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短时傅里叶变换的有关资料


短时傅里叶变换 短时傅里叶变换(STFT,short-time Fourier transform,或 short-term Fourier transform))是和傅里叶变换相关的一种数学变换,用以确定时变信号其局部区域正 弦波的频率与相位。 它的思想是:选择一个时频局部化的窗函数,假定分析窗函数 g(t) 在一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的,移动窗函数,使 f(t)g(t

)在不同的有限时间宽度内 是平稳信号,从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数, 窗函数一旦确定了以后,其形状就不再发生改变,短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。如 果要改变分辨率, 则需要重新选择窗函数。 短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似 平稳信号犹可, 但是对于非平稳信号, 当信号变化剧烈时, 要求窗函数有较高的时间分辨率; 而波形变化比较平缓的时刻,主要是低频信号,则要求窗函数有较高的频率分辨率。短时傅 里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。短时傅里叶变换窗函数受到 W.Heisenberg 不 确定准则的限制,时频窗的面积不小于 2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函 数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。

短时距傅里叶变换 维基百科,自由的百科全书 汉漢▼ 傅里叶变换 拉普拉斯变换 Z 变换 傅里叶级数 傅里叶变换 离散傅里叶级数 离散时间傅里叶变 换 离散傅里叶变换 快速傅里叶变换 分数傅里叶变换 短时距傅立叶变换 小波变换 离散小波变换 连续小波变换

短时距傅里叶变换是傅里叶变换的一种变形,为时频分析中其中一个重要的工具。 短时距傅里叶变换 目录 [隐藏]
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1 与傅里叶转换在概念上的区别 2 定义 o 2.1 数学定义 o 2.2 窗函数 3 方形窗函数的短时距傅里叶转换

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3.1 概念 o 3.2 特性 o 3.3 方形窗函数宽度的选取 4 优缺点 5 频谱(Spectrogram) (Spectrogram) 6 参考书目、资料来源 资料来源
o

[编辑]与傅里叶转换在概念上的区别 在概念上的区别 将信号做傅里叶变换后得到的结果 并不能给予关于信号频率随时间改变的任何信息 以下 后得到的结果, 并不能给予关于信号频率随时间改变的任何信息。 的例子作为说明:

傅里叶变换后的频谱和短时距傅里叶转换后的结果如下 后的频谱和短时距傅里叶转换后的结果如下:

横轴为频率(赫兹) 傅里叶转换后, 横轴为频率

短时距傅里叶转换, 横轴为时间 横轴为时间(秒),纵轴 为频率(赫兹)

由上图可发现,傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息 却没有提供时间信息;而短时 傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息,却没有提供时间信息 傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。 傅里叶转换则清楚的提供这两种信息 这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信 的方法有利于频率会随着时间改变的信 号(例如:音乐信号、语音信号等 语音信号等)分析。 [编辑]定义 [编辑]数学定义 数学定义 简单来说, 在连续时间的例子, 在连续时间的例子 一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的 一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数再进行一 维的傅里叶变换。 再将这个窗函数沿着时间轴挪移, 再将这个窗函数沿着时间轴挪移 所得到一系列的傅里叶变换结果排开则 成为二维表象。数学上,这样的操作可写为 这样的操作可写为:

另外也可用角频率来表示: :

其中

是窗函数, 窗函数种类有很多种, 窗函数种类有很多种 会在稍后再做仔细讨论。

是待变换的信号。 是待变换的信号



的傅里叶变换。随着 的改变,窗函数在时间轴上会有位移 窗函数在时间轴上会有位移。

信号只留下了窗函数截取的部分做最后的傅里叶转换。 信号只留下了窗函数截取的部分做最后的傅里叶转换 后,信号只留下了窗函数截取的部分做最后的傅里叶转换

而反短时距傅里叶转换,其数学类似 其数学类似傅里叶转换,但利用 函数的作用:

须消除窗

[编辑]窗函数 窗函数 窗函数通常满足下列特性: 1. 2. 3. 4. ,即为偶函数。 ,

。 ,即窗函数的中央通常是最大值的位置。

,即窗函数的值由中央开始向两侧单调递减 即窗函数的值由中央开始向两侧单调递减。

,即窗函数的值向两侧递减为零。

常见的窗函数有:方形、三角形 三角形、高斯函数等,而短时距傅里叶转换也因窗函数的不同而有 而短时距傅里叶转换也因窗函数的不同而有 不同的名称。而加伯转换,即为窗函数是高斯函数的短时距傅里叶转换 通常没有特别说明 即为窗函数是高斯函数的短时距傅里叶转换,通常没有特别说明 的短时距傅里叶转换,即为 即为加伯转换。 [编辑]方形窗函数的短时距傅里叶转换 方形窗函数的短时距傅里叶转换 [编辑]概念 概念

方形窗函数,B = 50,横轴为时间 横轴为时间(秒)

右图即为方形窗函数的一个例子,其数学定义: 右图即为方形窗函数的一个例子 可以随要分析的信号,来调整 B 的大小(即调整方形窗函数的宽度) 至于 B 的选择,将会 来调整 。至于

在下面探讨。 短时傅里叶转换可以简化为

反短时傅里叶转换可简化为

[编辑]特性 特性 其大部分的特性都与傅里叶转换 傅里叶转换的特性相对应 积分特性

位移特性(时间轴方向的移动 时间轴方向的移动)

调制特性(频率轴方向的移动 频率轴方向的移动)

线性特性 若 有 一 信 号 , 分 别 为

做 方 形 窗 函 数 短 时 距 傅 里 叶 转 换 的 结 果 , 则

。 能量积分特性

特殊信号 1. 当 ,

2. 当



[编辑]方形窗函数宽度 方形窗函数宽度

的选取

方形窗函数短时距傅里叶转换用不同窗函数宽度(B)的比较, 方形窗函数短时距傅里叶转换用不同窗函数宽度 横轴为时间(秒) 纵轴为频率(赫 ), 兹) 由上述特性中的特殊信号 来分析,信号只有在 的时候有值;若

短时距傅里叶转换是理想的话, 短时距傅里叶转换是理想的话 面的特性可发现,能量会出现在 能量会出现在 趋近理想。 接着我们来分析

应该只有在

的时候有能量。但由上 的时候有能量 ,则可使结果

中间。因此,若我们取较小的 若我们取较小的

,信号因为没有改变,应该为 DC。若短时距傅里叶转换 若短时距傅里叶转换

是理想的话,

应该只有在

的时候有能量。但由上面的特性可发现 但由上面的特性可发现, ,可使 sinc 函数 函数沿着频率轴变

能量会沿着频率轴呈现 sinc 函数。若我们取较大的 窄,使得结果趋近理想 使得结果趋近理想。 综合以上说明,若我们使用较大的方形窗函数宽度 若我们使用较大的方形窗函数宽度

,则

时间轴的清晰

度会下降;频率轴的清晰度上升 频率轴的清晰度上升。若使用较小的

,则

时间轴的清晰度会

上升;频率轴的清晰度下降 频率轴的清晰度下降。我们以下面做为例子说明:

结果如右图所示,B 越大则在频率变化处 = 10, 20)附近的频率越不准确, 越大则在频率变化处(t ,即可能会有多个 频率成分出现。但同时,其他时间点的能量则较集中 其他时间点的能量则较集中;没有如 B 较小时,频率散开或模糊的 频率散开或模糊的

情形。 [编辑]优缺点 优点:比起傅里叶转换更能观察出信号 比起傅里叶转换更能观察出信号瞬时频率的信息。 缺点:计算复杂度高 计算复杂度高 [编辑]频谱(Spectrogram) Spectrogram 即短时傅里叶转换后结果的绝对值平方 两者本质上是相同的,在文献上也常 即短时傅里叶转换后结果的绝对值平方,两者本质上是相同的 出现 spectrogram 这个名词。 。

[编辑]参考书目、资料来源 1. Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class notes, the Jiun Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2011. 2. Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, John R. Buck : Discrete-Time Signal Processing, Prentice Hall, ISBN 0-13-754920-2


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