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江苏省金湖县实验中学高中数学奥赛辅导:因式分解(二)


内容: (1)待定系数法; (2)求根法; (3)双十字相乘法; (4)轮换对称法。 一.因式分解: (待定系数法)

(1) x 2 ? 2 xy ? 8 y 2 ? 2 x ? 14 y ? 3 (2) x 2 ? 3xy ? 2 y 2 ? 4 x ? 5 y ? 3 (3) 2 x 2 ? 3xy ? 9 y 2 ? 14x ? 3 y ? 20 (

4) x 4 ? x 3 ? x 2 ? 2
二.因式分解: (求根法) (因式定理:若 a 是一元多项式 f (x) 的根,即 f (a)=0 成立,则多项式 f (x) 有一个因式 x-a.)

(1) x 3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 4 ( 2) x 3 ? x 2 ? 10x ? 6 (3) 4 x 4 ? 4 x 3 ? 9 x 2 ? x ? 2 ( 4) x 5 ? 1
三.因式分解: (双十字相乘法)

(1) x 2 ? 2 xy ? 8 y 2 ? 2 x ? 14 y ? 3 ( 2) 3x 2 ? 4 y 2 ? 3z 2 ? 8 xy ? 8 yz ? 10xz (3) 2 x 2 ? 7 xy ? 22 y 2 ? 5 x ? 35y ? 3 ( 4) x 2 ? 3xy ? 10 y 2 ? x ? 9 y ? 2 (5) x 2 ? y 2 ? 5 x ? 3 y ? 4 (6) xy ? y 2 ? x ? y ? 2 (7) 6 x 2 ? 7 xy ? 3 y 2 ? xz ? 7 yz ? 2 z 2 (8) x 2 ? xy ? 2 x ? y ? 3
四.因式分解: (轮换对称法)

(1) a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc
5

( 2) xy ?x 2 ? y 2 ? ? yz ? y 2 ? z 2 ? ? zx ?z 2 ? x 2 ? (3) ? x ? y ? z ? ? ? y ? z ? x ? ? ?z ? x ? y ?
5 5

? ?x ? y ? z ?

5

( 4) a 3 ?b ? c ? ? b 3 ?c ? a ? ? c 3 ?a ? b ?
五.求证: x ? 2 xy ? y ? x ? y ? 4 不能分解为两个一次因式的乘积。
2 2

六.已知 x ? 6 x ? 13x ? kx ? 4 是一个完全平方式。
4 3 2

七.若 6 x ? 5xy ? 4 y ? 11x ? 22y ? m 可以分解为两个一次式的积,求 m 的值并将多项式
2 2

分解因式。 八.多项式 2 x ? 3x ? ax ? 7 x ? b 能被 x ? x ? 2 整除,则
4 3 2 2

a ? _______ b

九.若多项式 kx 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 3x ? 5 y ? 2 能分解成两个一次因式的积,求 k 的值。 十.若多项式 x ? mx ? nx ? 16 含有因式 ?x ? 1?和?x ? 2? ,则 mn=________
4 3

十一. 设 n 是奇数,试证: n ? 1 能被 8 整除。
2

十二. 习题:

(1) (3)

x 2 ? 4 xy ? 3 y 2 ? 10 y ? 25

( 2) 3x 2 ? 4 xy ? y 2 ? 5 y ? 3 y ? 2

?x ? y ? z ?3 ? x 3 ? y 3 ? z 3

( 4) 6 x 2 ? 7 xy ? 2 y 2 ? 8 x ? 5 y ? 2 (5) x 5 ? 1 ( 6) x 4 ? x 3 ? x 2 ? 2
十三. 若

x 6 ? x 5 ? 17x 4 ? 5x 3 ? 64x 2 ? 4 x ? 48 ? ?x ? a ??x ? b??x ? c??x ? d ??x ? e??x ? f ?,


a ? b ? c ? d ? e ? f ? ______,
2 2

abcdef ? _____

十四. 二次多项式 x ? 2kx ? 3k 能被 x ? 1 整除,那么 k 的值是______


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