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2014高考数学题库精选核心考点大冲关专题演练10 导数的应用(单调性、最值、极值)


考点 10 导数的应用(单调性、最值、极值) 热点一 利用导数研究函数的单调性
1.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)文科】已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图 像之一,且其导函数 y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是( ) 4.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理】 设函数 f ? x ? ? ? x ?1? e ?

kx (其中 k ? R ).
x 2

(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; A B C D (Ⅱ) 当 k ? ?

?1 ? ,1 时,求函数 f ? x ? 在 ?0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? ?

2 2.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】若函数 f ( x) ? x ? ax ?

1 1 在 ( , ??) 是增函 x 2

数,则 a 的取值范围是( A. [?1, 0] B. [?1, ??)

) C. [0,3] D. [3, ??)

3.(2012 年高考(辽宁文) )函数 y=

A.( ? 1,1] 【答案】B

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
C.[1,+∞) D.(0,+∞)





B.(0,1]

5.【2013 年普通高等学校统一考试江苏数学试题】设函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x) ? e ? ax ,其
x

中 a 为实数. (1)若 f ( x ) 在 (1, ??) 上是单调减函数,且 g ( x) 在 (1, ??) 上有最小值,求 a 的取值范围; (2)若 g ( x) 在 (?1, ??) 上是单调增函数,试求 f ( x ) 的零点个数,并证明你的结论.

上只有一个零点. 综上所述,当 a ? 0 或 a ? e?1 时, f ( x ) 的零点个数为 1;当 0 ? a ? e?1 时, f ( x ) 的零点个数为 2. 6.【2013 年普通高 等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】 已知函数 f ( x) ? e x ? ln( x ? m). (Ι )设 x ? 0 是 f ( x ) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 .

当 0 ? a ? e ,即 a 在 [a , e
?1 a?1

?1

?1

? e 时, f (ea ) ? a?1 ? aea ? a(a?2 ? ea ) ? 0 ,又 f (a ?1) ?0 ,且函数 f ( x)
?1

?1

?1

?1

故 f ( x) ? f ( x0 ) =

] 的图象不间断,∴ f ( x) 在 (a?1, ea ) 上存在零点.
?1

( x ? 1)2 1 ? x0 ? 0 ? 0, x0 ? 2 x0 ? 2

又当 x ? a 时,f ?( x) ?

1 ?1 ?1 ?a ?0, 故 f ( x ) 在 (a , ??) 是单调减函数, 所以,f ( x ) 在 (a , ??) x

综上,当 m≤2 时, f ( x) ? 0 . 7.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】

已知函数 f ? x ? =x ? 3ax ? 3x ? 1.
3 2

(I)当 a ? - 2 时,讨论 f ? x ? 的单调性; (II)若 x ??2, ??? 时, f ? x ? ? 0 ,求 a 的取值范围.

8.【2013 年普通高等学校统一考试(天津卷)理科】 已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有 【答案】(Ⅰ) 函数 f(x)的定义域为 (0, ??) ,
2 ln g (t ) 1 ? ? . 5 ln t 2

9.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】 已知函数 f ( x ) ?

1? x x e . 1 ? x2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时,x1+x2<0.

x

0

? 3? 0, ? ? 3 ? ? ? ?
0

3 3

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ? ?
+ 增

1

g ?( x )
g ( x)
1



极小值

1

所以 g ( x)min ? g (

3 4 3 ) ? 1? ?0. 3 9

当 0 ? x ? 1 时, 2 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 . 故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x ? 4x ? 2 ? 0 .
3

11.(2012 年高考(新课标理) )已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e

x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

则有

13.【2013 年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学(理)卷】已知函数 f(x)= x3 ? ax 2 ? bx ? c , 下列结论中错误的是( )

(A) ? x0 ? R , f( x0 )=0 (B)函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞, x0 )单调递减

【方法总结】
求可导函数单调区间的一般步骤和方法 (1)确定函数 f(x)的定义域. (2)求 f′(x),令 f′(x)=0,求出它们在定义域内的一切实数根. (3)把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的 顺序排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间. (4)确定 f′(x)在各个开区间内 的符号,根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在每个相应小 开区间内的增减性.

(D)若 x0 是 f(x)的极值点,则 f ' ( x0 )=0

14.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】设函数 f ? x ? 满足

x 2 f ? ? x ? ? 2 xf ? x ? ?

ex e2 , f ? 2 ? ? , 则x ? 0, 时,f ? x ? ( x 8



热点二 利用导数研究函数的最值极值
12. 【2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】 设函数 f ( x) 的定义域为 R,x0 ?x0 ? 0 ? 是 f ( x) 的 极大值点,以下结论一定正确的是( ) A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 - f ( x) 的极小值点 [答案]D B. ? x0 是 f (- x) 的极小值点 D. ? x0 是 - f (- x) 的极小值点

(A)有极大值,无极小值 (C)既有极大值又有极小值

(B)有极小值,无极大值 (D)既无极大值也无极小值

17.(2012 年高考(陕西理) )设函数

f ( x) ? xe x ,则
B. x ? 1 为 f ( x ) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点





15. 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理】 已知 e 为自然对数的底数,设函数

A. x ? 1 为 f ( x ) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x ) 的极大值点 【答案】D

f ( x) ? (e x ?1)(x ?1)k (k ? 1,2) ,则(



A. 当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 B. 当 k ? 1 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值 C. 当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 D. 当 k ? 2 时, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值

【 解 析 】 f ?( x) ? ( x ? 1)e x , 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?1 , x < - 1 时 , f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe x 为 减 函 数; x > - 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) ? xe x 为增函数,所以 x ? ?1 为 f ( x ) 的极小值点,选 D.
18.(2012 年高考(重庆理) )设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数为 f ?( x ) ,且函数 y ? (1 ? x) f ?( x)

的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是





16.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理科】已知 a 为常数,函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两 个极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则( A. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?
1 2

A.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x ) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x ) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2)

) B. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ?
1 2

1 C. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? 2

1 D. f ( x1 ) ? 0 , f ( x2 ) ? ? 2

19.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷文科) 】 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ,其中

a ? 0 ,区间 I ? ?x | f ( x) ? 0? .
(Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ; (Ⅱ)给定常数 k ? ? 0,1? ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值.

22.



2012









广











a ?1

,





A ??

x ? 0? R, B??x x ? R 2 x 2 ? 3 ?1 ? a ? x ? 6a ? 0 , D ? A ? B .

?

?

(Ⅰ)求集合 D (用区间表示); (Ⅱ)求函数 f ? x ? ? 2x3 ? 3?1 ? a ? x2 ? 6ax 在 D 内的极值点.

x1 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

, x2 ?

3 ?1 ? a ? ? 3 ? a ? 3?? 3a ? 1? 4

.

( Ⅱ ) f ? ? x ? ? 6x2 ? 6 ?1 ? a ? x ? 6a , 令 f ? ? x ? ? 0 可得 ? x ? a ?? x ? 1? ? 0 . 因为 a ? 1 , 所以 f ? ? x ? ? 0 有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,且 m1 ? m2 .

1 ①当 ? a ? 1 时, D ? A ? ? 0, ??? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内有两根 m1 ? a 和 m2 ? 1 ,列表可得 3
x

23.(2012 年高考(湖南理) )已知函数 f ( x ) = ? e

ax

? x ,其中 a≠0.

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a,1?
递减

1 0 极大值

?1, ?? ?
+ 递增

(1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的斜率为K,问: 是否存在x0∈(x1,x2),使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说明理由.

f ?? x? f ? x?

所以 f ? x ? 在 D 内有极大值点 1,极小值点 a . ②当 a ?

1 1 时, D ? ? 0,1? ? ?1, ?? ? ,此时 f ? ? x ? ? 0 在 D 内只有一根 m1 ? a ? ,列表可得 3 3
? 1? ? 0, ? ? 3?
+ 递增

x

1 3
0 极小值

?1 ? ? ,1 ? ?3 ?
-

?1, ?? ?
[来源:学*科*网]

f ?? x? f ? x?

+ 递增

递减

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点. ③当 0 ? a ?

1 时, D ? ? 0, x1 ? ? ? x2 , ?? ? ,此时 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 (可用分析法证明),于是 f ? ? x ? ? 0 3

在 D 内只有一根 m1 ? a ,列表可得

x

? 0, a ?
+ 递增

a
0 极小值

? a, x1 ?
递减

? x2 , ???
+ 递增

f ?? x? f ? x?

[来源:学科网 ZXXK]

所以 f ? x ? 在 D 内只有极小值点 a ,没有极大值点.

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? aeax ?

eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

eax1 ? ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? ? ?, x2 ? x1

(3)用方程 f′(x)=0 的根和不可导点的 x 的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区 间,并形成表格. (4)由 f′(x)=0 的根左右的符号以及 f′(x)在不可导点左右的符号来判断 f′(x)在这 个根或不可导点处取极值的情况. 2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展.从函数图象上可以直观地看出: 如果在闭区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和 最小值,只要把函数 y=f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较,就可以求出函数 的最大(小)值.
[来源:Z_xx_k.Com]

eax2 ?ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1? ?. x2 ? x1 ?

热点三 利用导数研究综合问题
24.【2013 年全国高考新课标(I)文科】已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是( (A) (??, 0] ) (B) (??,1] (C) [?2,1] (D) [?2, 0]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? ln( x ? 1), x?0

,若 | f ( x)| ?ax ,则 a

25.【2013 年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . a a( x2 ? x1 )

已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? ? x) . 1? x

(Ⅰ)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值; (Ⅱ)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ?

【方法总结】
1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程 f′(x)=0 的根.

1 1 1 1 ? ? ? ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . 2 3 n 4n
'

【答案】 (Ⅰ)由已知 f (0) ? 0 , f ( x) ? 若? ?

(1 ? 2? ) x ? ? x2 ' , f (0) ? 0 . (1 ? x)2

1 ' ,则当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 . 2

26.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)理】 设 n 是正整数, r 为正有理数. (Ⅰ)求函数 f ( x) ? (1 ? x) (Ⅱ)证明:
r ?1

? (r ? 1) x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值;

1 (Ⅲ)在④中,令 r ? , n 分别取值 81,82,83,?,125,得 3
4 4 4 3 4 3 ( 813 ? 80 3)< 3 81 ? (82 3 ? 813 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 82 3 ? 813)< 3 82 ? (83 3 ? 82 3 ) , 4 4 4 4 4 4 3 3 ( 83 3 ? 82 3) ? 3 83 ? (84 3 ? 83 3 ) , 4 4
4

nr ?1 ? (n ? 1)r ?1 (n ? 1)r ?1 ? nr ?1 ; ? nr ? r ?1 r ?1

? 3? (Ⅲ)设 x ? R ,记 ? ? x? ? 为不小于 ? 2? ? ? 2, ? ?π? ? ? 4 , ? ? 2 ? ? ?1 . ...x 的最小整数,例如 ? ? ?

令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ? ? 3 125 ,求 ? ?S ? ? 的值. (参考数据: 80 3 ? 344.7 , 813 ? 350.5 , 124 3 ? 618.3 , 126 3 ? 631.7 )
4 4 4

???

4 4 4 4 3 3 ( 125 3 ? 124 3) ? 3 125 ? (126 3 ? 125 3 ) . 4 4

27.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】 (I)证明:当 x ? ? 0,1?时,

2 x ? sin x ? x; 2

(II)若不等式 ax ? x ?
2

x3 ? 2 ? x ? 2 ? cosx ? 4对x ? ?0,1? 恒成立,求实数a的 取值范围. 2

(1)若 1 ? k ? e2 ,则 ?2 ? k ? 0 ,从而当 x ? (?2, x1 ) 时, F ' ( x) ? 0 ,当 x ? ( x1, ?? ) 时 F ' ( x) ? 0 , 即 F ( x) 在 (?2, ??) 上最小值为 F ( x1 ) ? 2x1 ? 2 ? x12 ? 4x1 ? 2 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,此时 f(x)≤kg(x)恒 成立; (2)若 k ? e2 , F ' ( x) ? (e x?2 ?1)(2 x ? 4) ? 0 ,故 F ( x) 在 (?2, ??) 上单调递增,因为 F (2) ? 0 所 以 f(x)≤kg(x)恒成立 (3)若 k ? e2 ,则 F (?2) ? ?2ke?2 ? 2 ? 0 ,故 f(x)≤kg(x)不恒成立;
2 综上所述 k 的取值范围为 ? ?1, e ? ?.

29.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)理科】

已知函数

f ? x ? ? ?1 ? x ? e?2 x , g ? x ? ? ax ?
1 ; 1? x

x3 ? 1 ? 2 x cos x.当x ? ?0,1?时, 2

(I)求证: 1 ? x ? f ? x ? ?

求实数a的 取值范围. (II)若 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,

28.【2013 年全国高考新课标(I)理科】已知函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线 y=f(x) 和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值 (Ⅱ)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 【答案】 (1)因为曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),所以 b=d=2;因为 f ( x) ? 2 x ? a ,故
'

f ' (0) ? a ? 4 ; g ' ( x) ? e x (cx ? d ? c) ,故 g ' (0) ? 2 ? c ? 4 ,故 c ? 2 ;所以 f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 ,

g ( x) ? e x (2x ? 2) ;
' x ( 2 )令 F ( x) ? kg( x) ? f ( x) ,则 F ( x) ? (ke ? 1)(2x ? 4),由题设可得 F (0) ? 0 ,故 k ? 1 ,令

F ' ( x ) ? 0 得 x 1 ? ? ln k , x2 ? ?2 ,

此时 f ( x0 ) ? g ( x0 ), 即f ( x) ? g ( x)在?0,1?上不恒成立. 综上: 实数a的取值范围是(-?,-3]. 30.【2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?
ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. (i)判断 f (1) , f (
b b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) ; a a a a

(ii) a 、 b 的几何平均数记为 G. 称

2ab 为 a 、 b 的调和平均数,记为 H. a?b

若 H ? f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

31.(2012 年高考(天津文) )已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a(a ? 0) 3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?2, 0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) 当 a ? 1 时 , 设 函 数 f ( x) 在 区 间 [t , t ? 3] 上 的 最 大 值 为 M (t ) , 最 小 值 为 m(t ) , 记

g (t ) ? M (t ) ? m(t ) ,求函数 g (t ) 在区间 [?3,?1] 上的最小值.
【解析】(Ⅰ) f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ? f ?( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) 3 2

f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? a , f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? a

得:函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1),(a, ??) ,单调递减区间为 (?1, a)

32.(2012 年高考(陕西文) )设函数

fn ( x) ? xn ? bx ? c (n ? N? , b, c ? R)

(1)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的 零点; ?2 ?

(2)设 n 为偶数, f ( ?1) ? 1 , f (1) ? 1 ,求 b+3c 的最小值和最大值; (3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ?[?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围;

b b M ? f 2 (-1) ? f 2 (? ) ? ( -1) 2 ? 4恒成立 . 2 2
综上可知, - 2 ? b ? 2 . 注: (ⅱ) (ⅲ)也可合并并证明如下: 用 max{a,b}表示a,b中的较大者 ,当 ?1 ? ?

b ? 1,即 ? 2 ? b ? 2时 , 2

b M ? max{ f 2 (1),f 2 (?1),f 2 (? )} 2 f (?1) ? f 2 (1) f 2 ( ?1) ? f 2 (1) b ? 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b ? 1 ? c ? b ? (? ? c) 4 b ? (1 ? ) 2 ? 4恒成立. 2

【方法总结】
利用导数证明不等式要考虑构造新的函数,利用新函数的单调性或最值解决不等式 的证明问题.比如要证明对任意 x∈[a,b]都有 f(x)≥g(x),可设 h(x)=f(x)-g(x)只 要利用导数说明 h(x)在[a,b]上的最小值为 0 即可.解题技巧总结如下: (1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让 解决出来) ,如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手, 可考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明 .例如采用两边取对数(指数) ,移项 通分等等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现 函数关系式. (3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数 ”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利 用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样, 注意积累经验, 体现一个“巧妙”.

【考点剖析】
一.明确要求

1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (对多项式函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值 (对多项式函数不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次). 4.会利用导数解决某些实际问题.

②f(x)=x3,f′(0)=0,但 x=0 不是 f(x)=x3 的极值点. ( 3)若 y=f(x)可导,则 f′(x0)=0 是 f(x)在 x=x0 处取极值的必要条件.

【考点模拟】
一.扎实基础 1. 【湖北省黄冈中学、孝感高中 2013 届高三三月联合考试】设函数 y ? f ( x) 在定义域内的导函数为
y ? f ?( x) ,若 y ? f ( x) 的图象如图 1 所示,则 y ? f ?( x) 的图象可能为(



二.命题方向
1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点. 2.选择题、填空题侧重于利 1 用导数确定函数的单调性和极值.解答题侧重于导数与函 数、解析几何、不等式、数列的综合应用,一般难度较大,属中高档题. 3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题,已成为近几年高考的考点且每 年必考! 4.选择题、填空题主要考查函数的最值,而解答题则考查函数综合问题,一般难度较大.

三.规律总结
两个注意 (1)注意函数定义域的确定. (2)在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大 值还是最小值即可,不必再与端点的函 数值比较. 两个条件 (1)f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条件. (2)对于可导函数 f(x),f′(x0)=0 是函数 f(x)在 x=x0 处有极值的必要不充分条件. 三个防范 (1)求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论; 另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. (2)f′(x0)=0 是 y=f(x)在 x=x0 取极值的既不充分也不必要条件. 如①y=|x|在 x=0 处取得极小值,但在 x=0 处不可导; 3. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】已知常数 a 、 b 、 c 都是实数,

f ( x ) ? a x 3 ? b x 2 ? c x ? 34 的导函数为 f ?( x ) , f ? ( x ) ? 0 的解集为 ? x ? 2 ? x ? 3 ?,若 f ( x )
的极小值等于 ? 115,则 a 的值是( (A) ? (C) 2 ) (B)

y

y

81 22

1 3

O

x

O

x

(D) 5

A y

B y

O

x

O

x

C

D

4. 【东北三校 2013 届高三 4 月第二次联考】当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? ( x2 ? 2ax)e x 的图像大致是
( )

5. 【安徽省淮南一中、颍上一中、怀远一中、蒙城一中四校 2013 届高三 5 月联考】
函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 f (?1) ? 1, 导函数 y ? f ?( x) 满足 f ?( x ) ? ? ( ) C. (??, ?1) D. (?1, ??)

1 1 1 , 则 f ( x) ? ? x 的解集为 2 2 2

A. (1, ??) B. (??,1)

6. 【安徽省马鞍山市 2013 届高三第三次教学质量检测】已知函数
f ( x) ? 1 ? x ? x2 x3 x4 x2013 ,则下列结论正确的是( ? ? ???? ? 2 3 4 2013

)

(A) f ( x) 在 (0,1) 上恰有一个零点 (C) f ( x) 在 (1, 2) 上恰有一个零点

(B) f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个零点 (D) f ( x) 在 (1, 2) 上恰有两个零点

9. 【广东省肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题】
函数 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 3 x ? 2 在区间 [0, 2] 上最大值为 3

.

7. 【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】已知 f ( x) ?
取最大值,以下各式正确的序号为 ( )

ln x ? ln x, f ( x) 在 x ? x0 处 1? x

10. .【2013 年浙江省第二次五校联考】设函数 f ( x) ? x2 ? x2 ? ax ? 9 ( a 为实数) ,在区间 (??, ?3) 和
(3, ??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围为______________.

① f ( x0 ) ? x0 ② f ( x0 ) ? x0 ③ f ( x0 ) ? x0 ④ f ( x0 ) ? A. ①④ B. ②④ C. ②⑤ D. ③⑤

1 1 ⑤ f ( x0 ) ? 2 2

二.能力拔高 8. 【河南省三门峡市 2013 届高三第一次大练习】已知函数 f ( x) = e x ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范
围是 .

11. .【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对任意 x ? R 都有
f ?( x) ? f ( x) 成立,则(
(A) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) ) (B) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

(C) 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) 【答案】C

(D) 3 f (ln 2)与2 f (ln 3) 的大小不确定

12. 【北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二) 】已知函数 y ? f ( x) 是
定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??, 0) 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函 数) ,若 a ? (30.3 ) ? f (30.3 ) , b ? (log ? 3) ? f (log ? 3) , c ? (log 3 1 ) ? f (log 3 1 ) ,则 a , b , c 的大 9 9 小关系是( ) (B) c ? b ? a (C) c ? a ? b (D) a ? c ? b

(A) a ? b ? c

13. 【浙江省镇海中学 2013 年高三考前模拟】已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x(a ? R) ,则下列说
法不正确的是( )

(A)当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x) 有零点 (B)若函数 y ? f ( x) 有零点,则 a ? 0 (C)存在 a ? 0 ,函数 y ? f ( x) 有唯一的零点 (D)若函数 y ? f ( x) 有唯一的零点,则 a ? 1

14. 【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】设 D 是函数 y ? f ( x) 定义域内的一个区间,
若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? ? x0 ,则称 x0 是 f ( x ) 的一个“次不动点” ,也称 f ( x ) 在区间 D 上存在次

2 不动点, 若函数 f ( x) ? ax ? 3 x ? a ?

A. (??, 0) 【答案】D

B. (0, )

1 2

5 在区间 [1, 4] 上存在次不动点, 则实数 a 的取值范围是 ( 2 1 1 C. [ , ??) D. (??, ] 2 2



15. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测】 (本小题满分 12 分)
已知 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? ln ( x ? 1 ) 2 . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)若函数 F ( x ) ? f ( x) ? x ? 3 x ? a 在 [ ?
2

1 , 2 ] 上只有一个零点,求实数 a 的取值范 2

围.

16. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】已知函数
(Ⅰ)若 f ( x ) 在(0, ? ? )单调递减,求 a 的最小值; (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点,求 a 的取值范围.

f ( x) ? x ln x ?

a 2 x ,a ? R 2

?7 分

17. 【广西桂林市、崇左市、防城港市 2013 届高考第一次联合模拟考试】
已知函数 f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (Ⅱ)若 f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

18. 【2013 年哈尔滨市第三中学高三四月第二次高考模拟考试】
已知函数 f ( x) ? ax2 ? x ? x ln x(a ? 0) .

[来源:Z_xx_k.Com]

(1)若函数满足 f (1) ? 2 ,且在定义域内 f ( x) ? bx2 ? 2 x 恒成立,求实数 b 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数,求实数 a 的取值范围; (3)当

1 y 1 ? ln y ? x ? y ? 1 时,试比较 与 的大小. e x 1 ? ln x

19. 【2013 年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】 (本题满分 14 分) 设函数
f ( x) ? a ? x ln x , g ( x) ? x3 ? x2 ? 3 . x f ( x) 的单调性; x

(Ⅰ)讨论函数 h( x ) ?

(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ?[0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ; (Ⅲ )如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f (s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

20. 【山东省淄博市 2013 届高三 3 月第一次模拟考试】(理科)(本小题满分 13 分)
已知函数 g ( x) ? (2 ? a)ln x , h ? x ? =ln x ? ax2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

(a ? R) 令 f ? x ? ? g ? x ? ? h? ? x ?

.

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立 x
. . . . . . . . . . .11 分

(Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 ?1,?2 ? ?1,3? , 使得 f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)依题意, h? ? x ? =

2 等价于 a ? x ? x ln x 恒成立,

记 h( x) ? x ? x2 ln x ,所以 a ? hmax ( x)

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) ? 0 .

1 ? 2ax x

三.提升自我 21. 【山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试】定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数为 f '( x) ,已知
f ( x ? 1) 是偶函数 ( x ? 1) f '(x )? 0.
( ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定 若 x1 ? x2 ,且 x1 ? x2 ? 2 ,则 f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小关系是

? 单调递增区间是 ? ,

?1 ?2

1? ?; a?

C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) 【答案】C

当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, +?? ;

【解析】由 ( x ? 1) f '( x) ? 0 可知,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函数递减.当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 函数递增. 因为函数 f ( x ? 1) 是偶函数,所以 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , f ( x) ? f (2 ? x) ,即函数的对称轴为 x ? 1 . 所 以 若 1 ? x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 若 x1 ? 1 , 则 必 有 x2 ? 2 , 则 x2 ? 2 ? x1 ? 1 , 此 时 由

解:(1) 函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? p x 的定义域为 [0, ??) .

f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ,即 f ( x2 ) ? f (2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ,综上 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,选 C.
22.

【安徽省皖南八校 2013 届高三第二次联
2 3 4 2013

x 考】已知函数 f ( x) ? 1? x ? x2 ? x3 ? x4 ?? ? 2013 ,设 F ( x) ? f ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的
零点均在区间 [a, b], (a ? b, a, b ? Z ) 内,圆 x2 ? y 2 ? b ? a 的面积的最小值是( A. )

?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

23. 【湖南省永州市 2013 届高三第一次模拟考试】 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? p x .
(1) 若函数 f ( x) 在定义域内为减函数,求实数 p 的取值范围; (2) 如果数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an ?1 ? [1 ?
3

1 n (n ? 1)
2 2

]an ?

1 4n

,试证明:

? ln a3 ? ln a2 ?

1 1 1 1 1 1 ? ? 3 , ln a4 ? ln a3 ? ? ? 4 ,…., 2 3 2 3 4 2

当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e 4 .(本题满分 13 分)

ln an ? ln an ?1 ?

1 1 1 ? ? n n ?1 n 2

将这 n-2 个式子相加得 ln an ? ln a2 ?

1 1 1 1 3 ? ? (1 ? n ? 2 ) ? 2 n 4 2 4

[来源:Z&xx&k.Com]

?

3 3 an ? e 4 ,将 a2 ? 4 代入得 an ? 4e 4 a2 3 4

故当 n ? 2 时, 4 ? an ? 4e

…………….13 分
1 x
1 2

24. 【湖北省八校 2013 届高三第二次联考】已知函数 f ( x) ? ln( x ? ) ,且 f ( x) 在 x ? 处的切线方程
为 y ? g ? x?. (1)求 y ? g ? x ? . 的解析式; (2)证明:当 x ? 0 时,恒有 f ? x ? ? g ? x ? ;
* (3)证明:若 ai ? 0, 1 ? i ? n, i, n ? N , 且

?

?

? ai ? 1, 则 ? a1 ?
i ?1

n

? ?

1 ?? 1? ? 1 ?? a2 ? ??? an ? a1 ?? a2 ? ? an

? ? n2 ? 1 ? ??? ? . ? ? n ?

n

1 ( x ? )[(n3 ? n) x 2 ? 2n 2 x ? n3 ? n] 1 n ? ,? 0 ? x ? 时, h?( x ) ? 0 ; ( x3 ? x)(n 2 ? 1) n

x?

1 1 时, h?( x) ? 0,? h( x)min ? h( ) ? 0 . n n
n ? n3 1 ? n2 1 x ? ? ln(n ? ) 2 2 n ?1 1? n n
1 n ? n3 1 ? n2 1 )? 2 ai ? ? ln(n ? ) ai n ?1 1 ? n2 n

? f ( x) ?

(12 分)

? ai ? 0,? ln(ai ? ? ? ln(ai ?
i ?1 n

1 n ? n3 n n(1 ? n 2 ) 1 1 )? 2 ai ? ? n ln(n ? ) ? n ln(n ? ) . ? 2 ai n ? 1 i ?1 1? n n n

?(a1 ?

1 1 1 1 )(a2 ? )?(an ? ) ? (n ? )n a1 a2 an n

(14 分)

25. 【浙江省宁波市 2013 年高考模拟押题试卷】设函数 f ( x) ? ln x ? ax2 ? (3a ? 1) x ? (2a ? 1) ,其中
a?R.

(Ⅰ)如果 x ? 1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求实数 a 的值及 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)求实数 a 的值,使得函数 f(x)同时具 备如下的两个性质:

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x ?x ? f ( 1 2 ) 恒成立; 2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ② 对于任意实数 x1 , x2 ? (1, ??) 且 x1 ? x2 , ? f( ) 恒成立. 2 2
① 对于任意实数 x1 , x2 ? (0,1) 且 x1 ? x2 ,

a 1 ? ( x ? x )2 ? ? ( x1 ? x2 )2 ? ln ? 1 2 ? 4 2 ? 4 x1 x2 ?

?????8 分

【考点预测】
1. 设函数 f ? x ? ? x ? 4x ? a ? 0 ? a ? 2? 有三个零点 x1 、x2、x3,且 x1 ? x2 ?x3 , 则下列结论正确的是
3

(

) B. x2 ? 0 C. x3 ? 2 D. 0 ? x2 ? 1

A. x1 ? ?1

4. 若函数 f ( x ) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”.
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x2 ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数” ,并说明理由; (2) 若数列 ?xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ?

1 x2 1 2.函数 f ( x) ( x ? R) 满足 f (1) ? 1 , f ?( x) ? ,则不等式 f ( x 2 ) ? ? 的解集为______. 2 2 2

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1)2

1 . 4

3. 定义在 R 上的可导函数 f(x), 且 f(x) 图像连续 , 当 x ≠ 0 时 , f '( x) ? x f ( x) ? 0 , 则函数

?1

g ( x) ? f ( x) ? x?1 的零点的个数为(
A.1 B.2

) C.0 D.0 或 2



?x ? 0 (2) x ?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图象上的点都在 ? 所表示的区域内,求 k 的取值范围; ?y ? x ? 0
(3)证明:

? 2i ?1 ? ln(2n ? 1) ? 2 , n ? N
i ?1

n

2

*

.

5. 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? kx2 ( k ? R ). (1)若函数 y ? f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值,求 k 的值;

综上, ?

n

i=1

2 -ln(2n+1)<2, n ? N ? 2i-1

……………………………… 12 分


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