当前位置:首页 >> 数学 >>

4、2第二节 平面向量基本定理及坐标表示


第二节

平面向量基本定理及坐标表示

? 一、平面向量基本定理 ? 如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于 不共线 这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量e1,e2叫表示这一平面 内所有向量的一组基底.

? 二、平面向量坐标运算 ? 1.向量加法

、减法、数乘向量及向量的模 ? 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ? a+b= (x1+x2,y1+y2) (λx1,λy1) = , ? λa= ? 2.向量坐标的求法 ,|a|=
(x1-x2,y1-y2) ,a-b

.

? (1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐 标;

x1y2-x2y1=0

? 三、平面向量共线的坐标表示

[疑难关注] 1.向量坐标与点的坐标的区别 → 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量OA=a,点 A 的位置被 向量 a 唯一确定,此时点 A 的坐标与 a 的坐标统一为(x,y),但应注意 → 其表示形式的区别,如点 A(x,y),向量 a=OA=(x,y). → → → → 当平面向量OA平行移动到O1A1时,向量不变,即O1A1=OA=(x,y),但 → O1A1的起点 O1 和终点 A1 的坐标都发生了变化.

? 2.平面向量基本定理的理解
? (1)平面内任意两个不共线的向量都可以作为这个平面的 基底.单位正交基底是进行向量运算最简单的一组基底;

? (2)平面内任一向量都可以表示为给定基底的线性组合, 并且表示方法是唯一的.但不同的基底表示形式是不同 的. ? (3)用基底表示向量的实质是向量的线性运算.
? 3.基底的不唯一性 ? 只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底,对 基底的选取不唯一,平面内任意向量a都可被这个平面 的一组基底e 1 ,e 2 线性表示,且在基底确定后,这样的 表示是唯一的.

? 1.(2013年广州模拟)已知向量a=(2,1),b=(x,-2), 若a∥b,则a+b等于( )

? A.(-2,-1)
? C.(3,-1)

B.(2,1)
D.(-3,1)

? 解析:由a∥b可得2×(-2)-1×x=0,故x=-4,所以a +b=(-2,-1),故选A. ? 答案:A

? 2.(课本习题改编)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2), 则c=( )

? A.3a+b
? C.-a+3b
解析:设 c=x a+y b,
?x-y=4, ?x=3, 则? ∴? x+y=2, ? ?y=-1.

B.3a-b
D.a+3b

∴ c=3a-b.

? 答案:B

3.(2011 年高考广东卷)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数,(a+λb)∥c,则 λ=( 1 A.4 C.1 1 B.2 D.2 )

解析:a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),而 c=(3,4),由(a+λb)∥c 1 得 4(1+λ)-6=0,解得 λ= . 2

? 答案:B

? 4.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b= ________.
? 解析:∵a=(3,5),b=(-2,1),

? ∴a-2b=(3,5)-(-4,2)
? =(7,3). ? 答案:(7,3)

5.(课本习题改编)梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=2CD,M,N 分 n → → 别是 CD, 的中点, → =a, =b.若MN=ma+nb, =________. AB 设AB AD 则 m

→ =MD+DA+AN=-1a-b+1a=1a-b, 解析:MN → → → 4 2 4 1 n ∴m=4,n=-1.∴m=-4.

? 答案:-4

考向一 平面向量基本定理 1 [例 1] (2013 年厦门质检)如图,△ABC 中,AD=2DB,AE=2EC, → → → BE 与 CD 相交于点 P,若AP=xAB+yAC(x,y∈R),则 x+y=________.

→ → → → → [解析] 由题可知AP=AD+DP=AD+λDC → +λ(BC-BD)=2AB+λ(AC-AB-1BA) → → → → → → =AD 3 3
?2 2 ? → → =?3-3λ?AB+λAC, ? ?

→ → → → → → → → 又AP=AE+EP=AE+μEB=AE+μ(CB-CE)
?→ → 2 →? 1→ =3AC+μ?AB-AC-3CA? ? ?

→ +?1-1μ?AC, =μAB ?3 3 ? →
? ?

1 → =4AB+1AC, → → 解得 λ= ,故AP 7 7 7 5 所以 x+y= . 7 5 [答案] 7

→ =1CA+λCB”求 λ. → 本例条件若变为“AD=2DB,CD 3 → → → → 解析:由图知CD=CA+AD,①

→ → → CD=CB+BD,② → → 且AD+2BD=0. → → → ∴①+②×2 得 3CD=CA+2CB, → =1CA+2CB, ∴CD 3 → 3 → 2 ∴λ=3.

考向二 平面向量的坐标运算 → [例 2] (1)(2013 年沈阳三校模拟)向量AB与向量 a=(-3,4)的夹角为 → π,|AB|=10,若点 A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐标是( A.(-7,8) C.(-5,10) B.(9,-4) D.(7,-6) )

(2)(2013 年烟台模拟)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线, A→=(2,4),A→=(1,3),则 B→=( B C D A.(2,4) C.(-3,-5) B.(3,5) D.(-2,-4) )

→ [解析] (1)由题意,设AB=(3a,-4a)(a>0). → 又|AB|=10,∴ ?3a?2+?-4a?2=10,解得 a=2. → 设 B(x,y),有AB=(x-1,y-2)=(6,-8),
?x-1=6, ?x=7, ∴? ?? 故 B(7,-6). y-2=-8 y=-6. ? ?

(2)A→=B→=A→-A→=(1,3)-(2,4)=(-1,-1), D C C B 故 B→=A→-A→=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). D D B

? [答案] (1)D (2)C

1.(2013 年北京西城模拟)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-2).若 实数 k 与向量 c 满足 a+2b=kc,则 c 可以是( A.( 3,-1) C.(- 3,-1) B.(-1,- 3) D.(-1, 3) )

解析:∵a=( 3,1),b=(0,-2), ∴a+2b=( 3,-3)=- 3(-1, 3), 故向量 c 可以是(-1, 3),选 D.

? 答案:D

考向三 平面向量共线的坐标表示 [例 3] (2013 年衡阳期末)平面内给定三个向量 a=(3,2),b =(- 1,2),c=(4,1),请解答下列问题: (1)求满足 a=m b+n c 的实数 m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (3)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d.

[解析] (1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

?m=5, ? 9 ?-m+4n=3, 所以? 得? ?2m+n=2, ?n=8. ? 9
(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), ∵(a+kc)∥(2b-a), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得 k=-13. (3)设 d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0, 由题意得? 2 2 ??x-4? +?y-1? =5,

?x=3, ?x=5, 解得? 或? ∴d=(3,-1)或 d=(5,3). y=-1 y=3, ? ?

2.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3),若向量 c 满足(c+a)∥b,c⊥ (a+b),则 c=(
?7 7? A.?9,3? ? ? ?7 7? C.?3,9? ? ?

)
? 7 7? B.?-3,-9? ? ? ? 7 7? D.?-9,-3? ? ?

解析:设 c=(m,n), 则 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1). ∵(c+a)∥b,∴-3×(1+m)=2×(2+n). 7 7 又 c⊥(a+b),∴3m-n=0,解得 m=- ,n=- . 9 3

? 答案:D

【创新探究】 平面向量基本定理的创新应用 【典例】 (2013 年石家庄模拟)在△ABC 中,AC=6,BC=7,cos A 1 → → → = ,O 是△ABC 的内心,若OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1,0≤y≤1, 5 动点 P 的轨迹所覆盖的面积为( 10 A. 3 6 10 C. 3 )

5 B.3 6
20 D. 3

→ → → 【思路导析】 利用平面向量基本定理,由OP=xOA+yOB分析得 出动点 P 的轨迹并确定覆盖的区域,然后求出面积. → → → 【解析】 ∵OP=xOA+yOB,其中 0≤x≤1,0≤y≤1,动点 P 的轨

迹所覆盖的区域是以 OA,OB 为邻边的平行四边形,则动点 P 的轨迹所 覆盖的面积 S=AB×r,r 为△ABC 的内切圆的半径. 62+AB2-72 1 在△ABC 中,由余弦定理可知 cos A= = , 2×6×AB 5 ∴5AB2-12AB-65=0,∴AB=5.
1 ∴S△ABC=2×6×5×sin A=6 6,又 O 为△ABC 的内心,故 O 到△ ABC 各边的距离均为 r,此时△ABC 的面积可以分割为三个小三角形的 面积的和,

1 1 ∴S△ABC= (6+5+7)×r,即 (6+5+7)×r=6 6, 2 2 2 6 ∴r= 3 , 2 10 所求的面积 S=AB×r=5×3 6= 3 6.

? 【答案】 A

? 【高手支招】 利用平面向量基本定理确定动点轨迹图 形或建立系数间的等量关系,是平面向量基本定理创新 命题的一大亮点,常与面积轨迹图形的判断,最值的求 法相交汇.

→ → 1. (2012 年高考广东卷)若向量BA=(2,3),→ =(4,7),则BC=( CA A.(-2,-4) C.(6,10) B.(2,4) D.(-6,-10)

)

解析:利用向量加法的坐标运算求解. → → ∵CA=(4,7),∴AC=(-4,-7). → → → → ∵BC=BA+AC,∴BC=(2,3)+(-4,-7)=(-2,-4).

? 答案:A

? 2.(2011年高考重庆卷)已知向量a=(1,k),b=(2,2), 且a+b与a共线,那么a·b的值为( )

? A.1
? C.3

B.2
D.4

? 解析:a+b=(1,k)+(2,2)=(3,k+2). ? ∵a+b与a共线,∴k+2-3k=0,解得k=1. ? ∴a·b=(1,1)·(2,2)=4.

? 答案:D

本小节结束
请按ESC键返回


相关文章:
4-2 平面向量基本定理及坐标表示
4-2 平面向量基本定理及坐标表示_数学_高中教育_教育专区。由莲山课件提供 http...2 答案:D 二、填空题 7.(2014 年衡阳六校联考)已知向量 a=(2,-1),b=(...
第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
第4第2节 平面向量基本定理及坐标表示_物理_自然科学_专业资料。2010~2014 年高考真题备选题库 第4第2节 A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,...
4-2 平面向量基本定理及坐标表示
4-2 平面向量基本定理及坐标表示_高考_高中教育_教育专区。[A 组 基础演练·...2 答案:D 二、填空题 7.(2014 年衡阳六校联考)已知向量 a=(2,-1),b=(...
(2)平面向量的基本定理及坐标表示
(2)平面向量基本定理及坐标表示_数学_高中教育_教育专区。第二节 ??? ? A.(4,6) C.(-2,-2) 平面向量基本定理及坐标表示 ??? ? ??? ) B.(-...
第4章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
第4第2平面向量基本定理及坐标表示_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...第四章一、选择题 第二讲 A 组 基础巩固 → 1→ 1. 已知 M(3, -2),...
第四章 第二节平面向量的基本定理及坐标表示 - 副本
第四第二节平面向量基本定理及坐标表示 - 副本_高三数学_数学_高中教育_教育专区。此文档为高三文科数学专题复习,是郫县厚璞教育的内部资料,分享给大家!Hope...
导学案 第二节 平面向量基本定理及坐标表示
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个 一对实数 λ1,λ2,使 a= 组. 2.平面向量的坐标运算 (1)...
第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示
2009~2013 年高考真题备选题库 第 4 章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第 2 节 平面向量基本定理及坐标表示考点 平面向量基本定理及坐标表示 1 1. ...
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
第二节 平面向量基本定理及坐标表示 强化训练 1.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c用a和b可以表示为( A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+...
...:第4章 第2节 平面向量基本定理及坐标表示
高考数学热点题型训练:第4第2节 平面向量基本定理及坐标表示_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高考数学热点题型训练第二节 平面向量基本定理及坐标表示 考点一...
更多相关标签: