+ + = 例1 已知方程 2x+3y+6=0. (1)求方程所对应直线的斜率; 求方程所对应直线的斜率; 求方程所对应直线的斜率 (2)画出这个方程所对应的直线 l; 画出这个方程所对应的直线 ; 3 (3)点( ,1)是否在直线 l 上? 点 是否在直线 2 (4)方程 2x+3y+6=0(x∈Z)是不是直线 l 的方程? 方程 + + = ∈ 是不是直线 的方程? 是不是该方程的直线? 直线 l 是不是该方程的直线?
【分析】 分析】 程. 举反例即可说明方程不是直线l的方 举反例即可说明方程不是直线 的方

【解】 -2, ,

2 (1)由方程 2x+3y+6=0,得 y=- x 由方程 + + = , =- 3

2 ∴方程所对应直线的斜率 k=- . =- 3 (2)在方程中令 x=0 或 y=0, 在方程中令 = = , ,-2), - 得 A(0,- ,B(-3,0), ,- , 如图所示, 的图象. 如图所示,直线 AB 即为所求直线 l 的图象.

3 (3)∵当 x= ,y=1 时, ∵ = = 2 3 方程的左边= × 方程的左边=2× +3×1+6=12,右边=0, × + = ,右边= , 2 左边≠右边. ∴左边≠右边. 3 ∴点( ,1)不在直线 l 上. 不在直线 2 (4)虽然以方程 2x+3y+6=0(x∈Z)的解为坐标 虽然以方程 + + = ∈ 的解为坐标 的点都在 l 上, 上点的坐标不都是该方程的解, 但是 l 上点的坐标不都是该方程的解,

3 比如点 C(- ,- ∈l, - ,-1)∈ , 2 ? 3 ?x=- =- 2 不是该方程的解, 不是该方程的解, 但? ? =-1 =- ?y=- 所以方程 2x+3y+6=0(x∈Z)不是直线 l 的方 + + = ∈ 不是直线 程, 的直线. 直线 l 也不是方程 2x+3y+6=0(x∈Z)的直线. + + = ∈ 的直线

点评】 【 点评 】

画二元一次方程所表示的图象同画

一次函数图象一样, 一次函数图象一样 , 取的两点一般是坐标轴上 的点. 的点.

1 如图所示, 跟踪训练 1 如图所示,方程 y-ax-a=0 的直线 - - 可能是( ) 可能是

答案: 答案:B

求直线的斜率

根据斜率定义或者斜率公式求斜率. 根据斜率定义或者斜率公式求斜率.

例2

已知直线l经过两点 已知直线 经过两点A(2, - 1), B(t,4), 求 经过两点 , , ,

直线l的斜率. 直线 的斜率. 的斜率 【分析】 分析】 的坐标中含参数t, 点B的坐标中含参数 ,注意分类讨论. 的坐标中含参数 注意分类讨论.

【解】 轴垂直, 轴垂直,

(1)当 t=2 时,x1=x2=2,直线 l 与 x 当 = ,

的斜率不存在. ∴直线 l 的斜率不存在.

4-(-1) - ) 5 (2)当 t≠2 时,直线 l 的斜率 k= . 当 ≠ = = t-2 t-2 - - ∴综上所述,当 t=2 时,斜率不存在;当 t≠2 综上所述, 斜率不存在; = ≠ 5 . 时,k= = t-2 -
点评】 【 点评 】 应用斜率公式表示直线斜率时, 应用斜率公式表示直线斜率时 , 一

定注意x 定注意 1≠x2的条件,遇到参数时要根据参数的 的条件, 取值进行讨论. 取值进行讨论.

跟踪训练2 求过下列两点的直线 的斜率 求过下列两点的直线l的斜率 的斜率k. 跟踪训练 (1)A(a,b)、B(ma,mb)(m≠1,a≠0); , 、 , ≠ , ≠ ; (2)P(2,1)、Q(m,2). 、 .
解:(1)∵m≠1,a≠0, ∵ ≠ , ≠ , b-mb b - ∴k= = =a. a- a-ma (2)当 m=2 时,斜率 k 不存在; 不存在; 当 = 当 m≠2 时, ≠ 1-2 - 1 k= . = = 2-m m-2 - -

斜率公式的应用

y 2- y 1 的形式, 构造斜率公式 k= = 的形式, 利用数形结 x 2- x 1 合解题. 合解题.

已知实数 x, y 满足 2x+ y= 8, 当 , + = , y 的最大值和最小值. 2≤x≤3 时,求: 的最大值和最小值. ≤ ≤ x

例3

- y y-0 分析】 它表示动点(x, 与 【分析】 因为x= 它表示动点 ,y)与 x-0 - 定点(0,0)连线的斜率,而(x,y)满足 2x+y= 连线的斜率, 定点 连线的斜率 , 满足 + = 8(2≤x≤3)是直线段上的一个动点, 于是本 是直线段上的一个动点, ≤ ≤ 是直线段上的一个动点 题转化为求斜率最值问题. 题转化为求斜率最值问题.

如图所示, 【解】 如图所示,由于点 P(x,y)满足方程 , 满足方程 2x+y=8(2≤x≤3),故点 P 为线段 AB 上的 + = ≤ ≤ , 2 动点, 动点,由于 A(2,4),B(3,2),kOA=2,kOB= , , , , 3 y y 而 k=x=kOP,由作图可知x的最大值为 kOA = 2 =2,最小值为 kOB= . , 3

y 点评】 的斜率, 【点评】 将代数式x转化为直线 OP 的斜率, 利用数形结合解决此类问题, 利用数形结合解决此类问题,是解析几何中 经常运用的方法,在解题时,应注意代数式 经常运用的方法,在解题时, 的几何意义. 的几何意义.

跟踪训练3 已知直线 :y=ax+2和两点 已知直线l: = + 和两点 和两点A(1,4), 跟踪训练 , B(3,1),当直线 与线段 相交时,求实数 的取 与线段AB相交时 ,当直线l与线段 相交时,求实数a的取 值范围. 值范围. 如图所示, 解:如图所示,直线 l 过定点 C(0,2), , 1-2 4-2 - - 1 kCB= =- ,kCA= =2,kl=a. , 3 3-0 1-0 - - 相交时, 当直线 l 与线段 AB 相交时,kCB≤kl≤kCA, 1 ∴- ≤a≤2. ≤ 3

方法感悟 1.给出直线上一点坐标以及直线的斜率k,设 .给出直线上一点坐标以及直线的斜率 , 出直线方程y=kx+b,再由待定系数法确定b的 出直线方程 = + ,再由待定系数法确定 的 值即可得直线方程.当直线斜率不存在时, 值即可得直线方程.当直线斜率不存在时,直 线方程为x= 线方程为 =a. 2.给出直线方程为 +By+C=0(A、B、C为 .给出直线方程为Ax+ + = 、 、 为 系数)时 轴的交点; = 系数 时,令x=0,得直线与 轴的交点;令y= = ,得直线与y轴的交点 0,得直线与x轴的交点.连接直线与坐标轴的 ,得直线与 轴的交点. 轴的交点 两个交点可得直线,即两点法画直线(这两点可 两个交点可得直线,即两点法画直线 这两点可 以不是直线与坐标轴交点). 以不是直线与坐标轴交点 .

3.将直线方程 Ax+By+C=0(B≠0)化为 y= . + + = ≠ 化为 = A C A -Bx-B,则直线斜率为 k=-B. - =- y 2- y 1 4.直线斜率公式 k= . = 的条件为 x1≠x2, x 2- x 1 应用此公式时常常用到方程思想. 应用此公式时常常用到方程思想. 5. . 倾斜角和斜率都反映直线相对于 x 轴正方向 的倾斜程度.倾斜角直接反映倾斜程度. 的倾斜程度.倾斜角直接反映倾斜程度.倾斜 角与斜率的关系如下: 角与斜率的关系如下:

若直线斜率k>0,则倾斜角为锐角;若k<0,倾斜 ,则倾斜角为锐角; 若直线斜率 , 角为钝角; 不存在, 角为钝角;若k不存在,倾斜角为 °; 若k=0, 不存在 倾斜角为90° = , 倾斜角为0° 倾斜角为 °. 当直线斜率k>0时,直线斜率越大,倾斜角越大; 当直线斜率 时 直线斜率越大,倾斜角越大; 当直线斜率k<0时,直线斜率越大,倾斜角越大. 当直线斜率 时 直线斜率越大,倾斜角越大. 任一直线均有倾斜角α, ∈ ° 任一直线均有倾斜角 ,α∈[0°,180°),但并 °, 不是所有直线都有斜率. 不是所有直线都有斜率. 6.与光的反射有关的题目中,入射角一定等于反 .与光的反射有关的题目中, 射角,只有当反射面水平(与 轴平行或重合 轴平行或重合)时 射角,只有当反射面水平 与x轴平行或重合 时, =-k 其它情况下,不一定有此结论. 有k入=- 反.其它情况下,不一定有此结论.

7.已知三点A,B,C,若kAB=kAC,则AB的 .已知三点 , , , 的 倾斜角与AC的倾斜角相同, , 两条直线 倾斜角与 的倾斜角相同,AB,AC两条直线 的倾斜角相同 重合,说明这三点共线. 重合,说明这三点共线. 8.掌握斜率的求法及斜率公式,并把斜率的 .掌握斜率的求法及斜率公式, 计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、 计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、 最小值中去,形成数形结合的方法. 最小值中去,形成数形结合的方法.


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