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2015年全国高中数学联赛参考答案(B卷word版)


2015 年全国高中数学联赛(B 卷) (一试)
一、填空题(每个小题 8 分,满分 64 分 1.已知函数 f ( x) ? ?

? a?x x ?a log2

x ? [0,3] x ? (3,??)

,其中 a 为常数,如果 f (2) ? f (4) ,则 a 的取

值范围是

. 答案: (-2,+∞) .解: f (2) ? a ? 2, f (4) ? 2a ,所以 a ? 2 ? 2a ,解得: a ? ?2 . 2.已知 y ? f ( x) ? x3 为偶函数,且 f (10) ? 15 ,则 f (?10) 的值为
3 3



答案: 2015. 解: 由己知得 f (?10) ? (?10) ? f (10) ? 10 , 即 f (? =2015. 1 0 ) 1 ( 0 ? ) f 2 0 0 0 ? 3.某房间的室温 T (单位:摄氏度)与时间 t (单位:小时)的函数关系为: T ? a sin t ? b cost , t ? (0,??) ,其中 a , b 为正实数,如果该房间的最大温差为 10 摄氏度, 则 a ? b 的最大值是 . 答案: 5 2 .解:由辅助角公式: T ? a sin t ? b cos t ? 条件 sin ? ?

a 2 ? b2 sin(t ? ? ) ,其中 ? 满足

b a ?b
2 2

, cos? ?
2

a a ?b
2 2

,则函数 T 的值域是 [? a 2 ? b2 , a 2 ? b2 ] ,室

内最大温差为 2 a ? b ? 10 ,得 a2 ? b2 ? 5 .
2

故a?b ?

2(a 2 ? b 2 ) ? 5 2 ,等号成立当且仅当 a ? b ?

5 2. 2

4. 设正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是单位正方形, 如果二面角 A1 ? BD ? C1 的

? ,则 AA . 1 ? 3 6 答案: .解:取 BD 的中点 O,连接 OA, OA1 , OC1. 2 ? 则∠A1OC1 是二面角 A1-BD-C1 的平面角,因此∠A1OC1= , 3 又△OA1C1 是等边三角形.故 A1O= A1C1= 2 ,所以
大小为
2 AA1 ? AO ? AO2 ? ( 2)2 ? ( 1

5.已知数列 ?an ?为等差数列,首项与公差均为正数,且 a2 , a5 , a9 依次成等比数列,则使得 . a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 100a1 的最小正整数 k 的值是 答案: 34 .解:设数列 ?an ? 的公差为 d , 则 a2 ? a1 ? d , a5 ? a1 ? 4d , a9 ? a1 ? 8d .因为
2 ,即 (a1 ? d )(a1 ?8d) ?( a 1 ?4 d) a2 , a5 , a9 依次成等比数列,所以 a2a9 ? a5 2

2 2 6 . ) ? 2 2

.化简上式得

到: a1d ? 8d 2 .又 d ? 0 ,所以 a1 ? 8d .由

k (k ? 1) d a1 ? a2 ? ? ? ak a1k ? k (k ? 1) 2 ? ?k? ? 100 . a1 a1 16
解得 kmin ? 34 .
2 2 6.设 k 为实数,在平面直角坐标系中有两个点集 A ? ( x, y ) x ? y ? 2( x ? y ) 和

B ?? ( x, y) kx ? y ? k ? 3 ? 0?,若 A ? B 是单元集,则 k 的值为

?

?



答案: ?2 ? 3 .解:点集 A 是圆周 ? : ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ,点集 B 是恒过点 P (-1,3)

1

的直线 l : y ? 3 ? k ( x ? 1) 及下方 (包括边界) . 作出这两个点集知, 当 A 自 B 是单元集时,直线 l 是过点 P 的圆 ? 的一条切线.故圆 ? 的圆心 M (1, l)到直线 l 的距离等于圆 的半径

2 ,故

| k ? 1? k ? 3 | k 2 ?1

? 2 .结合图像,应取较小根

k ? ?2 ? 3 .
7. 设 P 为椭圆

y2 x2 点 A(1,1), B(0,?1) , 则 PA ? PB 的最大值为 ? ? 1 上的动点, 4 3



答案: 5. 解: 取 F ( 0 , l ), 则 F, B 分别是椭圆的上、 下焦点, 由椭圆定义知, |PF|+|PB|=4. 因 此,| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5.

3 ,1) 时,|PA|+|PB|最大值为 5. 2 8.正 2015 边形 A1 A2 ? ? ? A2015 内接于单位圆 O ,任取它的两个不同顶点 Ai , Aj ,
当 P 在 AF 延长线与椭圆的交点 ( ? 则 OAi ? OAj ? 1的概率为 答案 .

???? ???? ? 671 .解:因为 | OAi |?| OAj |? 1 ,所以 1007 ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? | OAi ? OAj |2 ?| OAi |2 ? | OAj |2 ?2OAi ? OAj ? 2(1 ? cos ? OAi , OAj ?) . ???? ???? ? ???? ???? ? 1 故 OAi ? OAj ? 1的充分必要条件是 cos ? OAi , OAj ?? ? ,即向量 OAi , OAj 的夹角 2 2? 不超过 . 3 ???? 对任意给定的向量 OAi ,满足条件 OAi ? OAj ? 1的向量可的取法共有:
2015 ?1342 671 2? ? ? 2? ? . ? ? 2 ? 1342 种,故 OAi ? OAj ? 1的概率是: p ? ? ? 2015 ? 2014 1007 ? 3 2015 ?
二、解答题 9. (本题满分 16 分)数列 ?an ?满足 a1 ? 3, 对任意正整数 m, n ,均有 am?n ? am ? an ? 2mn (1)求 ?an ?的通项公式; (2)如果存在实数 c 使得 解 :

(l) 在 am?n ? am ? an ? 2mn 中 令 m ? 1 可 以 得 到 ?an ? 的 递 推 公 式 :

?a
i ?1

k

1
i

? c 对所有正整数 k 都成立,求 c 的取值范围.

an?1 ? a1 ? an ? 2n ? an ? (3 ? 2n) . 因此 ?an ?的通项公式为:
[5 ? (2n ? 1)](n ? 1) ? n(n ? 2) .8 分 2 k ?1 (事实上,对这个数列 ?an ?, a1 ? 1? 3 ? 3 ,并且 an ? a1 ? ? (3 ? 2k ) ? 3 ?
n ?1

am?n ? (m ? n)(m ? n ? 2) ? (m ? n)2 ? 2(m ? n) ? (m2 ? 2m) ? 2(n2 ? 2n) ? 2mn ? am ? an ? 2mn . 所以 an ? n(n ? 2) 是数列 ?an ?的通项公式. 1 1 1 1 1 (2)注意到: ? ? ( ? ) ,所以 an n(n ? 2) 2 n n ? 2
2

k 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 ?? ( ? ) ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ). ? n?2 2 2 k ?1 k ? 2 4 2 k ?1 k ? 2 n ?1 an n ?1 2 n k k 3 1 3 1 3 故? ? ,并且 ? ? (k ? ?) ,因此 c 的取值范围是 c ? [ , ??) .16 分 4 4 4 n ?1 an n ?1 an

k

10. (本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 为四个有理数,使得:

3 1 ? ?a a 1 ? i ? j ? 4?? ? ?? 24,?2,? ,? ,1,3? ,求 a ? a
i j

1 2 ? a3 ? a4 的值. 2 8 ? 解:由条件可知, ai a j (1 ? i ? j ? 4) 是 6 个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,

?

由 此 知 , a1 , a2 , a3 , a4 的 绝 对 值 互 不 相 等 , 不 妨 设 | a1 |?| a2 |?| a3 |?| a4 | , 则

| ai | a |j

|? (i 1? j ?

中最小的与次小的两个数分别是 最大与次大的 | a1 || a2 | 及 | a1 || a3 | , 4)

两个数分别是 | a3 || a4 | 及 | a2 || a4 | ,从而必须有

1 ? ?a1a2 ? ? 8 , ? ?a a ? 1, 10 分 ? 1 3 ?a2 a4 ? 3, ? ? ?a3a4 ? ?24, 1 1 3 于是 a2 ? ? , a3 ? , a4 ? ? ?24a1 . 8a1 a1 a2 1 3 2 故 {a2 a3 , a1a4 } ? {? 2 , ?24a1 } ? {?2, ? } ,15 分 8a1 2 1 结合 a1 ? Q ,只可能 a1 ? ? . 4 1 1 1 1 由此易知, a1 ? , a2 ? ? , a3 ? 4, a4 ? ?6 或者 a1 ? ? , a2 ? , a3 ? ?4, a4 ? 6 . 4 2 4 2
检验知这两组解均满足问题的条件.

9 . 20 分 4 x2 y2 11. (本题满分 20 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,存在经过点 F a b 的一条直线 l 交椭圆于 A, B 两点,使得 OA ? OB ,求该椭圆的离心率的取值范围.
故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? 解:设椭圆的右焦点 F 的坐标为( c , 0).显然 l 不是水平直线,设直线 l 的方程为 x ? ky ? c ,点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) .将直线 l 的方程与椭圆方程联立, 消去 x 得 (b k ? a ) y ? 24kb cy ? b (c ? a ) ? 0 .
2 2 2 2 2 2 2 2

? 24kb 2c y ? y ? ? , 2 ? ? 1 b2 k 2 ? a 2 由韦达定理 ? 2 2 2 b4 ? y y ? b (c ? a ) ? ? . 1 2 ? b2 k 2 ? a 2 b2k 2 ? a 2 ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (ky1 ? c)(ky2 ? c) ? y1 y2 ? (k 2 ?1) y1 y2 ? kc( y1 ? y2 ) ? c2
? (k 2 ? 1)(? b4 24kb 2c ? k 2b 2 ? a 2 c 2 ? b 4 2 ) ? kc ( ? ) ? c ? .5 分 b2 k 2 ? a 2 b2k 2 ? a 2 b2 k 2 ? a 2
3

因为 OA ? OB 等价于 OA ? OB ? 0 ,故由上式可知,存在满足条件的直线 l,等价于存

??? ? ??? ?

? k 2b 2 ? a 2 c 2 ? b 4 a 2c 2 ? b4 2 ? 0 , . ① k ? b2 k 2 ? a 2 b2 (1 ? c 2 ) 2 2 4 显然存在 k 满足①等价于 a c ? b ? 0 .② 15 分 2 2 2 4 又 b ? a ? c ,所以②等价于 a2c2 ? (a2 ? c2 )2 ? 0 ,两边除以 a 得到
在实数 k ,使得

c2 c2 2 ? (1 ? ) ? 0 ,即 e2 ? (1 ? e2 )2 ? 0 . 2 2 a a 5 ?1 由于 e ? 1 ,解得: e ? [ ,1) .20 分 2

加试
1: (本题满分 40 分)证明:对任意三个不全相等的非负实数 a, b, c 都有:

(a ? bc) 2 ? (b ? ac) 2 ? (c ? ab) 2 1 ? ,并确定等号成立的充要条件. 2 (a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2
解:当 a, b, c 不全相等时,原不等式等价于

2(a ? bc)2 ? 2(b ? ca)2 ? 2(c ? ab)2 ? (a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 .上式可化简为 2a 2b2 ? 2b2c2 ? 2c2 a 2 ? 12abc ? ?2ab ? 2bc ? 2ca , 即 a2b2 ? b2c2 ? c2 a2 ? ab ? bc ? ca ? 6abc . ① 考虑到 a2b2 , b2c2 , c2a2 , ab, bc, ca ? 0 ,故由平均不等式得,

a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? ab ? bc ? ca ? 6 6 a2b2 ? b2c2 ? c2a2 ? ab ? bc ? ca ? 6abc . ②
因此原不等式成立. 20 分 下面考虑等号成立的充分必要条件. 注意到②中等号成立的充分必要条件是 a b ? b c ? c a ? ab ? bc ? ca . 若 abc ? 0 ,则 ab ? bc ? ca ,显然 a ? b ? c ,与条件矛盾! 若 abc ? 0 ,则 ab ? bc ? ca ? 0 ,但 a, b, c 不全为 0,不妨设 a ? 0 ,则 b ? c ? 0 .类
2 2 2 2 2 2

似可得其余两种情况,即 a, b, c 中恰有一个非零.这时原不等式中等式确实成立. 因此,原不等式等号成立当且仅当 a, b, c 中有两个是 0,另一个为正数.40 分 2. (本题满分 40 分)如图,在等腰 ?ABC 中, AB ? AC ,设 I 为 其内心,设 D 为 ?ABC 内的一个点,满足 I , B, C, D 四点共圆,过 点 C 作 BD 的 平 行 线 , 与 AD 的 延 长 线 交 于 E . 求 证 :

CD 2 ? BD ? CE .
证明:连接 BI,CI.设 I, B , C, D 四点在圆 O 上,延长 DE 交圆 O 于 F,连接 FB,FC. 因为 BD||CE,所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC. 又由于∠CDE=∠CDF=∠CBF,所以△BFC∽△DCE,从而

DC BF ? . CE FC
再证明 AB, AC 与圆 O 相切. 事实上, 因为∠ABI=

1 1 ∠ABC= ∠ACB=∠ICB, 所以 AB 与圆 2 2

O 相切.同理 AC 与圆 O 相切. 20 分 因此有△ABD∽△AFB,△ACD∽△AFC,故

4

BD AB AC DC BF BD ? ? ? ? ,即 .② 30 分 BF AF AF CF FC DC DC BD 2 ? 结合①、②,得 ,即 CD ? BD ? CE . 40 分 CE DC 3. (本题满分 50 分)证明:存在无穷多个正整数组 (a, b, c)(a, b, c ? 2015 ) 满足:
a bc ? 1, b ac ? 1,c ab ? 1.
证明:考虑 c ? ab ? 1 的特殊情况,此时 c | ab ? 1 成立.10 分 由 a | bc ? 1 知, a | b(ab ? 1) ? 1 ,故 a | b ? 1 .① 由 b | ac ? 1 知, b | a(ab ? 1) ? 1 ,故 b | a ? 1 .② 为满足①、②,取 a ? k , b ? k ? 1(k ? N * ) ,此时 c ? ab ? 1 ? k ? k ? 1 .40 分
2

当正整数 k >2015 时,(a, b, c) ? (k, k ?1, k 2 ? k ?1) 均符合条件,因此满足条件的正整 数组 (a, b, c) 有无穷多个. 50 分 4. (本题满分 50 分)给定正整数 m, n(2 ? m ? n) ,设 a1 , a2 ,? ? ?, am 是 1,2,? ? ?, n 中任取 m 个 互不相同的数构成的一个排列,如果存在 k ? ? 1,2,? ? ?, m?使得 ak ? k 为奇数,或者存在整数

k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ,则称 a1 , a2 ,? ? ?, am 是一个“好排列” ,试确定所有好排列
的个数. 解:首先注意, “存在 k ? {1,2,? ? ?, m},使得 ak ? k 为奇数”是指存在一个数与它所在 的位置序号的奇偶性不同; “存在整数 k , l (1 ? k ? l ? m) ,使得 ak ? al ”意味着排列中存 在逆序,换言之,此排列不具有单调递增性. 将不是好排列的排列称为“坏排列” ,下面先求坏排列的个数,再用所有排列数减去坏 排列数.注意坏排列同时满足: (1)奇数位必填奇数,偶数位必填偶数; (2)单调递增.10 分 下面来求坏排列的个数.设 P 是坏排列全体,Q 是在 1,2,? ? ?, [

n?m ] 中任取 m 项组成的 2

单调递增数列的全体.对于 P 中的任意一个排列 a1 , a2 ,? ? ?, am ,定义

a ?m a1 ? 1 a2 ? 2 , ,? , m ). 2 2 2 a ?k n?m ]} . 因为 ak ? n, k ? m , 故由条件 (1) 可知, 所有的 k 均属于集合 {1,2,? , [ 再 2 2 a ?k }( k ? 1,2,? ? ?, m )单调递增.故如上定义的 f 给出了 P ? Q 的 由条件(2)可知,{ k 2 一个映射.显然. f 是一个单射. 30 分 下面证明 f 是一个满射.事实上,对于 Q 中任一个数列 b1 , b2 ,? ? ?, bm ,令 ak ? 2bk ? 1 f (a1 , a2 ,? ? ?, am ) ? (
( k ? 1,2,? ? ?, m ) .因为整数 bk ?1 ? bk ,故 bk ?1 ? bk ? 1,从而

ak ?1 ? ak ? 2(bk ?1 ? bk ) ? 1 ? 1(1 ? k ? m ? 1) 故 a1 , a2 ,? ? ?, am 单调递增. n?m ] ? m ? n ,及 ak ? k ? 2bk 为偶数,故 a1 , a2 ,? ? ?, am 为 P 中 又 a1 ? 1 ,而 a m ? 2[ 2 的一个排列.显然 f (a1 , a2 ,? ? ?, am ) ? (b1 , b2 ,? ? ?, bm ) ,故 f 是一个满射. 综上可见, f 是 P ? Q 的一个一映射,故 | P |?| Q | .40 分 n?m ]} 的所有 m 元子集一对应,故 | Q |? C m 又 Q 中的所有数列与集合 {1,2,? , [ n?m , [ ] 2 2
5

从而 | P |? C m n?m .
[ 2 ]

最后,我们用总的排列数 Pn ?
m

n! 扣除坏排列的数目,得所有的排列的个数为 (n ? m)!

n! ? Cm n ? m . 50 分 (n ? m)! [ 2 ]

6


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