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2012年全国高中数学联赛一试试题(A)及参考答案word版


2012年全国高中数学联赛试题(A卷)word 一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.
2 x

1.

设 P 是函数 y ? x ?

( x ? 0 )的图像上任意一点,过点 P 分别向直线 y ? x 和 y 轴作垂线,
??? ??? ? ?
<

br />垂足分别为 A , B ,则 P A ? P B 的值是 解:方法1:设 p ( x 0 , x 0 ?
2 x0 2 x0 ), 则直线 P A 的方程为



y ? ( x0 ?

2 x0

) ? ? ( x ? x 0 ), 即 y ? ? x ? 2 x 0 ?

.

?y ? x 1 1 ? , x0 ? ). 由? 2 ? A ( x0 ? y ? ? x ? 2 x0 ? x0 x0 ? x0 ?

又 B (0, x0 ?

??? ? ? ??? ??? ? ? 1 1 ??? 1 ), 所以 P A ? ( ,? ), P B ? ( ? x 0 , 0 ). 故 P A ? P B ? ? (? x0 ) ? ? 1 . x0 x0 x0 x0 2

2. 则

设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且满足 a c o s B ? b c o s A ? 的值是 .

3 5

c,

ta n A ta n B

解:由题设及余弦定理得
a? c ?a ?b
2 2 2

?b?

b ?c ?a
2 2

?

3 5

c ,即 a ? b ?
2 2

3 5

c

2

2ca

2bc
2



tan A tan B

?

sin A co s B sin B co s A

a? ? b?

a ?c ?b
2

2

8 c ?a ?b
2 2 2

c c

2

2ac ? 2 ? 5 2 2 2 2 2 2 b ?c ?a b ?c ?a 2bc 5

? 4.
2

3.设 x , y , z ? [0 ,1] ,则 M ?

|x? y|?

| y? z|? z? y ?

| z ? x | 的最大值是 z ? x.

.

解:不妨设 0 ? x ? y ? z ? 1, 则 M ? 因为
y? x ? z? y ?

y? x ?

2[( y ? x ) ? ( z ? y )] ? z ? x ? ( 2 ? 1)
1 2

2( z ? x). 2 ? 1.

所以 M ?

2( z ? x) ?

z? x ?

当且仅当 y ? x ? z ? y , x ? 0 , z ? 1, y ?

时上式等号同时成立.

1

故M

m ax

?

2 ? 1.

4.抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点为 F , 准线为l,A , B 是抛物线上的两个动点, 且满足 ? A F B ?
2

? 3

. 设

线段AB的中点 M 在l上的投影为 N ,则

| MN | | AB |

的最大值是

.

解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得 M N ?
2 2 2

AF ? BF 2

. 在 ? A F B 中,由余弦定理得

AB

? AF

? BF

? 2 A F ? B F cos

?
3

? ( AF ? BF ) ? 3 AF ? BF
2

? ( A F ? B F ) ? 3(
2

AF ? BF ) 2

2

? (

AF ? BF 2

) ? MN
2

2

.

当且仅当 A F ? B F 时等号成立.故

MN AB

的最大值为1.

5.设同底的两个正三棱锥 P ? A B C 和 Q ? A B C 内接于同一个球.若正三棱锥 P ? A B C 的侧面与底面 所成的角为 4 5 ,则正三棱锥 Q ? A B C 的侧面与底面所成角的正切值是
?



解:如图.连结 P Q ,则 P Q ? 平面 A B C ,垂足 H 为正 ? A B C 的中心,且 P Q 过球心 O ,连结 C H 并延长 交 A B 于点 M ,则 M 为 A B 的中点,且 C M ? A B ,易知 ? P M H , ? Q M H 分别为正三棱锥
P ? A B C , Q ? A B C 的侧面与底面所成二角

的平面角,则 ? P M H ? 4 5 ,从而 P H ? M H ? 因为 ? P A Q ? 9 0 , A H ? P Q , 所以 A P ? P H ? Q H , 即 A H
2
2
?

?

1 2

AH ,

?

1 2

AH ?QH . QH MH ? 4

所以 Q H ? 2 A H ? 4 M H . ,故 ta n ? Q M H ?

6. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x .若对任意的 x ? [ a , a ? 2 ] ,不等式

?

2

f ( x ? a ) ? 2 f ( x ) 恒成立,则实数 a 的取值范围是



解:由题设知 f ( x ) ? ?

? x ( x ? 0) ?
2

?? x ( x ? 0) ?
2

,则 2 f ( x ) ? f ( 2 x ).

因此,原不等式等价于 f ( x ? a ) ? f ( 2 x ). 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数,所以 x ? a ?
2 x , 即 a ? ( 2 ? 1) x .

又 x ? [ a , a ? 2 ], 所以当 x ? a ? 2 时, ( 2 ? 1) x 取得最大值 ( 2 ? 1)( a ? 2 ). 因此, a ? ( 2 ? 1)( a ? 2 ), 解得 a ? 故 a 的取值范围是 [ 2 , ? ? ).
2.

7.满足

1 4

? s in

? n

?

1 3

的所有正整数 n 的和是
?
6 ) 时, 3 ? . 3 x ? s in x ? x , ? 1 4 ,



解:由正弦函数的凸性,有当 x ? ( 0 , 由此得 s in
s in

?

?
13

? ? 1 4 1 3

?
13

?

1 4

, s in ? 3

?
12

?

?
12

?
?

?
10

?

?
10

, s in

?
9

?

?

?
9

1 3

所以 s in 故满足
1 4

?
13

?

? s in

?
12

? s in

?
11

? s in

?
10

?

1 3

? s in

?
9

.

? s in

?
n

?

1 3

的正整数 n 的所有值分别为 1 0 ,1 1,1 2 , 它们的和为 3 3 .

8.某情报站有 A , B , C , D 四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用 的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码,那么第7周也使用A种密码的概率 是 .(用最简分数表示) 解:用 Pk 表示第 k 周用 A 种密码的概率,则第 k 周末用 A 种密码的概率为
1 ? Pk .于是,有 Pk ? 1 ?
? ?

1 3

(1 ? Pk ), k ? N ,即 Pk ? 1 ?

?

1 4

? ?

1 3

( Pk ?

1 4

)

由 P1 ? 1 知, ? Pk ? 所以 Pk ?
1 4 ? 3 4 (?

3 1 1? ? 是首项为 ,公比为 ? 的等比数列。 4 3 4? )
k ?1

1 3

,即 Pk ?

3 4

(?

1 3

)

k ?1

?

1 4

,故 P7 ?

61 243

二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤. 9.(本小题满分16分)

3

已知函数 f ( x ) ? a s in x ?

1 2

cos 2 x ? a ?

3 a

?

1 2

,a ? R,a ? 0

(1)若对任意 x ? R ,都有 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围; (2)若 a ? 2 ,且存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:(1) f ( x ) ? s in x ? a s in x ? a ?
2
2

3 a

.
3 a ???? 4 分

令 t ? sin x ( ? 1 ? t ? 1), 则 g ( t ) ? t ? a t ? a ? 对任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立的充要条件是

3 ? g ( ? 1) ? 1 ? ? 0 ? ? a ? a ? (0 ,1] ? ? ? 8 分 ? 3 ? g (1) ? 1 ? 2 a ? ? 0 ? a ?

(2)因为 a ? 2 , 所以 ?

a 2

? ?1. 3 a ? ? ? ? 12 分

所以 g ( t ) m in ? g ( ? 1) ? 1 ? 因此 f ( x ) m in ? 1 ?
3 a .

于是,存在 x ? R ,使得 f ( x ) ? 0 的充要条件是 1 ? 故 a 的取值范围是 [ 2, 3].? ? ? ? 1 6 分

3 a

? 0 ? 0 ? a ? 3.

10.(本小题满分20分) 已知数列 ? a n ? 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 3 3 3

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 , a 2 , a 3 ; (2)是否存在满足条件的无穷数列 { a n } ,使得 a 2 0 1 3 ? ? 2 0 1 2 ? 若存在, 求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由. 解:(1)当 n ? 1 时, a 1 ? a 1 ,由 a 1 ? 0 得 a 1 ? 1 .
2 3

当 n ? 2 时, (1 ? a 2 ) ? 1 ? a 2 ,由 a 2 ? 0 得 a 2 ? 2 或 a 2 ? ? 1 ………………5分
2 3

当 n ? 3 时, (1 ? a 2 ? a 3 ) ? 1 ? a 2 ? a 3 .
2 3 3

4

若 a 2 ? 2 得 a 3 ? 3 或 a 3 ? ? 2 ;若 a 2 ? ? 1 得 a 3 ? 1 ; 综上,满足条件的三项数列有三个: 1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分 (2)令 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n , 则 S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ( n ? N )
2 3 3 3 ?

从而 ( S n ? a n ? 1 ) ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? a n ? 1 .
2 3 3 3 3

两式相减,结合 a n ? 1 ? 0 得 2 S n ? a n ? 1 ? a n ? 1
2

当 n ? 1 时,由(1)知 a 1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, 2 a n ? 2 ( S n ? S n ? 1 ) ? ( a n ? 1 ? a n ? 1 ) ? ( a n ? a n ),
2 2

即 ( a n ? 1 ? a n )( a n ? 1 ? a n ? 1) ? 0, 所以 a n ? 1 ? ? a n 或 a n ? 1 ? a n ? 1 ……………………………………15分 又 a 1 ? 1, a 2 0 1 3 ? ? 2 0 1 2, 所以 a n ? ?
? n (1 ? n ? 2 0 1 2 ) ? 2 0 1 2 ? ( ? 1) ( n ? 2 0 1 3)
n

…………20分

11.(本小题满分20分) 如图5,在平面直角坐标系 X O Y 中,菱形 A B C D 的边长为 4 ,且 O B ? O D ? 6 . (1)求证: | O A | ? | O C | 为定值; (2)当点A在半圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 ( 2 ? x ? 4 )上运动时,求点 C 的轨迹.
2 2

解:因为 O B ? O D , A B ? A D ? B C ? C D , 所以 O , A , C 山的共线………………………………………5分 如图,连结 B D ,则 B D 垂直平分线段 A C ,设垂足为 K ,于是有
O A ? O C ? ( O K ? A K )( O K ? A K )
5

? OK ? ( OB ? OB

2

? AK ? BK
2

2

2

2

) ? ( AB
2 2

2

? BK

2

)

2

? AB

? 6 ? 4 ? 2 0 (定值)……………………………10分

(2)设 C ( x , y ), A ( 2 ? 2 co s ? , 2 sin ? ), 其中 ? ? ? X M A ( ? 则?XOC ? 因为 O A
2

?
2

?? ?

?
2

),

?
2

.
2 2 2

? ( 2 ? 2 c o s ? ) ? ( 2 s in ? ) ? 8 (1 ? c o s ? ) ? 1 6 c o s

?
2

,

所以 O A ? 4 c o s

?
2

…………………………………………15分
?
2 ? 5,

由(1)的结论得 O C c o s 所以 x ? O C c o s 从而 y ? O C s in
?
2

? 5. ? 5 ta n

?
2

?
2

? [ ? 5, 5 ].

故点 C 的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别 为 A (5, 5 ), B (5, ? 5 ) …………………………………………………20分

6


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