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一元二次不等式及其解法教案


一元二次不等式及其解法
第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式 的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等 式与相应函数、方程的联系,获

得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事物之间普遍联 系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。一元二次不等式是高中数学中最基本 的不等式之一,是解决许多数学问题的重要工具,本节课的主要内容就是一元二次不等式的解法 【教学难点】 一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间的关系。理解并掌握利用二次函数的图象确定一 元二次不等式解集的方法即图象法,其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解,不等式的解 集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。 由于学生年龄及认知规律等因素, 要真正掌握有一定的难度。 【学情分析】 我班中等程度偏下的学生占大多数,程度较高与程度较差的学生占少数。学生数学基础差异不大,但进一 步钻研的精神相差较大。学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点,会画一元二次 函数的图象,也会通过图象去研究理解函数的性质,初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式 的解集,因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法,从认知规律上讲,应该是容 易理解的。在教学中加强师生互动,尽多的给学生动手的机会,让学生观察、讨论,在实践中体验三者的 联系,从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。 【教学内容分析】 一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合、函 数等知识的巩固和运用具有重要作用,也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关, 许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具 有很强的基础性和工具性的作用。 【教学过程】 一.设置情景,导入新课 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型: x ? 5x ? 0 …………………………(1)
2

二.引导探究,获得新知 1)一元二次不等式的定义 【让学生分析探究不等式①的特点,并让学生回答。 】 x 生:这个不等式的特点:含有一个未知数 ;未知数 x 的最高次数是 2;是整式不等式。 【教师肯定后,点明像这样的不等式,叫一元二次不等式,然后鼓励学生下定义。 】 生:一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式不等式,称为一元二次不等式。 【学情预设】不等式①的特点学生容易找出,如果一个学生分析不全,可让其他学生补充。 【设计意图】引导学生抽象出一元二次不等式模型,让学生感受从特殊到一般的数学思维方法,发展学生 抽象思维能力。 象 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不等式
2

1

2)探究一元二次不等式 x2 ? 5x ? 0 的解集
师:如何求解一元二次不等式呢?请以不等式① x ? 5x ? 0 为例,探究一元二次不等式的解法。
2

【学生按小组讨论、交流。教师巡视。 】 【学情预设】学生可能会因式分解,将不等式化 x ? x ? 5? ? 0 时,问到转化为不等式组 ?

? x?0 或 ?x ? 5 ? 0

?x ? 0 求解。学生提出的问题,想法非常好,应给予肯定和鼓励,这是解不等式的另一种解法——等 ? x ? 5 ? 0 ?
价转化法,不是本节课研究的重点。 师:能不能利用数形结合思想求解一元二次不等式?请看屏幕上的引例 2。 (1)复习回顾 【引例 2】 ①如何作一元一次函数 y=2x-7 图象? ②根据所作的图象回答下列问题: x 取_3.5_时, y=0 即 2x-7=0; x 取大于 3.5_时, y>0 即 2x-7>0; x 取小于 3.5 时, y<0 即 2x-7<0。 ③根据图象回答:不等式 2x-7>0 的解集为: ?x | x ? 3.5? ;不等式 2x-7<0 的解集为: x | x ? 3.5? ;不等 式 2x-7≥0 的解集为: ?x | x ? 3.5? ;不等式 2x-7≤0 的解集为: ?x | x ? 3.5? 。 【学生动手操作画图。教师适当帮助同学回顾一次函数图象的画法。引导学生观察图象得出结论。 】 生:①令 x=0 则 y=-7,得到点(0,-7) ;令 y=0 y 则 x=3.5,得到点(3.5,0) 。经过两点作直线即得函数 y=2x-7 3.5 的图象,如图所示: x 【学情预设】根据维果斯基的“最近发展区理论” ,教学应着眼 o 于学生的最近发展区。发展的过程就是不断把最近发展区转化为 7 现有发展区的过程,即把未知转化为已知、把不会转化为会、把 不能转化为能的过程。所以这个环节能够顺利完成。 【设计意图】以学生熟悉的画一次函数图象入手,使学生自觉地把一次函数图象与一次方程以及一次函数 紧密联系起来, 从而感受函数与方程、 函数与不等式之间的关系。 并为后面的二次不等式的学习作好铺垫。 同时也可使学生在自己熟悉的问题中体验学习的乐趣。 (2)从特殊到特殊,类比探究 师:请类比上面的求解一元一次不等式方法,利用数形结合思想探究一元二次不等式 x ? 5x ? 0 的解法
2

?

【引导学生类比、联想,探究一元二次不等式的解法。学生按小 组讨论、交流、合作。教师巡视。鼓励学生上讲台,利用多媒体 演示自己的成果。小组代表发言,展示小组成果】 小组代表:我们小组经研究认为,该问题共三个步骤: 第一步,画出函数 y= x ? 5 x 的图象,如图所示:
2
15

y

y = x2

5?x

第二步,根据图象完成以下三个问题: ①图象与 x 轴的交点坐标为 (0,0) (5,0) 该坐标与方程 x ? 5x ? 0 的解的关系:交点的横
2
-10

10

5

0 -5

5

10

x

2

-10

坐标即为方程的根 ② 当 x 取 x=0,5 时,y=0 ;当 x 取 x<0 或 x>5 时,y>0 ; 当 x 取 0<x< 5 时,y<0 . ③由图象写出解集 不等式 x ? 5x ? 0 的解集为:﹛x|0<x<5﹜ .
2

【设计意图】 从考察二次函数 y= x ? 5 x 与一元二次方程 x ? 5x ? 0 的关系出发, 借助二次函数 y= x ? 5 x
2 2 2

图象的直观性,获得对一元二次不等式解集的感性认识,通过类比上面的求解一元一次不等式的方法,让 学生按小组讨论、交流、合作避免学生走弯路,揭示一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间 的关系,突破本节课的难点。 (3)从特殊到一般,深入探究 师:由一元二次不等式的一般形式可知,任何一个一元二次不等式,最后都可以化为

ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的形式, 而且我们已经知道, 一元二次不等式的解与其相应的一
元二次方程的根及二次函数图象有关,即由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应 的一元二次不等式的解集. 如何讨论一元二次不等式的解集呢?请结合上面的一元二次不等式

x2 ? 5x ? 0 求解过程,总结一下。
【由教师演示几何画板制作的课件(如图) ,上下拖动 P 点,观察 ? 的值以及抛物线与 x 轴相关位置,引 导学生得出一元二次不等式

y

ax ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?
2

的解集应分为

y ? ax2 ? bx ? c

? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 三种情况讨论,并让
学生完成以下表格】 小组代表:一元二次不等式 集:设相应的一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0?

的解 的

0

x

P 几何画板图形

2 两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不等式的

解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c 的图象

3

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

ax2 ? bx ? c ? 0的根

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?
2

b 2a

无实根

ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

?x x

1

? x ?x 2 ?

?
2

【学情预设】这个环节有一定的难度。当学生思维受阻时,教师要启发引导学生注意参照 x ? 5x ? 0 的求 解过程进行探究,组织引导学生展开交流讨论,寻求解二次不等式的一般规律。 【设计意图】完成由特殊到一般的抽象思维过程,最终形成结论。教师用多媒体演示直观地演示方程与函 数、方程与不等式之间的关系,组织学生自主探究和合作学习。关注学生自主探究、关注学生的个性发展, 鼓励学生勇于探究,培养学生思维的批评性。 三、例题讲解 例 1 求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集.
2

解:因为 ? ? 0 , 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解是 x1 ? x2 ?
2

1 . 2

所以,原不等式的解集是 ? x x ?

? ?

1? ? 2?

例 2 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

因为 ? ? 0 , 方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0 无实数解, 所以不等式 x
2

? 2x ? 3 ? 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? . 【教师巡视,学生自己动手求解;后学生演示解题过程,学生之间点评;最后教师点评,并板书例 2 解题过程, 重点强调解题步骤的规范性.】 【学情预设】学生自主求解以上不等式应该很顺利,但解题步骤写得可能不够规范,可能有的学生最后的结 果没有写成集合或区间的形式.例 3 列不等式组也不再是难点,但利用数轴写解集时可能出错. 【设计意图】巩固解一元二次不等式的方法,强调解题的规范性. 【题后小结】 解一元二次不等式的步骤是: (1)把不等式化成 a>0 的形式。 (2) 判定△与 0 的关系。 (3)求出相应方程的根。 (4)根据函数图象写出不等式的解集。 “一化二判三求四解” 四、练习与巩固
4

必作题 (1)课本第 80 的练习 1(1) 、 (3) 、 (5) 、 (6) (2)教材 P80 练习 A 第 1.(1) 、 (2). 选作题 (1)教材 P80,习题 3-3A 第 4 题 (2)一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x(辆)与创造的 价值 y (元) 之间有如下的关系:y ? ?2x2 ? 220x 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 【学情预设】必作题学生应该都能做出; 选作题(2)有一定的难度,但基础好的学生能够作出. 【设计意图】①解引例 1 中的第(2)题列出的不等式,目的在于回应课堂开题内容,使整个课堂教学形 成有机的整体,同时也提高学生的学习兴趣。②出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,分层练习使 学生在完成必修教材基本任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟, 使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而实现“以人为本”的教育理念 五、课堂小结 师: 这节课我们学习了一元二次不等式解法, 请同学们总结一下我们利用了什么数学思想方法进行了研究, 并求解一元二次不等式的步骤。 【学生作发言总结,总结数形结合思想及解一元二次不等式的步骤,教师点评后,展示下面的程序框图】 师:下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来,请同学们将判断框和处理框中的空 格填充完整. 学生活动:

开始
将原不等式化成一般形式 ax 2 +bx+c>0(a>0) =b 2 -4ac
?


方程a x 2 +bx+c=0 没有实数根 原不等式的解集为R


求方程a x 2 +bx+c=0 的两个根 x 1、 x 2


原不等式的解集为 ?x|___?

x 1= x 2 ?


原不等式的解集为 ? x|___ ? (x 1 <x 2 )

结束
【学情预设】 学生可能只把解一元二次不等式的步骤总结不够全面, 教师要引导学生进行详细的总结。
5

【设计意图】 ①通过学生总结和完成框图,让学生再一次巩固解一元二次不等式的步骤(可以从也应该 从多个角度进行) , 让学生体会求解方法,以便能将知识进行迁移。 ②总结本节课中所用到的数学思想方法, 主要为数形结合思想。 六、教学评价 (1)教材 P80,习题 3-3A 第 2 题. (2)教材 P81“习题 3-3B 第 1 题. 【设计意图】1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补救。 教学反思 1.本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习的情况, 创设问题情境,着眼于学生的最近发展区,引导学生探究,一步步得出一元二次不等式求解方法。其次,激 发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,分组讨论,为他们提供自主探究、合作交流的平台,改变学 生的学习方式。教学框图如下所示:

从实际问题中,建立一元二次不等式模型

类比一元一次不等式的解法,研究一元二次不等式的解法

从特殊到一般,得到一元二次不等式的一般解法 (三个二次之间的关系)

运用成果,解决问题

设计程序框图,归纳总结 2.板书设计 一元二次不等式及其解法 1. 一元二次不等式 2.三个二次之间的关系表 3.例题讲解

多 媒 体 区

3.为化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率,教学中借助信息技术弥补传统教学在直观感、立 体感和动态感方面的不足,部分课件使用几何画板,以动态形式演示出三个二次之间的关系的动态过程, 让学生直观形象地观察并得出结论。 4.在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法尤其是数形结合思想,让学生在活动中感受、体会数学思 想方法之重要,培养学生自觉得运用数学思想方法去分析、思考问题。 5.问题研讨:在本堂课中,有几个问题值得探讨譬如对一些同学提出的用等价转化思想求解一元二次不 等式问题,教师应该解释到什么程度;对二次项系数小于 0 的一元二次不等式求解问题是否应该详细归纳 等.这些问题要根据具体的课堂教学情况和学生的特点而定,我在本节教学中仅做了简单的说明,却收到 了预期的效果。
6


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