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2012高考数学易错题精选(三)不等式、直线与圆易错题


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2012 高考数学易错题精选(三) 不等式、直线与圆易错题
1.设 a、b 为任意为实数,记 | a ? b |,| a ? b |,| b ? 1| 三者中的最大值为 M,则( A. M ?
1 2



B. M ? 1

/>
C. M ?

1 2

D. M ? 1
b 的取值范围 a

2.已知方程 x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? b ? 0 的两根为 x1 、 x2 ,并且 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,则 是( )
1 B. (?2, ? ) 2

1 A. (?2, ? ] 2

C. (?2, ? )

2 3

D. (?2, ? ]

2 3

3.给出平面区域如图所示,若使目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 取得最 大值的最优解有无穷多个,则 a 的值为( A.
1 4



B. D.

5 3 3 5

C.4

4.过点 A(11, 2) 作圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有( A.16 条 B.17 条 C.32 条 D.34 条



5.过圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 的圆心,作直线分别交 x 、 y 正半轴于点 A、B,△AOB 被圆分成四部分(如图) .若这四部分图形面积满足 SⅠ+ SⅣ=SⅡ+SⅢ,则这样的直线 AB 有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.3 条
?x ? y ? 0 ? 6.在平面直角坐标系中,不等式 ? x ? y ? 4 ? 0 (a 为常数) ,表示的平面 ?x ? a ?

区域的面积是 9,那么实数 a 的值是( A. 2 ? 3 2 B. ?3 2 ? 2

) C. ?5 D.1

? x ? y ? 0, ?2 x ? y ? 2, ? 7.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ? y ? 0, ? ? x ? y ? a.



A. a ?

4 3 4 3

B. 0 ? a ? 1 D. 0 ? a ? 1或a ?
4 3

C. ? ? a ?

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8.已知实数 a, b 满足 ( )a ? ( )b ,下列 5 个关系式:① 0 ? b ? a ;② a ? b ? 0 ;③ 0 ? a ? b ; ④ b ? a ? 0 ;⑤ a ? b .其中不可能成立的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个

1 2

1 3

D.4 个

9.已知关于 t 的方程 t 2 ? tx ? y ? 0 有两个绝对值都不大于 1 的实数根,则点 P( x, y) 所对应的 区域图形大致是( )

10.已知两点 P(?1,1), Q(2, 2) ,若直线 l : x ? my ? m ? 0 与线段 PQ 没有公共点,则 m 的取值范 围是 . 11.满足 | x | ? | y |? 4 的整点(横、纵坐标为整数的点)的个数是
?x ? y ? s ? ? x, y ? 0 ?



12 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ?2 x ? y ? 4 , 当 3 ? s ? 5 时 , 则 z ? 3 x? 2 y 的 最 大 值 的 变 化 范 围

是 13.不等式


t t?2 ? a ? 2 在 t ? (0, 2] 上恒成立,则 a 的取值范围是 t2 ? 9 t



14.对于满足 0 ? p ? 4 的所有实数 p ,使不等式 x 2 ? px ? 4 x ? p ? 3 恒成立的 x 的取值范围 为 .

15.当 x ? R 时,不等式 m ? cos2 x ? 3 ? 2 sin x ? 2m ? 1 恒成立,则实数 m 的取值范围为 . 16. (1)求使 log2 (? x) ? x ? 1 成立的 x 的取值范围为 ;
1 (2)不等式 x2 ? log a x ? 0 在 (0, ) 上恒成立,则 a 的取值范围为 . 2 17.若三条直线 (m ? 4) x ? 2 y ? 3 ? 0,3x ? 2 y ? 1 ? 0 及 mx ? y ? 6 ? 0 能围成三角形,求实数 m 的

取值范围.

18.设 a、b、c ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, g ( x) ? ax ? b ,当 ?1 ? x ? 1 时, | f ( x) |? 1 . (1)求证: | c |? 1 ; (2)求证:当 ?1 ? x ? 1 时, | g ( x) |? 2 .

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19.已知 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, b ? R), x ?[?1,1] . (1)若 | f ( x) | 的最大值为 M,求证: M ? (2)当 M ?
1 时,求 f ( x) 的表达式. 2 1 ; 2

20. 过圆 x 2 ? y 2 ? 25 上一点 A(?3, 4) 作两直线 l1 , l2 , 分别与圆相交于另一点 P、 Q, 若直线 l1 , l2 的倾斜角互补,试推断直线 PQ 的斜率是否为定值.

21.方程 x2 ? ax ? a ? 0 在(0,1]上有解,求 a 的取值范围.

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22.若不等式 x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 对于满足 ?2 ? x ? 2 的一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范 围.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 23.已知 x, y 满足约束条件 ? ,且 z ? ax ? y 的最大值为 7,求 a 的值. ? x ? 4 y ? 16 ? 0 ? ?3x ? y ? 15 ? 0

? ? 24.设 m 为实数,若 ?( x, y ) ? ?

? x ? 2 y ? 5 ? 0? ? ? 2 2 ?3 ? x ? 0 ? ? ?( x, y ) | x ? y ? 25? , 求m的取值范围 . ?mx ? y ? 0 ? ? ?

25. 设满足 y ?| x ? a | 的点 ( x, y) 的集合为 A, 满足 y ? ? | x | ?b 的点 ( x, y) 的集合为 B, 其中 a, b 是正数,且 A ? B ? ? . (1)问 a, b 之间有什么关系? (2)求 A ? B 表示的图形面积.

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1 26.已知集合 A ? {( x, y) | y ? | x ? 2 |} , B ? {( x, y) | y ? ? | x | ?b} ,且 A ? B ? ? . 2 (1)求 b 的取值范围; (2)若 ( x, y) ? A ? B ,且 x ? 2 y 的最大值为 8,求 b 的值.

27 .已知 a ? R ,二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a ,设不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A ,又知集合
B ? {x |1 ? x ? 3} ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围.

28.设 f (x) ? x 2 ?bx ?c ( b ,c 都为常数 ) ,方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 、 x2 ,且满足 x1 ? 0 ,
x2 ? x1 ? 1 .

(1)求证: b2 ? 2(b ? 2c) ; (2)设 0 ? t ? x1 ,试比较 f (t ) 与 f ( x)1 的大小.

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29. 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 方程 f ( x) ? x ? 0 的两个根 x1 、 x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 当 x ? (0, x1 ) 时,证明: x ? f ( x) ? x1 .

1 , a

30.已知直线 l : y ? kx 和抛物线 C : ( y ? 1)2 ? 3( x ? 1) .当 k 变化 (k ? 0) 且直线 l 与抛物线 C 有 公共点时,点 P(a,0) 关于直线 l 的对称点 Q( x0 , y0 ) .请写出 x0 关于 k 的函数关系式 x0 ? f (k ) ,并求出点 Q 直线 x ? 1 上时 a 的取值范围.

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不等式、直线与圆易错题参考答案
1.解析:由题设, M ?| a ? b | , M ?| a ? b | , M ?| b ? 1| , 于是 4M ?| a ? b | ? | a ? b | ?2 | b ? 1| ?| (a ? b) ? (a ? b) ? 2(b ? 1) |? 2 ,所以 M ? 2.解析:令 f ( x) ? x2 ? (2 ? a) x ? 1 ? a ? b ,因为 0 ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 ?
? f (0) ? 0 ?a ? b ? 1 ? 0 ,即 ? ,此不等式组表示的平面区域, ? f (1) ? 0 ? 2a ? b ? 4 ? 0

1 ,故选 A. 2

如图所示. 又
b b?0 的几何意义是原点和点 (a, b) 所在直线的斜率, 由图可 ? a a?0 b 2 ? ? ,故选 C. a 3

知: ?2 ?

3 . 解 析 : 依 据 题 意 , 直 线 ax ? y ? z 与 直 线 AC 平 行 , 所 以
? a ? k AC 22 3 5 ? ? 3 ,即 ? a ? ,故选 D. 5 ?1 5 5 2?

4 . 解 析 : 因 为 圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 164 ? 0 的 标 准 方 程 为 :
( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 132 ,即此圆是一个以点 O(?1, 2) 为圆心,以 R=13 为半径的圆.

因为 | OA |? 11 ? (?1) ? 12 ,而 R=13, 所以经过 A 点且垂直于 OA 的弦是经过 A 点的最短的弦,其长度为 2 132 ? 122 ? 10 ; 而经过 OA 的弦则是经过 A 点的最长的弦,其长度为圆的直径,即 2R=26; 所以经过 A 点且为整数的弦长还可取 11,12,13,14,15,…,25 共 15 个值,又由于圆内弦的 对称性,经过某一点的弦的长若介于最大值与最小值之间,则一定有 2 条,而经过某一 点的圆的最长弦与最短弦各有 1 条,故一共有 15×2+2=32 条,故选 C. 5.解析:由已知得 SⅣ- SⅡ= SⅢ-SⅠ,第Ⅱ,Ⅳ部分的面积是定值,所以 SⅣ- SⅡ为定值, 即 SⅢ-SⅠ为定值.当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意,即直线 AB 只 有一条,故选 B. 6.解析:作出可行域,可知当 a ? ?2 时,可行域就是 ?
?x ? y ? 0 构成的 ?x ? y ? 4 ? 0

区域,其面积是一个无穷大的值,不可能是 9,故 a ? ?2 (以下同上述错 解) .答案 D. 7.解析:先把前三个不等式表示平面区域画出来,如图所示. 此时可行域为△AOB 及其内部,交点 B 为 ( , ) ,故当 x ? y ? a 过 B 时
a? 4 , 3 2 2 3 3

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所以 a ?

4 时可行域仍为△AOB,当 x ? y ? a 过 A 点时, a ? 1? 0 ? 1 . 3 4 3

故当 0 ? a ? 1 时,此时可行域也为三角形,故 0 ? a ? 1或a ? .答案:D.
1 1 8.解析:作 y ? ( ) x , y ? ( ) x 的图象,如图所示. 2 3

当 x ? 0 时, ( )a ? ( )b ,则有 a ? b ? 0 ; 当 x ? 0 时, ( )a ? ( )b ,则有 0 ? b ? a ; 当 x ? 0 时,( )a ? ( )b ,则有 a ? b ? 0 .答案:B.
?? ? x 2 ? 4 y ? 0, ? x ? ??1 ? ? ? 1, 9.解析:依题意,方程有两个在区间[-1,1]上的实根,因而有 ? 作出可行 2 ? f (?1) ? 1 ? x ? y ? 0, ? ? ? f (1) ? 1 ? x ? y ? 0.

1 2 1 2

1 3 1 3

1 2

1 3

域,易得答案为 A. 10.解析:由线性规划知识得,点 P、Q 在直线的同侧,故 (?1 ? m ? m)(2 ? 2m ? m) ? 0 , 即 (2m ? 1)(3m ? 2) ? 0 ,解得 m ?
1 2 或m?? . 2 3

11.解析:坐标轴上有 9 ? 2 ?1 ? 17 个整点,第一象限有 6 个整数,根据对称性四个象限有 6 ? 4 ? 24 个整点,故满足条件下整点有 17+24=41 个,故填 41. 12.解析:当 4 ? s ? 5 时,约束条件表示的区域为 y ? 2 x ? 4 与 x 轴, y 轴在第一象限围成的 三角形区域. 所以直线 z ? 3x ? 2 y 过点(0,4)时, z 的最大值取值为最大, z ? 8 ; 当 3 ? s ? 4 时,直线 z ? 3x ? 2 y 过 y ? x ? s 与 y ? 2 x ? 4 的交点时最大,此时 z ? 4 ? s ,显 然 s ? 3 , z 的最大值的取值为最小. 由?
?y ? x ? 3 ?x ? 1 ,得 ? ,所以 z ? 7 .所以 7 ? z ? 8 ,即 z 的最大值变化范围是[7,8] . ?y ? 2 ? y ? 2x ? 4

13.解析:设 f (t ) ?
a 要小于等于

t?2 1 2 1 1 1 ? ? 2 ? 2( ? )2 ? ,它在(0,2]上为减函数, t t t 4 8 t2

t?2 ,即 a 要小于或等于 f (t ) 在(0,2]上的最小值 f (2) ? 1 . t2

设 g (t ) ?

t t ,它在(0,2]上为增函数, a 要大于或等于 2 ,即 a 要大于或等于 g (t ) t ?9 t ?9
2

在 (0, 2]上的最大值. 而 [ g (t )]max ? g (2) ?

2 2 2 2 所以 ? a ? 1 , 故应填入的答案是 [ ,1] . ? , 4 ? 9 13 13 13

14.解析:已知不等式可化为 x2 ? ( x ? 1) p ? 4 x ? 3 ? 0 . 设 f ( p) ? ( x ? 1) p ? x 2 ? 4 x ? 3 ,则 ?
2 ? f (0) ? 0 ? ? x ? 4 x ? 3 ? 0, ?? 2 ? x ? 3 或 x ? ?1 . ? f (4) ? 0 ? ?x ?1 ? 0

15. 解析:m ? cos2 x ? 3 ? 2 sin x ? 2m ? 1 恒成立 ? m ? 2m ? 1 ? 3 ? 2 sin x ? cos2 x 的解集为 R,
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求 m 的范围,即 m ? 2m ? 1 小于 (3 ? 2 sin x ? cos2 x) 的最小值. 令 f ( x) ? 3 ? 2 sin x ? cos2 x ? (sin x ? 1)2 ? 1, x ? R . 当 sin x ? ?1 时, f ( x) 的最小值为 1.
?m ? 1 ? 0 ?m ? 1 ? 0, 或? . m ? 2m ? 1 ? 1 ? 2 m ? 1 ? m ? 1 ? ? 2 ?2m ? 1 ? 0; ?2m ? 1 ? (m ? 1)

??

1 ? 1 ? ? m ? 1 或 1 ? m ? 4 ? m ? ?? , 4 ? . 2 ? 2 ?

16.解析:(1) 由图可知, x 的取值范围是 (?1, 0) .

1 (2) 原不等式等价于 x2 ? log a x . 当 a ? 1 时, 显然在 (0, ) 2
log a x ? 0 ,而 x 2 ? 0 ,故不符合条件.于是 0 ? ? ? ? .



画出 y ? x 2 和 y ? log a x(0 ? a ? ?) 的图象,如图所示.
1 由图可知,在 (0, ) 范围内,要使函数 y ? log a x(0 ? a ? 1) 的图象在函数 2

1 ,1) . 16 17.解:三条直线能围成三角形必须这三条直线两两相交,且不共点.
y ? x 2 的上方, a 的取值范围是 [

?m ? 1 m ? 4? ) ?3? ( ? 2 ) ?0 ?2 ( 3 ? ? ? 1? ) m2? 0 ? ?m ? ? . ?3 ? ( 2 ? ?( m ? 4 ? ) ?( ? 2 m)? 0? ? m ? ? 4 ? ?
4 ? x?? ?(m ? 4) x ? 2 y ? 3 ? 0 ? m ?1 ? ?? 由? . 3 x ? 2 y ? 1 ? 0 ? ? y ? ? m ? 13 ? 2( m ? 1) ?

由 m?(?

4 m ? 13 )?( )?6 ? 0? m ? 5, m ?1 2(m ? 1)

即 m ? 5 时三线共点,
3 所以 m ? ?4, m ? ? , m ? 1 且 m ? 5 时,三条直线能围成三角形. 2 18.证明: (1)因为当 ?1 ? x ? 1 时, | f ( x) |? 1 ,所以 | f (0) |? 1 ,即 | c |? 1 . (2)由于 ?1 ? x ? 1 时, | f ( x) |? 1 ,所以 | f (1) |?| a ? b ? c |? 1 , | f (?1) |?| a ? b ? c |? 1 . 所以 | a ? b |?| a ? b ? c ? c |?| a ? b ? c | ? | c |? 1 ? 1 ? 2 . | a ? b |?| a ? b ? c ? c |?| a ? b ? c | ? | c |? 1 ? 1 ? 2 , 即 | g (1) |? 2 , | g (?1) |? 2 .而 g ( x) ? ax ? b 在[-1,1]上单调,所以 ?1 ? x ? 1 时, | g ( x) |? 2 . 19. (1)证明:因为 M ?| f (0) |, M ?| f (1) | , M ?| f (?1) | ,

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所以 4M ? 2 | f (0) | ? | f (1) | ? | f (?1) |?| 2 f (0) ? f (1) ? f (?1) |? 2 ,所以 M ? (2)因为 M ?| f (0) |, M ?| f (1) |, M ?| f (?1) | ,又 M ?
1 , 2

1 . 2

1 ? 1 ?? 2 ? b ? 2 1 ? 1 ? ? ?b? ? 1 1 ? 2 ? 1 2 所以 ?? ? 1 ? a ? b ? ,即 ? ,故 b ? ? . 3 1 2 2 2 ?? ? b ? ? ? ? 1 ? 1 ? 2 2 ?? 2 ? 1 ? a ? b ? 2 ?

1 代入得 ?1 ? a ? 0 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 a ? 0 ,故 f ( x) ? x 2 ? . 2 20.解:过点 A 作 x 轴的垂线交圆 O 于 B 点,设直线 l1 , l2 分别与 x 轴相交

于 M、N 点, 依据题意△AMN 为等腰三角形,所以 AB 为∠PAQ 的平分线.
? 的中点. 所以 B 为 PQ 连结 OB, 则 OB⊥PQ. 由对称性知, 点 B(?3, ?4) ,

所以 kOB ?

1 3 4 ,所以 kPQ ? ? ? ? ,为定值. kOB 4 3

21.解:方法 1:设 f ( x) ? x 2 ? ax ? a , (1)若 f ( x) ? 0 在(0,1]上有两解,如图,
?? ? 0 ? f (0) ? 0 ? ? 则有 ? f (1) ? 0 ,所以此不等式无解. ? ?0 ? ? a ? 1 ? ? 2

(2)若 f ( x) ? 0 在(0,1]上有且仅有一解, 则有 ?
? f (0)?f (1) ? 0 ?a(2a ? 1) ? 0 1 ,即 ? ,解得 ? ? a ? 0 . f (0) ? 0 a ? 0 2 ? ?

1 综上所述得 a 的取值范围为 [? ,0) . 2 方法 2:因为 x ? (0,1] ,所以 x ? ?1 ,

原方程可变为 a ? ?

x2 1 1 . ?? ?? 1 1 1 1 2 1 x ?1 ? ( ? ) ? x 2 4 x2 x
1 ?1 x 1 4

因为 0 ? x ? 1 ,所以
1 x 1 2 1 4

故 ( ? )2 ? ? (1 ? )2 ? ? 2 , 即0 ?
? 1 1 ? ,所以 a ? [? ,0) . ? ? ? 1 2 2 ? ? ? ? x ? 4

1 2

22. 解: 设 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a , 其函数图象为开口向上的抛物线, 要使得对于满足 ?2 ? x ? 2
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的一切实数 x 恒有 f ( x) ? 0 ,只需满足: (1) ? ? a2 ? 4(3 ? a) ? 0 ,∴ ?6 ? a ? 2 .
? ?? ? 0, ? a 2 ? 4(3 ? a ) ? 0, ? a ? ? (2) ?? ? ?2, 即 ?a ? 4, ∴ a ?? . ? ? 2 7 ? a? . ? f (?2) ? 0, ? 3 ?

?? ? 0, ?a 2 ? 4(3 ? a) ? 0, ? a ? 2或a ? ?6, ? a ? ? ? (3) ?? ? 2, 即 ?a ? ?4, ∴ ?a ? ?4, ∴ ?7 ? a ? ?6 . 2 ?a ? ?7, ? a ? ?7, ? ? ? ? ? f (2) ? ??

综合①、②、③得,当 ?7 ? a ? 2 时,不等式 x2 ? ax ? 3 ? a ? 0 对一切 x ?[?2, 2] 均成立. 23.解:画出可行域,如图.
1 1 直线 l : ax ? y ? 0 的斜率为 ?a .若 ?3 ? ?a ? ? ,即 ? a ? 3 , 4 4 则直线 ax ? y ? z 过点 B(4,3)时, zmax ? 4a ? 3 ? 7 ,得 a ? 1 ; 若 ?a ? ?3 , 即 a ? 3, 则直线 ax ? y ? z 过点 C (5, 0) 时, zmax ? 5a ? 7 ,

得a ?

7 (不符) ; 5

1 1 若 ?a ? ? , 即a ? , 则直线 ax ? y ? z 过点 A(0, 4) 时,zmax ? 4(不 4 4 符) .故 a ? 1 .

24.解:画出可行域及圆,如图. 直线 l : mx ? y ? 0 恒过原点, 所以当直线 l 与线段 AB 有交点时, 可行域在圆内,满足题意,则 kOA ? ?m ? 0 ,解得 0 ? m ?
4 . 3

25 .解: ( 1 )作函数 y ?| x ? a | 及 y ? ? | x | ?b 的图象,画出 y ?| x ? a | 及 y ? ? | x | ?b 表示的区域,如图.可知, A ? B ? ? ,则 b ? a .

(2) 当 b ? a 时,A ? B 表示一矩形区域, 各边所在直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,x ? y ? b ? 0 , x ? y ? a ? 0 , x ? y ? b ? 0 ,矩形两边长分别是两平行线间的距离. 即 d1 ?
| a?b| 2 , d2 ? | a ?b | 2

,所以 S矩形 ? d1 ?d 2 ?

| a 2 ? b2 | b2 ? a 2 . ? 2 2

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1 当 b ? a 时,面积 S ? 0 .综上,所求面积 S ? (b2 ? a 2 ) . 2

26.解: (1)分别画出不等式 y ?

1 | x ? 2 | 和 y ? ? | x | ?b 所表示的平面区域,如图. 2

因为 A ? B ? ? ,由图可知, b ? 1 ,所以 b 的取值范围是 [1, ??) . (2)平移直线 x ? 2 y ? 0 ,当这条直线经过点 (0, b) 时, x ? 2 y 取得最大值. 所以 0 ? 2b ? 8 ,所以 b ? 4 . 27. 解: 由 f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a 为二次函数, 所以 a ? 0 . 令 f (x 因为 ? ? 22 ? 4a(?2a) ? 0 , ) ? 0 , 所以方程有两个不等实数根.设为 x1 ? x2 ,则 x1 ?
1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 0, x2 ? ? 2 ? 2 ? 0 . a a a a ①若 a ? 0 ,则 A ? {x | x ? x1或x ? x2 } .由 A ? B ? ? 的充要条件得 x2 ? 3 , 1 6 ? 3 ,解这一无理不等式得 a ? . 2 a 7 ②若 a ? 0 ,则 A ? {x | x1 ? x ? x2 } .由 A ? B ? ? 的充要条件得 x2 ? ? ,

即 ? 2?

1 a

即 ? 2?

1 a

1 ? ? ,解这一无理不等式得 a ? ?2 . a2

综合知所求 a 的取值范围是 (??, ?2) ? ( , ??) . 28.解: (1)由 f ( x) ? x ,得 x2 ? (b ? 1) x ? c ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 1 ? b , x1 x2 ? c , 所以 ( x2 ? x1 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? (1 ? b2 ) ? 4c ? 1 ,即 b2 ? 2b ? 1 ? 4c ? 1 , 所以 b2 ? 2b ? 4c ? 2(b ? 2c) ,证毕. (2)由 0 ? t ? x1 ,知 t ? x1 ? 0 .又 x2 ? x1 ? 1 ,且 x1 ? x2 ? 1 ? b , 所以 1 ? x1 ? x2 ,1 ? x1 ? x2 ? 0,1 ? t ? x2 ? 1 ? x1 ? x2 ? 0 , 所以 f (t ) ? f ( x1 ) ? t 2 ? bt ? c ? ( x12 ? bx1 ? c)
? (t ? x1 )(t ? x1 ) ? b(t ? x1 ) ? (t ? x1 )(t ? x1 ? b) ? (t ? x1 )(t ? 1 ? x2 ) ? 0 ,

6 7

所以 f (t ) ? f ( x1 ) . 29.证明:令 F ( x) ? f ( x) ? x ? ax 2 ? (b ? 1) x ? c , 依题意有 F ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) , 当 x ? (0, x1 ) 时, 因为 x1 ? x2 ,所以 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 . 又 a ? 0 ,所以 F ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 . 即 f ( x) ? x .又 x1 ? f ( x) ? x1 ? [ F ( x) ? x] ? x1 ? x ? a( x ? x1 )( x ? x2 )
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? ( x1 ? x)[1 ? a( x ? x2 )] ,因为 0 ? x ? x1 ? x2 ?

1 ,所以 x1 ? x ? 0 , ax2 ? 1 , a

即 1 ? a( x ? x2 ) ? 1 ? ax ? ax2 ? 1 ? ax2 ? 0 , 所以 x1 ? f ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? x1 .综上, x ? f ( x) ? x1 . 30.解:由 ?
? y ? kx ?( y ? 1) ? 3( x ? 1)
2

,知 k 2 x2 ? (2k ? 3) x ? 4 ? 0 .

3 1 因为 l 与 C 有公共点,且 k ? 0 ,所以 ? ? 0 ,于是可得 ? ? k ? 且 k ? 0 . 2 2 因为点 Q ( x0 , y0 ), P(a,0) 关于 y ? kx 对称,
x ?a ? y0 ? k? 0 ? a(1 ? k 2 ) 3 1 2 2 ? 所以 ? ,所以 x0 ? .而 ? ? k ? , k ? 0 , 2 1? k 2 2 ? y0 ? ? 1 ? x ? a k ? 0

所以 x0 ?

a(1 ? k 2 ) 3 1 (? ? k ? , k ? 0) . 2 2 2 1? k

当点 Q 在直线 x ? 1 上时, 所以 0 ?

9 a(1 ? k 2 ) a ?1 ,而 0 ? k 2 ? , ? 1 ,则 k 2 ? 2 1? k a ?1 4

a ?1 9 13 13 ? ,解得 a ? ? 或 a ? 1 .故实数 a 的取值范围是 (??, ? ] ? (1, ??) . a ?1 4 5 5

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