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2-1函数基本性质


2-1 函数
知识梳理 (一)函数的概念与表示方法 1.映射:设 A、B 是两个非空的集合,如果按照某种对应关系 f ,对于集合 A 的任何一个元
素,在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射,记作

f:A ? B .(包括集合 A,B 及 A 到 B 的对应法则)
对映射概念的认识 (1) f:A ? B 与 f:B ? A 是不同的,即 A 与 B 上有序的.或者说:映射是有方向的. (2)集合 A、B 可以是数集,也可以是点集或其它类型的集合. (3)集合 A 中每一个输入值,在集合 B 中必定存在唯一输出值.输出值的集合是集合 B 的子 集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到对应的输入值. 即:(i)不允许集合 A 中有空余元素; (ii)允许集合 B 中有剩留元素; (iii)允许多对一,不允许一对多. 2.函数:设 A、B 是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f ,使对于集合 A 中的任 意一个数

x ,在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应。称 f:A ? B 为从集合 A

到集合 B 的一个函数,记作: y ? f ( x) , x ? A (1)函数的定义域、值域: 在函数 y ? f ( x) , x ? A 中,x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与x的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值 f ( x) x ? A 的集合 B 叫做函数的值域. 注意:(i)函数符号 y ? f ( x) 与 f ( x ) 的含义是一样的;都表示 y 是 x 的函数,其中 x 是自变 量, f ( x ) 是函数值,连接的纽带是法则 f 。 f 是单值对应。 (ii)定义中的集合 A,B 都是非空的数集,而不能是其他集合; (2)一个函数的构成要素:定义域、值域和对应关系 (3)相等函数:两函数定义域相同,且对应关系一致,则这两函数为相等函数。 注: 两个函数的定义域与值域相同,这两函数不一定是相等函数。 如:函数 y ? x 和 y ? x ? 1 ,其定义域与值域完全相同,但不是相等函数;

?

?

y ? sin x 与 y ? cos x ,其定义域为 R ,值域都为[-1,1],显然不是相等函数。
因此判断两个函数是否相等,关键是看定义域和对应关系 (4)函数的表示方法:表示函数的常用解析法、图象法和列表法。 (5)分段函数:若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来 表示,这种函数称为分段函数。
1

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集 ,其值域等于各段函数的值域的并集, 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。 (6)复合函数:设 y ? f (u ),u ? g ( x) ,当 x 在 u ? g ( x) 的定义域中变化时, u ? g ( x) 的值 在 y ? f (u ) 的定义域 Df 内变化,因此变量 x 与 y 之间通过变量 u 形成的一种函数关系,记 为: y ? f (u ) ? f [ g ( x)] 称为复合函数,其中 x 称为自变量, u 为中间变量, y 为因变量(即 函数)。 如:设 f ( x) ? 2 x ? 3 ,g ( x) ? x ? 2 则称 f [ g ( x)](或g[ f ( x)]) 为复合函数。
2

f [ g ( x)] ? 2( x 2 ? 2) ? 3 ? 2x 2 ? 1 ; g[ f ( x)] ? (2x ? 3) 2 ? 2 ? 4x 2 ? 12x ? 11
(二)函数的单调性
1.函数单调性定义:对于给定区间 D 上的函数 f(x),若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D, 当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 ) <f(x 2 ),则称 f(x)是区间 D 上的增函数,D 叫 f(x)单调递增 区间. 当 x 1 <x 2 时,都有 f(x 1 )> f(x 2 ),则称 f(x)是区间 D 上的减函数,D 叫 f(x)单调递减 区间. 2.函数单调性的判断方法: (1)定义法.步骤是: ①任取 x 1 ,x 2 ∈D,且 x 1 <x 2 ②作差 f(x 1 )- f(x 2 )或作商

f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? 0? ,并变形, f ?x1 ?
f ?x2 ? 与 1 的大小, f ?x1 ?

③判定 f(x 1 )- f(x 2 )的符号,或比较 ④根据定义作出结论. (2)图象法;借助图象直观判断.

(3)复合函数单调性判断方法:设 y ? f ?u ? , u ? g ? x ? , x ??a, b? , u ??m, n? 若内外两函数的单调性相同,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在 x 的区间 D 内单调递增, 若内外两函数的单调性相反时,则 y ? f ? ? g ? x ?? ? 在 x 的区间 D 内单调递减. (同增异减)

2

3.常见结论 若 f(x)为减函数,则-f(x)为增函数 ; 若 f(x)>0(或<0)且为增函数,则函数
1 在其定义域内为减函数. f ( x)

(三)函数的奇偶性
1、函数奇偶性定义: 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数; 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数. 2、函数奇偶性的判定方法:定义法、图像法 (1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. (2)函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对 称. (3)利用图像判断函数奇偶性的方法: 图像关于原点对称的函数为奇函数,图像关于 y 轴对称的函数为偶函数. 3、函数奇偶性的性质: 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性; 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性. 4、 (1)奇函数、偶函数的定义域关于原点对称。若 x 是定义域中的一个数值,则 ?x 也必然 在定义域中,因此,函数 y ? f ( x) 是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关 于原点对称。换言之,所给函数的定义域若不关于原点对称,则这个函数必不具奇偶性。 (2)若奇函数 f ( x ) 在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 。
3

(3) F 1 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为偶函数, F2 ( x) ? f ( x) ? f (? x) 为奇函数。 (4)函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的,而单调性是相对于定义域内某个区间而言 的,是局部性质

例题精讲 【题型一、函数相等】
【例 1】下列各对函数中,相同的是() A、 f ( x ) ? x , g ( x ) ?

x2 x

B、 f ( x) ? x , g ( x) ? 3 x3

C、 f ( x) ? x , g ( x) ? ( x )2 D、 f ( x) ? x2,g ( x) ? x 【方法技巧】两个函数,必须要定义域相同,对应关系也相同才是相等函数。

【题型二、定义域】 【例 2】求下列函数的定义域。 (1) f(x)=
x?3 x ?2
2

; (2) f(x)= x ? 1 -

x 2? x



【方法技巧】求函数定义域的主要依据: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义

【题型三、复合函数的定义域】
【例 3】已知f( x)的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。 【例 4】已知f(2 x- 1)的定义域是[-1,3],求f(x)的定义域 。

【方法技巧】求函数定义域的两个难点问题复合函数的定义域求法: (1)已知 f ( x) 的定义域为 ( a, b) ,求 f [ g ( x)] 的定义域; 求法:由 a ? x ? b ,知 a ? g ( x) ? b ,解得的 x 的取值范围即是 f [ g ( x)] 的定义域。 (2)已知 f [ g ( x)] 的定义域为 ( a, b) ,求 f ( x) 的定义域; 求法:由 a ? x ? b ,得 g ( x) 的取值范围即是 f ( x) 的定义域。

【题型四、值域】
【例 5】.求下列函数的值域 1、 y ?

1 x 2. y ? ? x ? 2x ? 1 3. y ? x ? 2x ? 3 x ?1
2

【方法技巧】
4

1.直接观察法:对于一些比较简单的函数, 如正比例,反比例,一次函数,等等, 其值域可通过 观察直接得到。 2.配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数) ; 3.换元法(无理函数,部分三角函数;形如 y ? af ( x) ? bf ( x) ? c 的函数)
2

4.分离常数法 5.变量反表示法(利用变量及已学过函数的有界性,来确定函数的值域。 )

a1 x 2 ? b1 x ? c1 6.判别式法( 形如 y ? (a1 , a2不同时为 0) 分式函数) a2 x 2 ? b2 x ? c2
7.函数的单调性法: a.形如 y ? ax ? b ? cx ? d ,若 ac ? 0 用单调性法, ac ? 0 用换元法; b.形如 y ? x ? 别关注 y ? x ?

k k k (k ? 0) 若 x与 不能相等, 用单调性法,x与 能相等, 用不等式法 (特 x x x
k (k ? 0) 的图象及性质) x

8.不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 y ? x ? 时必须用函数单调性) 9.数形结合法

k k (k ? 0) 型函数,当 x与 不能相等 x x

【题型五、函数的解析式】
【例 6】已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求函数 f(x)的解析式。(待定 系数法)

【例 7】已知 f(2x+1)=3x-2,求函数 f(x)的解析式。(换元法)

【题型六、单调性的判断】
【例 8】写出下列函数的单调区间 (1) y ? kx ? b, (2) y ?

k , x

(3) y ? ax ? bx ? c .
2

【题型七、用定义法证明单调性】
【例 9】判断函数 f(x)= x ?

1 在(1,2)上的增减情况.? x
5

【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别,记好步骤。

【题型八、单调性的运用】
【例 10】已知 f ( x) ? (?k 2 ? 3k ? 4) x ? 2k ?1 在 R 上是增函数,则 k 的取值围. 【例 11】函数 f ( x) ? x ? (m ?1) x ? 2 在 ( ??, 4] 上是减函数,则求 m 的取值围.
2

【题型九、应用函数奇偶性求值、求解析式】
【例 12】 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时,f ( x) ? x3 ? x ? 1 , 求 f ( x)

的解析式。

【题型十、有关函数奇偶性的综合问题】
【例 13】若函数 f ( x ) 和 g ( x) 都是奇函数,且 F ( x) ? af ( x) ? bg ( x) ? 2 在 (0, ??) 上

有最大值 5,则 F ( x) 在 (??, 0) 上()
A、有最小值-5 C、有最小值-1 B、有最大值-5 D、有最大值-3

巩固提高
1. 函数 y ?

4 ? x2 ?(x+2)0 的定义域为__________________. x ?1
f (2 x ) 的定义域是_________ x ?1
( )

2.若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0, 2] ,则函数 g ( x ) ? 3.已知 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) =.
2

3.若 y ? f ? x ? 的定义域是 ? 0, 2? ,则函数 f ? x ? 1? ? f ? 2x ? 1? 的定义域是 A. ??1,1? B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , ? 2 2

?1 3? ? ?

D. ?0, ? 2

? 1? ? ?

4. 设 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 为 R , 且 对 x, y ? R, 恒 有 f

y ? ?f ? ? x ? f? , 若 y ? x?

f ? 8? ? 3, 则f

? 2? ?(



6

A. ?

1 2

B.1

C.

1 2

D. R , 当

1 4
时 ,

5 、 设 偶 函 数

f ( x ) 的 定 义 域 为

f(x)是增函数,则 f (?2),f (? ),f (?3) 的大小关系是( )
A.f(π )>f(3) >f (2) B.f(π )>f(2)>f(3) C.f(π )<f(3)<f(2) D.f(π )<f(2)<f(3) 6.若函数 = . 7.若 y=(m-1)x +2mx+3 是偶函数,则 m =_________. 8. 下列函数中,在区间 上为增函数的是( ).
2

满足

,并且

时,

,则当

时,

A. 9. A. B.

B. 在 C.

C.

D. ) 。

上是减函数,则 a 的取值范围是( D.

10.若函数 f ( x) 在区间(a,b)上为增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f ( x) 在区间(a,c)上( ) (A)必是增函数 (C)是增函数或是减函数

(B)必是减函数 (D)无法确定增减性

11.设偶函数 f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? ?0,??? 时, f ( x) 是增函数,则 f (?2), f (? ) ,

f (?3) 的大小关系是 ( )
A f (? ) ? f (?3) ? f (?2) C f (? ) ? f (?3) ? f (?2) B f (? ) ? f (?2) ? f (?3) D f (? ) ? f (?2) ? f (?3)

12.已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ??) 单调递增,则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是

1 3

A. (

1 2 , ) 3 3

B. ( ? ?,

2 ) 3

C. (

1 2 , ) 2 3

D. ? ,?? ?
7

?2 ?3

? ?

13.若 f ( x) ? ?

x ?1 ?(3a ? 1) x ? 4a 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围是( x ?1 ? log a x
1 3
C. [ , )



A. (0,1)

B. (0, )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

8



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