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高一数学必修四第1章导学案


河西成功学校高一年级

数学导学案
2013—2014 学年 寒假提高班

模块:





4

章节: 第一章 班级: 姓名:

三角函数

目录
第一章 三角函数
§1.1.1 §

1.1.2 §1.2.1 §1.2.2 §1.2.3 §1.3.1 §1.3.2 §1.3.3 §1.3.4

任意角 弧度制 任意角的三角函数 同角三角函数关系 三角函数的诱导公式 三角函数的周期性 三角函数的图像与性质 三角函数的应用

1 课时 1 课时 2 课时 1 课时 2 课时 1 课时 3 课时 2 课时

函数 y=Asin(ω x+ ? ) 的图像 2 课时

§1.1.1 任意角(导学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标
1、理解任意角的概念,学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角。 2、能在 0 到360 的范围内,找出一个与已知角终边相同的角,并判定为第几象限角。 3、能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
0 0







高考要求:B 级 课前准备 (预习教材 P5 ~ P7,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、角可以看成平面内一条 图形 。 2、按逆时针方向旋转形成的角叫做 做 和 和 3、我们常在 ,按顺时针方向旋转形成的角叫 ,它的 、 、 绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的

。 如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成了一个 重合。这样,我们就把角的概念推广到了 。 内讨论角。为了讨论问题的方便,使角的 与 ,包括

重合,角的 与 重合。那么,角的 落在第几 象限,我们就说这个角是 。如果角的终边落在坐标轴上,就认 为这个角 。 4、所有与角α 终边相同的角,连同角α 在内,可构成一个 。

二、小试身手、轻松过关
1、下列角中终边与 330°相同的角是( ) A.30° B.-30° C.630° D.-630° 2、-1120°角所在象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3、在 0 与 360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1) ? 58 o (2) 398 o 3、若角 ? 与 ? 的终边在一条直线上,则 ? 与 ? 的关系是 _____________ .

?

?

1

§1.1.1 任意角(作业)
完成时间:
? ?







一、 【基础训练、锋芒初显】 1、在 0 与 360 范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角? (1) ? 265 o (2) 560 o 24'

? ? 2、 若 ? ? k ? 360 ? 1575 , k ? Z ,试判断角 ? 所在象限。

3、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角:
(1) ? 210 ;
?

(2) ? 1484 37? .
?

4、 10、 已知 A={第一象限角}, B={锐角}, C={小于 90°的角}, 那么 A、 B、 C 关系是 (
A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C



二、 【举一反三、能力拓展】
? ? 1.试写出终边在直线 y ? ? 3x 上所有角的集合,并指出上述集合中介于 ?180 与 180 之

间的角。

2、已知角 ? 是第二象限角,求: (1)角

? 是第几象限的角; (2)角 2? 终边的位置。 2

2

§1.1.2 弧度制(导学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标
1、使学生理解弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算,熟记特殊角的弧度数, 2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式,会利用弧度制解决某些简单的实际问题







高考要求:B 级 课前准备 (预习教材 P7 ~ P9,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、角可以用 为单位进行度量,1 度的角等于 叫做角度制。 角还可以用 角,用符号 2 、正角的弧度数是一个 是 是 3、180°= 为单位进行度量, 表示,读作 。 ,零角的弧度数 叫做 1 弧度的 。

,负角的弧度数是一个

。如果半径为 r 的圆心角所对的弧的长为 l,那么,角α 的弧度数的绝对值 。 rad 这里,α 的正负由 1°= rad≈ rad 1 rad= °≈ 决定。 °

我们就是根据上述等式进行角度和弧度的换算。 4、角的概念推广后,在弧度制下, 应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即 实数也都有 (即 与 之间建立起一一对 )与它对应;反过来,每一个 )与它对应.

二、小试身手、轻松过关
5、将下列弧度转化为角度: (1)

? = 12

°; (2)-

7? = 8

°

′; (3)

13? = 6

°;

6、将下列角度转化为弧度: (1)36°= rad; (2)-105°= rad; (3)37°30′= ( rad; )

5 7、角α 的终边落在区间(-3π ,- π )内,则角α 所在象限是 2 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 o 8、半径为 ? cm,中心角为 120 的弧长为 A.

D.第四象限 ( )

?
3

cm

B.

?2
3

cm

2? C. cm 3

2? 2 cm D. 3

3

§1.1.2 弧度制(作业)
完成时间: 年 月 日
一、 【基础训练、锋芒初显】 1、将下列弧度转化为角度: 5? (1) ? 12 2、将下列角度转化为弧度: (1) 12 o 30'
2 3

(2)

(2) 355 o

3、如图,用弧度制表示下列终边落在阴影部分的角的集合(不包括边界) .

4、已知一个扇形的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积.

二、 【举一反三、能力拓展】
1、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)

(1)

(2)

(3)

2 .已知集合 A ? ?? | 2k? ? ? ? (2k ? 1)? ,k ? Z? , B ?? ? | ? 4 ? ? ? 4 ? ,则 A ? B 等于 ( ) (A) ? (C) ?? | 0 ? ? ? ? ? 3. 圆的半径变为原来的 (B) ?? | ?4 ? ? ? 4? (D) {? | ?4 ? ? ? ?? 或 0 ? ? ? ? } 倍。 .

1 , 而弧长不变, 则该弧所对的圆心角是原来的 2 4. 若 2 弧度的圆心角所对的弧长是 4cm , 则这个圆心角所在的扇形面积是

4

§1.2.1 任意角的三角函数(导学案 1)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标 1.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; 2. 掌握三角函数的值在各象限的符号。 高考要求:B 级 课前准备 (预习教材 P11 ~ P12,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中,设α 是一个任意角,它的终边上任意一点 P(x,y),那么: ⑴ ⑵ ⑶ 当α = 叫做α 的正弦,记作 叫做α 的余弦,记作 叫做α 的正切,记作 , 即 ,即 ,即 . . ,所以 .







时, α 的终边在 y 轴上,这时点 P 的横坐标等于 .

无意义.除此之外,对于确定的角α ,上面三个值都是 所以, 正弦、余弦、正切都是以 为自变量,以

为 函 数 值 的 函 数 , 我 们 将 它 们 统 称 为 .

二、小试身手、轻松过关
1.已知点 P( tan? , cos? )在第三象限,则角 ? 在第 2.已知角θ 的终边在直线 y = 象限。 ; tan? = .

3 x 上,则 sinθ = 3

3.已知角θ 的终边经过点(-3,4) ,求角θ 的正弦、余弦和正切值。

5

§1.2.1 任意角的三角函数(作业)
完成时间: 年 月
?



一、 【基础训练、锋芒初显】

? 象限角。 ? 0 ,则 是第 2 2 m 2.角 ? 的终边上有一点 P(m,5) ,且 cos? ? , (m ? 0) ,则 sin ? +cos ? =______. 13
1.若θ 是第三象限角,且 cos
3.设θ ∈(0,2π ) ,点 P(sinθ ,cos2θ )在第三象限,则角θ 的范围是 .

二、 【举一反三、能力拓展】
1.若角 ? 的终边落在直线 15 x ? 8 y 上,求 log 2 sec? ? tan?

2.(1) 已知角 ? 的终边经过点P(4,-3),求2sin ? +cos ? 的值; (2)已知角 ? 的终边经过点 P(4a,-3a)(a≠0),求 2sin ? +cos ? 的值; (3)已知角 ? 终边上一点 P 与 x 轴的距离和与 y 轴的距离之比为 3∶4(且均不为零) , 求 2sin ? +cos ? 的值.

6

§1.2.1 任意角的三角函数(导学案 2)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标 1.会用角α 的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角α 的正弦、余弦、正切的函数值; 2. 掌握正弦、余弦、正切函数的定义认识其定义域。 高考要求:B 级 课前准备 (预习教材 P13 ~ P14,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、在直角坐标系中, 叫做单位圆。 叫做有向线段。







2、 3、

三角函数 sin ? cos ? tan ? sinα =y= tanα = ;cosα =x= 。 ;

定 义 域

y = x

3、根据任意角的三角函数定义,将正弦余弦正切函数在弧度制下的定义域填入上表

二、小试身手、轻松过关 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 ? 5? 2? 13? ⑴ ; ⑵ ; ⑶? ; ⑷? 6 3 3 6

7

§1.2.1 任意角的三角函数(2) (作业)
完成时间: 年 月 日


一、 【基础训练、锋芒初显】 1.角 ?(0< ? <2π ) 的正、 余弦线的长度相等, 且正、 余弦符号相异. 那么 ? 的值为
3 2

2. 若 0< ? <2 π ,且 sin ? < 是 。

, cos ? >

1 . 利用三角函数线,得到 ? 的取值范围 2

2π π 3.若- ≤θ ≤ ,利用三角函数线,可得 sinθ 的取值范围是 6 3



二、 【举一反三、能力拓展】

1.函数 y ?

sin x ? ? cos x 的定义域是



2.利用三角函数线,写出满足下列条件的角 x 的集合. ⑴ sinx ≥

2 1 1 1 ;⑵ cosx ≤ ;⑶ tanx≥-1 ; (4) sin x ? ? 且 cos x ? . 2 2 2 2

8

§1.2.2 同角三角函数关系(导学案)
课时:第一课时 预习时间:
学习目标
1. 掌握同角三角函数的基本关系式 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1,







sin ? ? tan ? ; cos ?

2. 灵活运用同角三角函数的两个基本关系解决求值、化简、证明等问题。 高考要求:B 级 课前准备 (预习教材 P16~ P17,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
同一个角 ? 的正弦、 余弦的平方和等于 即 ; , 商等于 。 。

二、小试身手、轻松过关
1. cos? ? A.

4 3

4 ,? ? (0, ? ) ,则 tan ? 的值等于 5 3 4 B. C. ? 4 3
; sin? ?

( D. ?



3 4


2.若 tan? ? 15 ,则 cos? ?

3.化简 sin2 ? +sin2β -sin2 ? sin2β +cos2 ? cos2β =



4.已知 sin ? ?

1 ,求 cos? , tan? 的值. 5

9

§1.2.2 同角三角函数关系(作业)
完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】 1、已知 A 是三角形的一个内角,sinA+cosA = 3 ,则这个三角形是
2、已知 sinα cosα = 3、已知 1 ,则 cosα -sinα 的值等于 8 2 三角形。







1 ? sin x 1 cos x 的值是 ? ? ,则 sin x ? 1 cos x 2

4、若 sin ? , cos? 是方程 4x2 ? 2mx ? m ? 0 的两根,则 m 的值为

sin ? ? cos? . ? 2 ,则 sin ? cos? 的值为 sin ? ? cos? m?3 4 ? 2m 6、已知 sin? ? ,则 m=_________; tan? ? , cos? ? m?5 m?5
5、已知



【举一反三、能力拓展】
7、求证:

1 ? 2 sin ? cos? tan? ? 1 . ? sin 2 ? ? cos2 ? tan? ? 1

8、已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 0 ? ? ? ? . 5

(1)求 sin ? cos ? 、 sin ? ? cos ? 的值;

(2)求 sin ? 、 cos ? 、 tan ? 的值.

10

§1.2.3 三角函数的诱导公式(导学案)
课时:第一课时 预习时间: 年 月 日 学习目标 1. 借助于单位圆,推到出诱导公式一、二、三、四,能正确运用诱导公式将任 意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等证 明问题。 2. 能通过公式的运用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,提高分析和 解决问题的能力。 高考要求:B 级 重点:理解并掌握诱导公式. 难点:诱导公式的应用(求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式) 课前准备
(预习教材 P18 ~ P19,完成以下内容并找出疑惑之处)

一、知识梳理、双基再现
1、由三角函数的定义: 由此得诱导公式一 : 的角的同一三角函数的值相等。 , , 。

2、若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,试讨论角 ? 与角 ? 的对应三角函数值之间
的关系: 由此得诱导公式二: , , 。

3、若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y 轴对称,试讨论角 ? 与角 ? 的对应三角函数值之间
的关系: 由此得诱导公式三: , , 。

4、若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于原点对称,试讨论角 ? 与角 ? 的对应三角函数值之间 的关系: 由此得诱导公式四:







二、小试身手、轻松过关
1、下列各式正确的有__________ 1)sin( ? +180°)=-sinα 3)sin(- ? -360°)=-sinα 2)cos(- ? +β )=-cos( ? -β ) 4)cos(- ? -β )=cos( ? +β )

2、利用公式一、二、三、四分别求 1) 、2) 、3) 、4)的值 1) sin 390
0

2) tan(?

?
4

)

3) sin 120

0

4) cos

4? 3

11

§1.2.3 三角函数的诱导公式(作业)
课时:第一课时 完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、tan2010°的值为 2、 sin? ?







? 19 ? ? ? 的值为__________ ? 6 ?

3、对于诱导公式中的角 ? ,下列说法错误的是__________ 1) ? 一定是锐角 2)0≤ ? <2π 4、若 cos?? ? ? ? ? 5、sin 3) ? 一定是正角 4) ? 是使公式有意义的任意角

4? ·cos ·tan 的值是__________ 3 6 4
2)

3 , ? ? ? ? 2? , 则 sin?? ? ? 2? ? 的值是__________ 5 25? 5?
cos(? ? 4? ) cos 2 (? ? ? ) sin 2 (? ? 3? ) sin(? ? 4? ) sin(5? ? ? ) cos 2 (?? ? ? )

6、化简 1) 1 ? 2 sin(? ? 2) cos(? ? 2)

二、 【举一反三、能力拓展】 (选作)
1、已知

3 sin?? ? ? ? ? cos?? ? ? ? 2 ,则 tan? = 4 sin?? ? ? ? cos?9? ? ? ?



2、已知 sin?3? ? ? ? ? 求

1 , 4

cos( ? ??) cos( ? ? 2? ) 的值. ? cos? [cos(? ? ? ) ? 1] cos( ? ? 2? ) cos(? ? ? ) ? cos(?? )

12

§1.2.3 三角函数的诱导公式(导学案)
课时:第二课时 预习时间:
学习目标 1. 借助于单位圆,推到出诱导公式五、六,能正确运用诱导公式将任意角的三 角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等证明问题。 2. 通过推导公式,进一步体会数形结合思想 高考要求:B 级 重点:理解并掌握诱导公式 难点:六组诱导公式的综合运用 课前准备 (预习教材 P20~ P21,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 y ? x 对称,试讨论 1)角 ? 与角 ? 的关系 2)它们对应的正弦、余弦值之间的关系 由此得诱导公式五: 诱导公式六: , ,







二、小试身手、轻松过关
1、利用公式五和公式六 将下列三角函数转化为锐角三角函数 1) sin 151
0

2) cos

3? 5

2、已知 sin(

3 π 3 π +α )= ,则 sin( -α )值为_________ 2 4 4

13

§1.2.3 三角函数的诱导公式(作业)
课时:第二课时 完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、cos( ? +α )= —







1 3 π , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为_________ 2 2

2、若 sin(π +α )+sin(-α )=-m,则 sin(3π +α )+2sin(2π -α )等于________ π 2π 3π 4π 5π 6π 3、求值:cos +cos +cos +cos +cos +cos 7 7 7 7 7 7

4、若 f (cos x) ? cos3x, 求 f (sin 30?) 的值。

5、已知 tan(? ? ? ) ? 3 , 求

2 cos(? ? a) ? 3 sin(? ? a) 的值. 4 cos(?a) ? sin(2? ? a)

二、 【举一反三、能力拓展】 (选作)
1、若 cos α =
2 3

,α 是第四象限角,求

sin(? ? 2? ) ? sin( ?? ? 3? ) cos(? ? 3? ) cos(? ? ? ) ? cos( ?? ? ? ) cos(? ? 4? )

的值.

2、已知 tan? 、

1 7 2 2 是关于 x 的方程 x ? kx ? k ? 3 ? 0 的两实根,且 3? ? ? ? ? , tan? 2

求 cos(3? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 的值.

14

§1.3.1 三角函数的周期性(导学案)
课时:一课时 预习时间:
学习目标 1. 了解周期函数的概念 2. 会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期 高考要求:B 级 重点:理解周期函数的概念 课前准备 (预习教材 P24~ P25,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1、一般地,对于函数 f ( x) ,如果存在一个_________ 的常数 T,使得定义域内的 ____________ x 值,都满足__________________ 那么函数 f ( x) 就叫做周期函数, ____________________叫这个函数的周期. 2、什么叫做函数 f ( x) 的最小正周期?







3、正弦函数,余弦函数都是周期函数,周期是__________,最小正周期是________ 4、函数 y ? A sin(?x ? ? )或y ? A cos( ?x ? ? ) 的周期与解析式中的_______无关, 其周期为___________

二、小试身手、轻松过关
1.正弦函数 y ? 3sinx 的周期是_________________________

2.正弦函数 y ? 3 ? sin x 的周期是_________________________. 3.余弦函数 y ? 6 ? cosx 的周期是_________________________. 4.余弦函数 y ? 10cosx 的周期是_________________________. 思考:函数 g ( x) ? 3 是周期函数吗?

15

§1.3.1 三角函数的周期性(作业)
课时:第一课时 完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、函数 y ? sin( x ? 2、 f ( x) ? sin(?x ?







2? ,则 ? =___________ 4 3 ? ? 17? 3、若函数 f ( x) 是以 为周期的函数,而且 f ( ) ? 1, 则f ( ) ? ___________ 2 3 6 )(? ? 0) 的最小正周期是
4、判断下列函数是不是周期函数,若是,请指出它们的周期是多少?若不是,说明理由。
1) f ( x) ? sin x 2) f ( x) ? sin x 3) f ( x) ? cos x 4) f ( x) ? cos x

1 2

?
6

) 的周期是___________

?

二、 【举一反三、能力拓展】 (选作)
1、 f ( x) ? sin x ? cos x 是周期函数吗? 若是,请指出它们的周期是多少?若不是,说明理由。

( ? 1, 0)时, 2、已知定义域为 R 的奇函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,当 x ?

f ( x) ? 2 x ?

1 ,求 f (log 2 20) 的值。 5

【感悟反思】
要正确理解周期函数的定义,定义中的“定义域内的每一个 x ”特别重要的是 “每一个 x ” , 如果函数 f ( x) 不是当 x 取定义域内的每一个值, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) , 那么 T 就不是 f ( x) 的周期,如:虽然 sin(
周期。

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

,但是

? 不是函数 y ? sin x 的 2

16

§1.3.2 三角函数的图像和性质(1) (导学案)
课时:第一课时 学习目标
1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象;2.记住正弦、余弦函数的图像特征和性质;

预习时间:







高考要求:B 级 重点:正弦、余弦函数的图像特征和性质 难点:几何法作正弦曲线。 课前准备 (预习教材 P26 ~ P29,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现 1、怎样作出三角函数 y ? sin x 的图像? 1 利用单位圆中正弦线作正弦函数图象(几何作法) ○
首先,作坐标为 ? x0 , sin x 0 ? 的点 S,不妨设 x0 ? 0 ,如图教材 P26 图 1-3-2 所示,在单位 圆中设弧 AP 的长为 x 0 (自变量∠AO′P= x 0 ) ,则 MP ? sin x0 。所以点 S ? x0 , sin x 0 ? 是 以 为横坐标, 为纵坐标的点。

同样,可以做出函数 y ? sin x 图像上一系列点, 作出单位圆中 0, 及 使正弦线的

? ? ?

; 把 x 轴上 0 ~ 2? 这一段分成 12 等份, 把角 x 的正弦线向 与 x 轴上的点 x 重合;

, , ,?, 2? 的角 6 3 2


最后, 用光滑曲线把这些正弦线的 的图象。

连结起来, 就得到正弦函数 y ? sin x ,x ?[0, 2? ]

○ 2 “五点法”作图: 函数 y ? sin x , x ?[0, 2? ] 的图像上起关键作用; 自变量 ? 3? ? x 0 2?
2
2

?
2

?

3? 2

2?

函数值 y

只要将函数 y ? sin x , x ?[0, 2? ] 的图象向左、右平移,就可得到函数 y ? sin x , x ? R 的 图象。正弦函数的图像叫做 。

2、余弦函数的图象 由于 y ? cos x ? cos(? x) ? sin[? ? (? x)] ? sin( x ? ? ) ,所以余弦函数 y ? cos x , x ? R
2 2

与函数 y ? sin( x ? ? ) , x ? R 是同一个函数;这样,余弦函数的图象可由:正弦曲线
2

向左平移 ? 个单位得到。
2

17

§1.3.2 三角函数的图像和性质(1) (作业)
课时:第一课时 完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】 1、求下列函数的定义域: (1) y ? sin 2 x ; (3) y ? sin x ;
2、函数 y ? 2 ? sin x 的值域是 3、函数 y ?







(2) y ? cos( x ? ) ; 3 1 (4) y ? ; sin x ? 1

?

2 的值域是 2 ? sin x

4、用“五点法”画出函数 y ? sin(x ? 正弦函数 y ? sin x 的图像的关系。

?
6

) 在长度为一个周期的闭区间的简图,并指出它和

5、求函数 y ? cos x(?

?
3

?x?

5? ) 的值域。 6

二、 【举一反三、能力拓展】 (选作)
1、函数 y ? ?2 sin x ? 1 的最大值为 值为 ,取得最小值时对应的 x ?
2

,取得最大值时对应的 x ? 。

,最小

2、求函数 y ? cos x ? 2 sin x ? 2 的值域。

18

§1.3.2 三角函数的图像和性质(2) (导学案)
课时:第一课时 学习目标
1.记住正弦、余弦函数、正切函数的图像特征和性质;

预习时间:







高考要求:B 级 重点:正切函数的图像特征和性质 难点:几何法作正切曲线。 课前准备
(预习教材 P32 ~ P33,完成以下内容并找出疑惑之处)

一、知识梳理、双基再现 1、三角函数的图象和性质:
性质 函 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

定义域





值 域 奇偶性 对称轴: 对称性 对称中心: 周 期 单调增区间: 单调性 单调减区间: 单调减区间: 单调增区间: 单调增区间: 对称中心: 对称中心: 对称轴: 对称轴:

二、小试身手、轻松过关 1、求下列函数的定义域: (1)y=tan3x (2)y=tan(3x+

? ) 3

19

§1.3.2 三角函数的图像和性质(2) (作业)
课时:第一课时 完成时间:
一、 【基础训练、锋芒初显】
1、 y ? 3sin ? 2 x ?







? ?

??

? 的最小正周期为_____,最小值为____,最大值为____,单 3?

调增区间为______________________,单调减区间为_____________________, 对称点为____________________,对称轴为_____________________________。
2、 函数 y ? tan ? 2 x ?

? ?

??

周期___, 为值域为_____。 ? 的定义域为______________, 4? 。

3、函数 f ( x) ? sin x cos x 的奇偶性是
4、利用函数的性质比较的大小:

(1) cos 760? 与 cos(?770? )

(2) tan138 0 与 tan143 0

x 5、求函数 y ? cos 的最大值以及取得最大值时自变量 x 的集合。 2

6、当 tan x ? 3 时, x 的取值集合为。

二、 【举一反三、能力拓展】 (选作) 1、不等式 sin(2 x ?

?

1 ) ? ? 的解集是? 6 2

2、求下列函数的值域: 2 ? sin x cos x ? 3 (1) y ? ; (2) y ? ; (3) y ? asinx ? b (其中 a, b 为常数) . 1 ? sin x cos x ? 2

3、求函数 y ? tan x ? 2 tan x ? 3 的值域
2

20

§1.3.3 函 数
课时:第一课时
学习目标

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(导学案)
年 月 日

预习时间:

1. 理解表达式 y ? A sin(?x ? ? ) ,理解 A、?、?、?x ? ? 含义; 2. 理解振幅变换、周期变换和相位变换的规律; 3. 会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象; 高考要求:A 级 课前准备 (预习教材 P34 ~ P36,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现
1. 函数 y ? sin (x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有的点 _________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而得。 2.函数 y ? sin ?x, x ? R(其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线上所有 点的横坐标______________(当 ? >1 时)或______________(当 0< ? <1 时)到原来 的
1 倍(纵坐标不变)而得到。 ?

3.函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1)的图象, 可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标 _______(当 A>1 时)或______(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的, 函数 y ? A sin x 的值域为_________.最大值为_______,最小值为________。 4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 其中的 (A>0, ? >0) 的图象, 可以看作用下面的方法得到: 先把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0 时)或___________(当 ? <0 时)平行 移动 ? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标____________ (当 ? >1 时) 或____________ (当 0< ? <1) 到原来 的 倍 (纵坐标不变) , 再把所得各点的纵坐标____________ (当 A>1 时)或_________(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到。
1 ?

二、小试身手、轻松过关 1.将函数 y ? sin x 的图象向左平移
函数解析式是

? 个单位,再向上平移 2 个单位,得到的图象的 4
? 个单位,得到的图象的解析式 3



2 . 将 函 数 y ? s i n? (x) 的 图 象 向 右 平 移
是 。

21

§1.3.3 函 数
第一课时

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(作业)
年 月 日

完成时间:

一、 【基础训练、锋芒初显】
1、把函数 y ? sin x 的图象向右平移 到的函数解析式为

? 后,再把各点的横坐标伸长原来的 2 倍,所得 8


2 、已知函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ?

?
12

时, y max ? 2 ,当 。

7? 时, 12

y min ? ?2 ,那么函数的解析式为
3

? 3 、 函 数 y ? 3s i n 2x(? ) 的 图 象 可 看 作 是 函 数 y ? 3sin 2x 的 图 象 , 经 过

平移得到的。
1 ? 4、函数 y ? 3sin( x - ) 的周期是 2 4

,振幅是

,当 x=______________时, y max =

______;当 x=____________________时, y min ? __________。 5、函数 y ? sin(2x ?

5? ) 的图象的对称轴方程为____________________。 2

6、 已知函数 y ? f(x),将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变, 横坐标扩大到原来的 2 倍, 然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移 同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为
? 1 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx 的图象相 2 2



二、 【举一反三、能力拓展】
1、函数 f(x) ? 3sin(2x ? 5Q) 的图象关于 y 轴对称,则 Q 的最小值为________________。

? 2、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过怎样变换而得到?
3

? 3、函数 y ? sinx 的图象可由 y ? cos(2x - ) 的图象经过怎样的变化而得到?
6

22

§1.3.3 函 数
课时:第二课时
学习目标

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(导学案)
年 月 日

预习时间:

1. 会用“五点法”作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象; 2. 会根据条件求函数的解析式; 高考要求:A 级 课前准备 (预习教材 P37 ~ P40,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、知识梳理、双基再现 1、会用“五点法”作函数 y ? sin(x ?

?
6

) 的一个周期内的图象。

2、会用“五点法”作函数 y ? sin(2 x) 的一个周期内的图象。

3、会用“五点法”作函数 y ? 2 sin x 的一个周期内的图象。

二、小试身手、轻松过关 会用“五点法”作函数 y ? 2 sin(2 x ?

?
3

) 的一个周期内的图象。

23

§1.3.3 函 数
第二课时

y ? A sin(?x ? ? ) 的图象(作业)
年 月 日

完成时间:
?
4

一、 【基础训练、锋芒初显】
1、会用“五点法”用函数 y ? 3 sin(2 x ?

) 的一个周期内的图象。

。 2、会用“五点法”用函数 y ? 2 sin( ?

x 2

?
4

) 的一个周期内的图象。

3、已知函数 y ? Asin(? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 图象经过点(
5? ,求这个函数的解析式。 , 0) 9

2? ,最小值是-2,且 3

二、 【举一反三、能力拓展】
1、 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最

低点横坐标差是 3? ,又图象过点(0,1) ,求这个函数的解析式。

24

§1.3.4 三角函数的应用(导学案)
课时:第一课时
学习目标 1. 会用三角函数解决一些简单的问题, 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型; 2. 通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行
思考和作出判断;

预习时间:







高考要求:A 级 课前准备 (预习教材 P41 ~ P42,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、 【知识梳理 双基再现】

1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线. 3 、 已 知 如 图 是 函 数 y = 2sin(ωx + ? )( | ? | < π )的图象,那么 ? = 2 ,

?=



二、 【小试身手

轻松过关】

1、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某 一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为 。

2、一根为 Lcm 的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,组成一个单摆,小球摆动时,离
? ? 开平衡位置的位移 s(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 s ? 3 sin? g t ? ? ?, t ? [0,??) , ? ? ? l 6?

(1)求小球摆动的周期和频率; (2)已知 g=980cm/s2,要使小球摆动的周期恰好是 1 秒,线的长度 l 应当是多少?
25

§1.3.4 三角函数的应用(作业)
课时:第一课时
一、 【基础训练

预习时间:







锋芒初显】

1、从高出海面 hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船 B,俯角为 30? 看正南方向的一船 C 的 俯角为 45? ,则此时两船间的距离为 。.

2、如图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin??t ? ? ? ? b , (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.

二、 【举一反三

能力拓展】 1、已知某海滨浴场的海浪高度 y ?m ? 是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,记作 y ? f ?t ? .下表是某日各时的浪高数据: t 3 9 0 6 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观察, y ? f ?t ? 的曲线可近似地看成是函数 y ? A sin? ?t ? (1)根据以上数据,求出函数 y ? A sin? ?t ?

? ?

??

? ? b 的图象. 2?

? ?

??

? ? b 的最小正周期 T ,振幅 A 及函数表达 2?

式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内 的上午 8 : 00 到晚上 20 : 00 之间,有多少时间可供冲浪者进行活动?

26

§1.3.4 三角函数的应用(导学案)
课时:第二课时
学习目标 1. 会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题。 高考要求:A 级 课前准备 (预习教材 P41 ~ P42,完成以下内容并找出疑惑之处) 一、 【知识梳理 双基再现】
个。

预习时间:







1、方程 sin x ? lg x 的实根个数是

2、如图为一半径为 3 米的水轮,水轮圆心 O 距离水面 2 米,已知水轮每分钟旋转 4 圈, 水轮上的 点 P 到水面距离 y( 米 ) 与时 间 x( 秒 ) 满足函数关系 y ? A s in ? ( x ? ? ) ? 2, 则 有

?=

, A=



3、在有太阳的时候,一个球在水平地面上,球的影子伸到与地面的接点 10 米处,同一时 刻,一根长 1 米,一端接触地面且垂直放置的尺的影子长是 2 米,则球的半径 为 。

二、 【小试身手

轻松过关】

1、如图所示,一个摩天轮半径为 10 米,轮子的底部在地面上 2 米处,如果此摩天轮每 20 秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点 P 处(点 P 与摩天轮中心O高度相同)时开始计时,

(1) 求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式; (2) 在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过 10 米 。

27

§1.3.4 三角函数的应用(作业)
课时:第一课时
一、 【基础训练

预习时间:







锋芒初显】

1、 如图,一广告气球被一束入射角为 ? 的平行光线照射, 其投影是长半轴长为 5 m 的椭圆, 则制作这个广告气球至少需要的面料为 。.

2、如图,ABCD 是一块边长为 100 米的正方形地皮,其中 ATPS 是一半径为 90 米的扇形小 山,P 是弧 TS 上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在 BC 与 CD 上的长方形停车场 PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值。

二、 【举一反三

能力拓展】

1、 (2006 北京海淀模拟)在△ABC 中,∠A=60°,BC=2,则△ABC 的面积的最大值为_________. 10.在高出地面 30 m 的小山顶上建造一座电视塔 CD(如右图),今在距离 B 点 60 m 的地面上 取一点 A,若测得 C、D 所张的角为 45°,则这个电视塔的高度为_______________.

28


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