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时间序列分析与动态数据建模


第五章目录
第五章 极大熵谱估计................................................................................................................... 1 5.1 谱熵和极大熵准则 .......................................

................................................................... 1 1.问题的提出................................................................................................................. 1 2.高斯过程的熵和熵率 ................................................................................................. 1 3.功率谱和熵率的关系 ................................................................................................. 3 5.2 极大熵准则的谱估计 ..................................................................................................... 6 5.3 极大熵谱估计的伯格算法 ............................................................................................. 9 5.4 极大熵谱估计的 LS—LUD 算法 ................................................................................. 16

第五章

极大熵谱估计

1967 年伯格(J.P.Burg)刚一发表:极大熵谱分析”的方法就在工程和科技界产生很大 影响, 成为相当流行的功率谱密度估计方法。 伯格在谱估计准则的提出和具体算法上有所创 新,由此演变出来的算法有很多种,被统称为“现代谱分析” 。

5.1

谱熵和极大熵准则

1.问题的提出
从 19 世纪未舒斯特(Schuster)在利用富氏级数分析信号隐含的周期特性时提出了“周期 图” ,到 1985 年由伯来克曼和杜奇提出了谱估计的“间接法”和 1965 年 FFT 算法提出后流 行的“直接法” ,它们本质上都是把原序列经过开窗截取处理来获得对序列谱密度的估计。 不论对数据加窗还是对自相关函数加窗, 其目的都在于使谱估计的方差减小, 然而加窗不可 避免地产生频域“泄漏” ,使功率谱失真,尽管在窗函数形式的选择和处理方法上做了很多 分析研究, 使得以周期图为基础的方法达到相当成熟和实用的程度, 但是任何抑制旁瓣的方 法都是以损失谱分辨力为代价的,这个难题在数据量少的情况下更为突出。 问题的实质是:在周期图估计中,我们对数据或是它的相关函数所做的加窗处理,等 于是假定在窗口外数据(或自相关)为零,而窗口内的部分则加上某种形式的修正。这些人为 措施使来自观察的信息受到了一定程度的歪曲。 伯格提出的新概念是;和估计的功率谱相对应的自相关和由观察数据算得的自相关一 致,同时对已有的区段之外的自相关值采用外推的办法求取,而不是一概假定为零,外推的 原则是使相应的序列在未知点上取值的可能性具有最大的不确定性, 亦即不对结果人为地强 添任何增加的信息。 数学家申农最早提出“熵”的概念,在统计学中用它作为各种随机试验的不肯定性程 度的度量。在热力学和信息论中, “熵”都有其具体的物理背景和应用。后面介绍将会看到, 满足熵极大的谱估计是自回归模型的谱。1971 年凡登包士(Van Den Bos)证明,一维极大 熵谱估计和自回归谱的最小二乘估计是等效的。 尽管如此, 伯格关于熵谱估计的概念和他对 自回归参数的递推算法却独树一帜, 随后还有人提出了各种改进算法, 但要注意把极大熵概 念本身同等法区别开来。

2.高斯过程的熵和熵率
假定我们研究的随机试验 a 只有有限个不相容的结果 A1 , A2 ,L , An , 它们相应的概率为

P( A1 ), P( A2 ),L , P( A n ) ,且满足 ∑ p ( Ai ) = 1 ,简单描述如下:
i =1

n

? ? A2 , L , An ? A1 , ? ? α :? ? ? ? P ( A1 ) , P ( A2 ) , L , P ( An ) ? ? ?
1

申农找到并证明了可以用 H (α ) 这个量来度量 α 的不肯定性的程度:

H (α ) = ?∑ P ( Ai ) log P ( Ai )
i =1

n

或简写成:

H (α ) = ?∑ pi log Pi
i =1

n

H (α ) 称为试验 α 的熵
当随机变量的可能取值是连续的,则 H 定义式中的和式用积分代替


H = ? ∫ p( x) log p( x)dx = ? E[log p( x)]
?∞

(5-1-1)

其中 p ( x ) 为随机变量,对数可以取 10 或取 e 为底,在比较熵的大小时并没有影响,下 面为计算方便均以自然对数 ln 来定义, x 为正态随机变量,p ( x) = 如 则有
2 2 1 e? x /(2σ x ) , σ x 2π

H = 1nσ x 2π e

(5-1-2)

进一步, 如果讨论的是时间序列的实现 {x1 , x2 ,L , xN } 则这一过程的熵用下面 N 维积分 表示:

H = ? ∫ p( x) ln p( x)dx
?∞



(5-1-3)

其中 p ( x) 是联合概率密度函数 p ( x1 , x2 ,L , xN ) ,若时间序列是高斯的,则

1 p ( x) = [(2π ) N det Rx ]?1/ 2 exp[? ( x ? ? x )T Rx?1 ( x ? ? x )] 2
其中 Rx 为自协方差阵

(5-1-4)

? Rx (0) Rx (1) L Rx ( N ? 1) ? ? ? ? ? ? Rx (?1) Rx ≡ Rx (0) L Rx ( N ? 2) ? ? ? ? LL ? ? R (1 ? N ) R (2 ? N ) ? L Rx (0) ? x ? x

(5-1-5)

它的 i 行 j 列元素为 Rx ( j ? i ) = E[( xi ? ? x )( xi ? ? x )], ? x为xi 或x f 的均值,? x 表均值向 量。 将式(5-1-4)代入式(5-1-3)求过程 x 的熵

2

H x = ? ∫ p ( x)ln[(2π ) N det Rx ]?1/ 2 dx +
?∞



1 ∞ p ( x)( x ? ? x )T Rx?1 ( x ? ? x )dx 2 ∫?∞
(5-1-6)

∞ 1 1 ∞ ln[(2π ) N det Rx ]∫ p ( x)dx + ∫ trRx?1 ( x ? ? x )( x ? ?)T P( x)dx ?∞ 2 2 ?∞ 1 1 = ln(det Rx ) + N ln 2π + trRx?1 Rx 2 2 1 = ln(det Rx ) + N ln 2π e 2

=

式(5-1-6)就是长度为 N 的正态时间序列的熵。若有正态白噪声 ε (方差为 σε ) ,则
2

P(ε1 ,L , ε N ) = p(ε1 ) p(ε 2 )L p(ε N )
2 ln(det Rε ) = N ln σε = 2 N ln σε

可求得其熵为

H ε = ? E[ln(( p(ε1 ) p(ε 2 )L p(ε N ))] = N ln σε 2π e
由于 H 随 N 增长而发散,定义熵率 h 为

(5-1-7)

h = lim
故白噪声过程的熵率为

N ←∞

H N

(5-1-8)

hε = loσε 2π e
3.功率谱和熵率的关系
下面给出功率谱和熵率间的一些重要性质和关系。 (1)如果随机向量 y ≡ ( y1 , y2 ,L yN )T 是随机向量 x ≡ ( x1 , x2 ,L xN ) ,则由于

(5-1-9)

y = Ax
其中 A 是 N×N 非奇异矩阵,X 的联合概率密度为 p ( x1 , x2 ,L xN ) ,则由于

(5-1-10)

p( y1 , y2 ,L , yN ) =
可得

1 p( x1 , x2 ,L , xN ) A

(5-1-11)

H y ≡ Hy1 , y2 ,L , y N = ? E[ln p ( x1 , x2 ,L , xN ) ] A
(5-1-12)

= ? E[ln p ( x1 , x2 ,L , xM ) ? ln A ] = Hx1 , x2 ,L , xN + ln A = ? E[ln p ( x1 , x2 ,L , xN ) + ln A ]

3

(2)若 xt 是一个稳定的因果系统的输入,该系统的传递函数为 G(B)(这在单位园内无 极点) ,系统单位脉冲响应为 gt 。设 xt 在 t = ?∞ 时开始输入,因而系统输出 yt 是平稳的, 以 hx和hy 分别表示x和y的熵率,则

hy=hx+
其中

1 1/ 2 2 ∫?1/ 21n G( f ) 2

(5-1-13)

G ( f ) = G (e? j 2π f ) = G ( B) B=exp( ? j 2π f )
证明:若 xt 在 t=0 时开始输入,则系统输出为

(5-1-14)

yt = ∑ xt ?i gi
i =1

t

(5-1-15)

t → ∞时 yt 趋于平稳的yt 。式(5-1-15)是随机变量 { x0 , x1 ,L , xt } 通过线性变换 Ax
成为随机变量 y0 , y1 ,L , yt ,这里

{

}

? g0 0 ? ?g g 0 ? 0 ? 1 ? A= ?LL ? ? ? ? g t g t =1 K g 0 ?
det A = g t +1
根据式(5-1-12)得

H y = H x + (t + 1) ln g 0
除以(t+1)并令 t → ∞ 则

hy = hx + ln g 0
现 在 只 要 证 明 ln g 0 等 于 式 ( 5-1-13 ) 中 的 第 二 项 积 分 就 够 了 。 由 于

G ( f ) = G ( f )G (? f ) , B = exp(? j 2π f ) 情况下有
2



12

?1 2

ln G ( f ) df =
2

?1 -1 ?1 ∫ 顺 B ln[G ( B ) G ( B )]dB 2π j

这里的线积分是沿单位园进行的,因





B -1 ln G ( B ) dB =





B ?1 ln G ( B ?1 )dB

4

故式(5-1-13)中的第二项积分等于

?1 2π j





B ?1 ln G ( B )dB ,所以需要证明

ln g 0 =

?1 2π j





B ?1 ln G ( B )dB

由 于 G(B) 在 单 位 园 内 是 解 析 的 , 所 以 上 式 中 的 积 分 路 线 可 以 任 意 小 , 当

B → 0时G ( B ) = g 0 。故上式右边等于
证明完成。

?1 ?1 ln g 0 ∫ B ?1dB = ln g 0 ( ?2π j ) = ln g 0 , 顺 2π j 2π j

(3)若 xt 是正态过程,其功率谱 Gx ( f ) 满足


则有

12

?1 2

ln Gx ( f )

(5-1-15)

hx = ln 2π e +
注:

1 12 ln Gx ( f )df 2 ∫?1 2

(5-1-16)





和∫ 分别表示顺时针和逆时针方向的围道积分。


这一结论是不难看出的,因为非白正态过程的功率谱密度 Gx ( f ) 可以看作是方差为 1 的白噪声通过频率响应模的平方等 Gx ( f ) 的线性系统所产生的过程的谱,因此利用式 (5-1-13)和(5-1-9)就可导出式(5-1-16) 。 式(5-1-16)给出了过程的功率谱密度和它的熵率之间的关系式,由于右边第一项是常 数, 比较 hx 的大小等价于比较第二项积分的大小, 因此称 并以它作为推导极大熵谱估计的出发点。 例如已知过程 xt 的方差为 σ x ,即
2



12

?1 2

ln Gx ( f )df 为序列xt 的谱熵,


伦日乘子作泛函

12

?1 2

Gx ( f )df =σ 2 x

(5-1-17)

要导出能使 hx 为最大的功率谱 Gx ( f ) 。这个问题可以通过求泛函极值来解决。以 λ 表拉格

J (Gx ) = ∫ =∫
其变为

12

?1 2 12

ln Gx ( f )df ? λ ∫

12

?1 2

Gx ( f )df

?1 2

[ln Gx ( f ) ? λGx ( f )]df

5

δJ (Gx ) = [

? J (Gx + αδGx )]α=0 ?α 12 ? [ln(Gx + αδGx ) ? λ ( Gx + αδGx )]α=0 df =∫ ?1 2 ?α 12 1 =∫ [ ? λ]δGx ( f )df ?1 2 G ( f ) x

达到极值的条件为 δJ = 0 ,故应有 Gx ( f )=1 λ 代回式(5-1-17)可得 Gx ( f
2

)=σ2 , x

即 Gx ( f ) 必须为常数 σ x ,因此只有当过程为白噪声时才能使熵率达到最大,这里约束条件 是方差为 σ x 。
2

5.2

极大熵准则的谱估计
根据伯格所提出的概念,功纺谱密度估计的准则应当是: 设 G x ( f ) 表示估计的谱,则它在满足约束条件


的同时,应使谱熵

12

?1 2

G x ( f )e j 2π fr df = R (r )

?M ≤ r ≤ M

(5-2-1)



12

?1 2

ln G x ( f )df 达到极大,其中 G x ( f ) 是 f 的正、实、偶函数,这样对

应的 R(r)自然也是 r 的偶函数。 下面论证满足以上要求的 G x ( f ) 所应具有的形式。 设已知自相关函数 R(r)在 ? M ≤ r ≤ M 内的 2M+1 个值, λ 表拉格伦日乘子作泛函 以

J (Gx ) = ∫ =∫
12

12

?1 2 12

ln Gx ( f )df ? {ln Gx ( f ) ?

∑M λΚ ? ∫?1 2 Gx ( f ) e j 2π kf df ? R(k )? ? ? ? ? K =?
12 M

M

?1 2

∑M λΚ [Gx ( f ) e j 2π kf ? R(k )]}df K =?

M ? δJ = ∫ {ln(Gx + αδGx ) ? ∑ λΚ e j 2π kf ( Gx + αδGx )} α=0 df ?1 2 ?α K =? M M 12 1 =∫ [ ? ∑ λΚ e j 2π kf ]δGx ( f )df ?1 2 Gx ( f ) K =? M

由 δJ = 0 得

G x ( f )=1
这里应有

∑ (λΚ e j 2π kf ) K=-M

M

(5-2-2)

6

λ ?κ = λ? κ
以保证 G x ( f ) 是实的。将式(5-2-2)代入式(5-2-1)得

(5-2-3)

R (r ) = ∫
用后移算子 B = e
j 2π kf

12 M

e j 2π kf
K=-M

?1 2

∑ (λΚ e

j 2π kf

df )

0≤r ≤M

(5-2-4)

代替变量 f ,上式所写成

R (r ) =

?1 j 2π

∫顺

B ? r ?1
K =? M



M

λκ B

?k

dB =

1 j 2π

∫逆

B ? r ?1
K =? M



M

dB
?k

λκ B

0≤r≤M

(5-2-5) 该积分沿 B 平面单位园进行,基于式(5-2-3)有

∑M λ κ B ? k = Λ*M ( B ?1 ) Λ M ( B ) K =?
M

(5-2-6)

其中: Λ* M

( B ?1 ) = ∑ α κ B?k
M K =0 m K =0

Λ Μ ( B ) = ∑ α? B k κ
不难看出
? M ?1 * * * Λ* ( B ?1 ) Λ Μ ( B ) = aM a0 B ? M + ( amM ?1 a0 + aM a1 ) B ( ) + L M * * * + ( a0 a0 + a1 a1 + L + aM aM ) + L

* * * + ( a0 aM ?1 + a1aM ) B M ?1 + L a0 aM B M



λΚ =

M ?k

∑ α?ι ai+k =λ??κ i =0
*

多项式 Λ Μ ( B ) 的全部零点均在 B 平面单位圆外, Λ M 而

( B ) 的全部零点均在单位圆
?1

内,两部分零点是互为倒数分布的。将式(5-2-6)代入式(5-2-5)得

1 R (r ) = j 2π
构造和式

B ? r ?1 ∫逆 Λ*M ( B ?1 ) Λ M ( B )dB

0≤r ≤M

7

∑ ακ R(
k =0

M

r ?k )

= ∑ α κ B ? k R ( ?r + k ) = ∑ α κ B ? k R ( ?r )
k =0 k =0 M

M

=

1 j 2π

0 ∫逆 Λ*M ( B ?1K)=Λ M ( B ) dB

B r ?1 ∑ α ι B ? k

M

1 = j 2π

B r ?1 ∫逆 Λ M ( B )dB

r ≥0

由于 Λ Μ ( B ) 在单位圆内没有零点,上式被积函数除了 r=0 时有极点在原点外,r≥1 时 在单位圆内是解析的,根据柯西留数定理可得
* ?1 a0 ? ∑ α κ R ( r ? k ) = ?0 k =0 ? ? M

r=0 r = 1, 2,L , M

详细写,就是
* r = 0 a0 R ( 0 ) + a1 R (1) + L + aM R ( M ) = 1 ao

r = 1 a0 R (1) + a1 R ( 0 ) + L + aM R ( M ? 1) = 0
LL

r=M
若令

a0 R ( M ) + a1 R ( M ? 1) + L + aM R ( 0 ) = 0

α κ a0 = ak
* 1 (a0 a0 ) = P M 或

k = 0,1,L , M a0 = 1 PM
2

(5-2-7)

则有

K =0

∑α

M

κ

?p R( r ?k ) = ? m ?0

r=0 r = 1, 2L , M

(5-2-8)

利用式(5-2-7)可将式(5-2-6)写成

∑M λ κ B ?k= PM k =?
其中

M

1

* AM ( B ?1 ) AΜ ( B )

(5-2-9)

* AM ( B ?1 )=∑ α κ B ? k M k =0

* AΜ ( B ) = ak B k

将式(5-2-9)代入式(5-2-2) ,并考虑到 G x ( f ) 的偶函数性质,得

8

G x ( f )=

PM 1 + ∑ ake? j 2π kf
k =1 M 2

(5-2-10)

由结果可以看出,在已知头 M+1 个相关函数值时,以它作为约束条件推出的极大熵谱 是 AR 模型的功率谱。 一般情况下,我们直接观察到的是过程 xt 的数据,并不知道相关函数的准确值。因此 通常根据
M ? ? xt + ∑ ai xt ?i ? 为最小来求 ai , 这将得到一组 n 个方程, 其形式和式 (5-2-8) ∑+1 ? i=1 t =M ? ? N

一样,只是用估计的自相关代替 R(r),所以当采用这种估计值时,极大熵法和最小二乘法估 计的结果是相同的。

5.3

极大熵谱估计的伯格算法

上面已经指出,由于不确切知道头 M+1 个自相关的真值一般只能用它的估计值代替, 在第三章中提到的两种估计算式为

R I (r ) =


1 N

N ?||r ||

∑ t =1

xt xt +||r||

R II (r ) =

1 N?r

N ?||r || t =1

∑ xx

t t +||r ||

R I 是非负定的,方差较小,但估计偏度随 r 增加而增大。R 是渐近无偏的,但不能保
证非负定性质。 因此以上两种算法各有不足之处。 伯格采用的算法是从一阶模型开始逐步增 加阶数的递推算法, 每步递推都能保证相应的自相关序列是非负定的, 而且得到的模型也是 平稳的,不仅如此,从后面介绍还可看出,由于采用了双向(正、反)预报误差平方和为最 小, 提高了数据的利用率, 充分挖取数据内含的信息, 因此特别有利于短数据的分析和建模。 先看一阶模型

xt+a1(1) xt +1 = εt
这里上标是用来标明它属于一阶模型,以下都用它作为递推次数的记号,对平方和

η′(a )=∑ ( xt + a x
(1) 1 t=2
(1)

N

(1) 1 t =1

)

2

(1) 作极小化来选择 a1 时可能会出现 a1 > 1 ,从而使模型不平稳,例如序列值为 1,2 时

η′(a1(1))=( x2 + a1(1) x1 ) =( 2 + a1(1) )
2

2



9

(1) ?η′(a0 )? a1(1)=2 ( 2 + a1(1) )=0 ? a1(1)= ? 2

由于在均方意义下最优的模型参数只取决于序我的自相关而非序列值本身, 而序列按反向的 时间顺序排列并不改变自相关函数(见 2.1 节) ,伯格提出以
2 2 η (a1(1) )=∑ ?( xt + a1(1) xt ?1 ) + ( xt ?1 + a1(1) xt ) ? ? ? t=2 N

?

?

作极小化来求 a1 ,上式右边第二个括弧内的 xt =1 + a1 xt 可以看作是由 xt “预报” xt ?1 的
(1) (1)

误差,不难看出,由此得到的 a1 =
(1)

?∑ 2xt xt ?1

∑(x

2 t

+x

2 t =1

)

满足 a1

(1)

< 1 。因此这种将正

反双方预报误差的平方和作极小化的办法在一阶的情况下是可行的如果自然地推广到二阶, 则有
(2) (2) (2) (2) η ( a1(2) , a2 ) = ∑ ?( xt + a2 xt ?1 + a2 xt ? 2 ) 2 + xt ? 2 + a1(2) xt ?1 + a2 xt ) 2 ? ? ? N t =3

对它作极小化求 a1 , a2

(2)

(2)

然而伯格指出,这样求得的模型参数并不总能满足平稳性条件,但他注意到利文森 (Levinson)提出的递推算法可以做到这一点,这种算法由 AR(1)推出 AR(2)是按以下关 系:

? 1 ? ? 1 ? ? 0 ? ? a (2) ? = ? a (1) ? + c ( 2) ? a (1) ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? 1 ? (2) ? a2 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
(2) (2) 伯格决定不由 η a1(2) , a2 对a1(2) , a2 ,作极小化,而是把 η 看作是 c2

(

)

( 2)

的函数,然后

对 c2

( 2)

极小化 a1 已由η(a1 = min 求得) ( ,为此写出
(1) (1)

η ( c (2) ) = ∑ ?( xt + a1(1) + c (2) a1(1) ) xt =1 + c (2) xt = 2 ? ? ( ?
N t =3

{

2

+ [ xt ? 2 + a1(1) + c (2) a1(1) ) xt ?1 + c (2) xt ]2 } ( = ∑ {[ xt + a1(1) xt ?1 + c (2) (a1(1) xt ?1 + xt ? 2 )]2
N t =3

+ [ xt ? 2 + a1(1) xt ?1 + c (2) a1(1) xt ?1 + xt ]2 } ( = ∑ {[ε (1) +c (2) ε ? ]2 + [ε (1) + c (2) ε + ]2 } + ?
(1) (1)

N

t =3

其中

ε(1) = xt + a1(1) xt ?1 +

ε(1) = xt ? 2 + a1(1) xt ?1 ?

ε (1) 表示一阶模型的正向预报误差, (1) 表示相应的反向预报误差。 ?η(c (2) ) ?c (2) = 0 ε? 由 +
10

可得

c (2) = ?∑ (2ε(1) + ε (1) ) + ?
t =3

N

∑ (ε(1) 2 + ε(1) 2 ) + ? t =3

N



∑ (ε
(2)

(1) +

+ ε (1) ) 恒大于零,可以证明 c (2) ≤ 1 。后面将会看到这对模型的平稳性和自 ?

2

相关函数的非负定性都是很关键的。 求c 后,AR(2)的参数是

? ? 1 ? ?1 ? a (2) ? = ? a (1) + c (2) a (1) ? 1 ? ? 1 ? ? 1 (2) ?c (2) ? ? a2 ? ? ? ? ?
从 AR(2)向 AR(3)递推的方式和前面类似,令

? 1 ? ? 1 ? ? 0 ? ? a (3) ? ? a (2) ? ? (2) ? ? 1 ? = ? 1 ? + c (3) ? a2 ? (3) (2) ? a2 ? ? a2 ? ? a1(2) ? ? (3) ? ? ? ? ? ? 1 ? ? a3 ? ? 0 ?
于是
(2) (2) η ( c (2) ) = ∑ {[( xt + a1(2) + c (3) a2 ) xt =1 + (a2 + c (3) ( N t =3

a ) xt ? 2 + c (3) xt =3 ]2 + [ xt ?3 + a1(2) + c (3) (
(2) 1 (2) a2 ) xt = 2 + a2 + c (2) a1(2) ) xt =1 + c (3) xt ]2 } ( (2)

= ∑ {[ε (2) +c (3) ε (2) ]2 + [ε (2) + c (3) ε (2) ]2 } + = ? +
t =3

N

其中 ε + ,ε ? 分别为二阶模型的正掺向预报误差
(2)
(2) (1) ε(2) = xt + a1(2) xt ?1 + a2 xt ? 2 = ε + + c (2) ε(1) + ? (2) (1) (1) ε(2) = xt ?3 + a1(2) xt ? 2 + a2 xt ?1 = ε1 + c (2) ε + ?

(2)

同样,由 ?η(c (3) ) ?c (3) = 0 求得

c
且有 c (3) ≤ 1

(3)

= ?∑ (2ε(2) ε(2) ) + ?
t =4

N

∑ (ε(2)2 + ε(2)2 ) + ?

这样的梯推继续下去,到 M 阶时的一般算式有

ε(0) = xt +

ε(0) = xt ?1 ?

t = 1, 2,L , N

11

c( M ) = ? +(ε ε
(M ) ?

t =M +2 ( M ?1) 2 ?



N

( ( 2ε +M ?1) ε ?M ?1)

) ] +c
( M ) ( M ?1) +

ε(+M ) = ε (+M ?1) + c ( M ) ε (?M ?1) =ε
( M ?1) ?

ε

( aiM = αi( M ?1) + c ( M ) aMM??i ) i ( aMM ) = c ( M )

? [(ε (+M ?1) )2 ? t =M +2 ? ? ? ? ? ? ? i = 1, 2,L , M ? 1? ? ? ? ?



N

(5-3-1)

现在来看 P M 和自相关函数值的递推式,令

P0 = R x ( 0 ) =

1 N

∑x
t =1

N

2 t

阶数从 1 起 R x ( M ) 和 P M 的递推计算将利用自相关函数阵的对称托普里茨 (Toeplitz) 性质, 以二阶向三阶递推为例,由式(5-2-8)写出

? R x (0) R x (1) R x (2) ? 1 P ? ?? ? ? 2? ? a (2) ? = ? 0 ? ? R x (1) R x (0) R x (1) ? 1 ? ? ? (2) ? ? ? ? ? ? ? ? R x (2) R x (1) R x (0) ? ? a2 ? ? 0 ? ? ?
如果将该矩阵所对应的议程组及变量的顺序反过来,则有

(5-3-2)

? R x (0) R (1) R x (2) ? ? a (2) ? 0 ? ?? 2 ? ? ? ?0? (2) ? R x (1) R x (0) R x (1) ? ? a1 ? = ? ?? ? ? ? ? ? ? R x (2) R x (1) R x (0) ? ? 1 ? ? P2 ? ? ?
把式(5-3-2)的相关阵放大到 4×4;可得

(5-3-3)

? R x (0) R x (1) R x (2) R x (3) ? 1 P ? ?? ? ? 2 ? ? a (2) ? ? 0 ? ? R x (1) R x (0) R x (1) R x (2) ? 1 ? ? ? ? (2) ? = ? ? a2 ? ? 0 ? ? R x (2) R x (1) R x (0) R x (1) ? ? ? ? 0 ? ? ? (3) ? ? R x (3) R x (2) R x (1) R x (0) ? ? ? ? ?
其中
(2) ? (3) = R x (3) + a1(2) R x (2) + a2 R x (1)

(5-3-4)

(5-3-5)

对式(5-3-3)也作类似扩大,然后将两个 4×4 阵按下面方式组合

12

? R x (0) R x (1) R x (2) R x (3) ? 1 ? P2 ? ? ?? ? ? a (2) ? ? a (2) ? ? R x (1) R x (0) R x (1) R x (2) ? 1 ? ? + c (3) ? 2 ? ? ? (2) (1) ? a2 ? ? R x (2) R x (1) R x (0) R x (1) ? ? a2 ? ? ? ? ?? 0 ? ? ? ? 1 ? ? R x (3) R x (2) R x (1) R x (0) ? ? ? ?? ? P2 ? ? ? 0 ? ? ? + c (3) ? 0 = ? 0 ? 0 ? ? ? (3) ? ? P2 ?? ? ?
(3)

(5-3-6)

? ? ? ? ? ? ?
0 0 0] ,于是有
T

根据式(5-3-1)中关于自回归参数的递推关系可见上式左边有关参数的矩阵乃是三阶 模型的参数 [1 a1
(3) (3) a2 (3) a3 ]T ,因此上式右边等于 [ P3

? P3 = P2 + c (3) ? (3) ? (3) (3) ? 0 = ? + c P2
解之得 P3 = 1 ? c (3)2 P2 利用式(5-3-5)和式(5-3-7)得
(2) R x (3) = ?c (3) P2 ? a1(2) R x (2) ? a2 R x (1)

(5-3-7)

(

)

推广到一般,可综合如下递推算式:

P0 = R x ( 0 ) =

1 N

∑x
t =1

N

2 t

(5-3-8)

PM = PM ?1 (1 ? c ( M ) 2 ) R x ( M ) = ?c ( M ) PM ?1 ? ∑ ai ( M ?1) R x ( M ? i )
i =1 M ?1

(5-3-9)

(5-3-10)

以上三式和(5-3-1)诸式组成了一套极大熵谱估计的伯格递推算法(程序见附录二 MEBURG) 。 (1) 递推所得的参数满足平稳性条件,即
( AM ( B ) ≡ 1 + a1( M ) B + L + aMM ) B M = 0

的根全部在 B 平面单位圆以外,或者等效地说

AM ( B ) = (1 ? λ1 B )(1 ? λ 2 B )L (1 ? λ M B ) = 0
中任一 λ i 都满足 λ i < 1 。 证:令 B = e
? j 2π t

并将 λ i 表为 λi

= λi e j 2π ti ,则 λi B 应当是一个半径小于 1 的圆,

。这必等价于当 f 由-1/2 时变到 或者说 (1 ? λ i B ) 是圆心在(1,0)但不包围原点的圆(见图 5-1)
13

图 5-1

AM ( B ) 的根满足平稳条件时的曲线
B =exp( ? j 2 π f )

1/2 时 (1 ? λ i B ) 的幅角增量为零。当全部 λ i 的模均小于 1 时, AM ( B ) 量也是零,或 AM ( B) 而今
( AM ( B) = 1 + a1( M ) B + L + aMM ) B M

总的幅角增

B=exp( ? j 2π f )

曲线不包围原点。

( ? ( ? = (1 + a1( M ?1) B + L + aMM?11) B M ?1 ) + c ( M ) (aMM?11) B

+ L + a1( M ?1) B M ?1 + B M )
( ? = (1 + a1( M ?1) B + L + aMM?11) B M ?1 )[+ c ( M ) B M

+L + a a B B +1 ] ( M ?1) ( M ?1) M ?1 1 + a1 B + L + aM ?1 B = AM ?1 ( B)[1 + c M B M
这里模

( M ?1) M ?1

? M ?1

( M ?1)

?1

(5-3-11)

AM ?1 ( B ?1 ) ] AM ?1 ( B)

BM
故当 c ( M ) < 1时
?1 ( M ) B M AM ?1 ( B ) 1+ c

AM ?1 ( B ?1 ) ≡1 AM ?1 ( B) B =exp( ? j 2π f )

AM ?1 ( B)

是不包围原点的,即式(5-3-11)右边[·]部分的
B=exp( ? j 2π f )

零点都在 B 平面单位圆外,如果前一步递推得到的 AM ?1 ( B ) 已满足平稳条件,则 AM ( B ) 也
(1) 将满足平稳条件。由于从一阶开始递推时已有 a1 < 1 ,且以后每步递推均有 c ( i ) < 1 ,因

此每步递推所得的参数必然均能满足平稳条件。 (2)递推所得的自相关序列满足非负定条件。 证:由于 c
(M )

≤ 1 ,根据式(5-3-9)必有 0 ≤ PM ≤ PM ?1 。再以 R x 表示由 R x (0) ,

(M )

R x (1) …, R x ( M ) 构成的相关函数阵,则式(5-2-8)可写成

14

? 1 ? ? PM ? ? (M ) ? ? 0 ? (M ) a R x ? 1 ?= ? ? ? M ? ? M ? ? (M ) ? ? ? ? aM ? ? 0 ?
由克莱姆法则知
(M )

det R x

= PM det R x
(0)

( M ?1)

由于 det R x =R x =P0 > 0, 而1 ? c 次递推所得的 det R x
(M )

(0)

(0) 2

≥ 0, 故P ≥ 0, 同样有P2 ≥ 0,L , 按归纳法可知每 1

> 0 ,因此上述递推算法得出的 R(0),(1), ,(M) Rx L Rx 序列构 x

成正定列。 关于由极大熵谱获得的模型阶数问题,由式(5-2-10)可见,其阶数 M 是已给自相关 估值的最大迟后, 当数据个数为 N 时最大可能的迟后值为 N-1, 这可能并非是过程的真正阶 数。而另一方面,如果序列本身是无限阶的 AR 模型(如 ARMA 模型的等效) ,需要很高的 阶数才能逼远真正的过程,这时已给相关的最大迟后所定出的阶数又可能太小。当然,M 估计 R(M) 的精度也愈低,所以取很大的阶数未必就好。鉴于极大熵是 AR 愈大,用 R(M) x x 谱,我们可以利用诸如 FPE、AIC、BIC 等定阶准则进行检验和判定。 下面的例子是一组由

xt = 3sin{0.05[2π (t ? 1)]} + ε t
产生的 20 个数据 (t = 1, 2,L , 20) 其中 ε t 是白噪声, 它的标准差约为正弦振幅的 5%, 一个 xt 的纪录为 0.1410, 1.0509, 1.7826。 2.6804, 3.0536, 2.9605, 2.7524, 2.1767, 1.6413, 1.371, 0.1217, -0.9359, -1.8501, -2.5495, -2.5454, -2.9358, -3.0448, -2.2961, -1.7726, -0.9091(见图 5-2) ,利用 MEBURG 程序计算可得最佳阶数 n = 6( FPE准则) a1 = ?1.1563, a2 = 0.5342,

a3 = ?0.6381, a4 = 0.6302, a5 = ?0.6210, a6 = 0.5751 最小残差方差为 0.0304。
图 5-3 为极大熵谱曲线,其峰值出现在 0.046 H Z 处。

图 5-2

20 点数据图

15

图 5-3

20 点数据的极大熵谱 AR(6)

这里需要指出的是, 用自回归模型拟合只适用于有谱密度的序列, 对正弦信号而言其谱 密度在给定频率处为无穷。这个例子只是说明根据短的序列样本以极大熵谱估计谱线的位 置,即正弦振荡的频率。 极大熵谱估计的伯格算法程序见附录二 MEBURG。

5.4

极大熵谱估计的 LS—LUD 算法

伯格在极大熵基础上提出的算法,由于采用了较合理的外推和正反向误差平方和的极小 化,比传统的方法提高了分辨力。或者说在同样的分辨力下只需要较少的数据量。在伯格方 法引起人们广泛重视和应用的同时, 也发现其不足之处, 这就是 “谱峰偏移” “谱线分裂” 和 , 前者是指峰值频率估值和真值之间的偏离度, 后者是指本来只有一个谱峰, 但在估计谱中却 出现两个或多个相距很近的谱峰。这类现象在耶尔一瓦克尔的 AR 谱估计中也是存在的(凯 伊(Kay)和马波(Marple)已曾指出过),而伯格算法依然存在这两个问题。泛杰尔(Fougere)首 先指出;当数据中信噪比高以及所取阶数较高的情况下,伯格算法容易产生谱线分裂,在用 周期为了的正弦信号叠加白噪声作样本进行分析中发现,当数据长度为 T/4 的奇数倍,以 及正弦的初始相位为 π 4 的奇数倍时也容易出现分裂。谱峰偏移也和初始相位有关。而数 据量加大,谱线分裂和谱峰偏移量都会减弱。 为了解决上述问题,人们已经并且还在做出努力,通常在研究中都采用正反向预报误 差,而实践结果表明,AR 模型的最小二乘(LS)解的频率偏移小,在短数据下,不受托普里 茨(Toeplitz)矩阵形式限制的 LS 方法可以得到更好的结果。不过 LS 方法计算量大模,型结 果可能非平稳等问题则需要妥善解决。 这方面近几年来已取得一些肯定的结果, 本节介绍的 LS-LUD 算法就是在最小二乘方法基础上采用上下三角阵分解(LUD)的算法求解 AR 谱。 我们知道。 若给定时间序列为 x1 , x2 ,L , xN , 当用 n 个既往观察数据作一步正向预报时。 其预报误差为

? ε t+ ≡ xt ? xt+
其中

(5-4-1)

? xt+ = ∑ ?i+ xt ?i
i =1

n

t = n + 1, n + 2,L , N

(5-4-2)

16

根据 LS 准则,

∑ (ε
i =1

n

+ 2 t

) = min, 可以确定系数?i+ 。

类似地,当用 n 个后来观察数据作反向预报时。其预报误差记作

? ε xt? ≡ xt ? xt?
其中

(5-4-3)

$? xt = ∑ ?i? xt +i
i =1

n

t = 1, 2,L , N ? n

(5-4-4)

而 ?i 可由

?

N ?n i =1

∑ (ε

? 2 t

) = min 的准则确定

利用矩阵方程表示时。式(5-4-1)可写成

X + ? + ? Y+ = E+
其中

(5-4-5)

? xn xn ?1 L x1 ? ?x x L x2 ? ? X + ≡ ? n +1 n ?LL ? ? ? ? xN ?1 xN ? 2 L x N ? n ?
+ + ? + ≡ [?1+ , ? 2 ,L?n ]T

Y+ ≡ [ xn +1 , xn + 2 ,L x N ]T
+ + + E+ ≡ [ε n +1 , ε n + 2 ,L , ε N ]T

式(5-4-5)是含有 n 个未知参数的 N-n 个方程组。残差平方和记作
T Q+ ≡ E+ E+

根据 ?Q+ ??i =0 可得 n 个方程式——正规方程:
+
T T $ X + X + φ + = X + Y+

(5-4-6)



$ R+ φ + = S +
其中
T R+ ≡ [ Ri+ , ] = X + X +

(5-4-7)

+ + T S + ≡ [ s1+ , s2 ,L , sn ]T = X + Y+

$ ? L? T $ $ φ+是φ+的LS 估计,即〔? 1 ,2 , ,n 〕
类似地,由反向预报误差可以得出正规方程
T T $ X - X -φ -=X -Y-







(5-4-8)
17



$ R? φ - = S ?
其中 R? ≡ [ Rij ] = X - X -
T ?

(5-4-9)

? x2 x3 LL xn +1 ? ? x x LL x ? 4 n+ 2 ? ? 3 X? ≡ ?LL ? ? ? ? xN ? n +1 xN ? n +3 L xN ?
$ $ $ $ φ ? = [? 1 ? 2 L? n ]T
? ? ?

Y? = [ x1 x2 L xN ? n ]T
T ? ? S ? ≡ [ s1? s2 L sn ]T = X -Y-

如果同时考虑正反向预报误差,并对两种预报采用同样的自回归系数

φ ≡ [?1 , ?2 ,L? n ]T ,则可写出含有这 n 个参数的 2(N-n)个方程式
Xφ ? Y = E
其中 (5-4-10)

?X ? ?Y ? ?E ? ? ? X ≡ ? + ? , Y ≡ ? + ? , E ≡ ? + ? , E ≡ [ε1?ε 2 Lε N ? n ]T X? ? Y? ? E? ? ? ? ?
而实现 Q ≡ E E = min 的正规方程为
T

$ Rφ = S
其中
T T R ≡ X T X = X+ X+ + X? X? T T S ≡ X T Y = X + Y+ + X ? Y?

(5-4-11)

实际确定参数的过程包含两大步骤,一是正规方程的列写,二是正规方程的求解。一 般说,对于含 n 个未知参数的 M 个超定方程组,其正规议程的建立需要 Mn 2 2 次运算,用 巧列斯基(Cholesky)方法求解需要 n3 6 次运算(一次运算是指一个乘法或除法加上一个 加法或减法,在比较运算量时只考虑 M 和 n 的最高次幂) 。 对应于式(5-4-10) ,M=2(N-n),但在求解 AR 模型参数一特定情况下,由 n 阶建立 n+1 阶正规方程可以采用递推的方法,下面将表明:对于单向(正向或反向)预报来说,建立正 规议程的计算量为 n 2 +5n + 2)2 + ( N ? n ? 1) ,而对于双向预报的式(5-4-10) ( ,其计算量

( 为 n 2 +5n + 2)+( N ? n ? 1) 。由于阶数往往要从 1 开始搜索,在合适阶数未知的情况下,

18

从 1 到某个阶数 n2 逐个建立正规方程的总计算量为:

n3 n 2 n + ? 6 2 3 n3 3n 2 5n N (n + 1) + + ? ?3 3 2 6 N (n + 1) +

(单向) (双向)

以正向预报中由 n=2 推出 n=3 的情况为例,考虑到正规方程矩阵的对称性,只写它的 下三角部分

(2) R+

? N ?2 x x + ? R11(2) ? ? ∑ t +1 t +1 t =1 = ? + (2) + (2) ? = ? N ? 2 ? R21 R22 ? ? x x ? ? ? ∑ t t +1 ? t =1

? ? ? N ?2 ? ∑ xt xt ? t =1 ?
T

S

(2) +

= ?s ?

+ (2) + (2) T 1 2

s

N ?2 ? N ?2 ? ? = ? ∑ xt +1 xt + 2 ∑ xt xt + 2 ? ? t =1 ? t =1 ?

R

(3) +

+ ? R11(3) ? + = ? R21(3) ? R + (3) ? 31

R

+ (3) 22

+ R32(3)

? ? ? + (3) ? R33 ? ? ? ? ? ? ? N ?3 ? ∑ xt xt ? t =1 ?
T

? N ?3 ? ∑ xt +1 xt + 2 ? t =1 ? N ?3 = ? ∑ xt +1 xt + 2 ? t =1 ? N ?3 ? ∑ xt xt + 2 ? t =1

∑x
t =1 N ?3 t =1

N ?3

t +1 t +1

x

∑xx

t t +1

S

(3) +

N ?3 N ?3 T ? N ?3 ? + + = ? s1+ (3) s2 (3) s3 (3) ? = ? ∑ xt + 2 xt +3 ∑ xt +1 xt +3 ∑ xt xt +3 ? ? ? t =1 t =1 ? t =1 ?
(3)

注意到 R+ 中由 1 ≤ j ≤ i ≤ 2 构成的 2×2 子矩阵的各元素等于 R+ 中的元素减去 R+
(2)

(2)

元素所定义的内积中的第一项,即
+ + Rij (3) = Rij (2) ? x3?i x3? j

1≤ j ≤ i ≤ 2

(3) (2) R+ 最后一行中除了第一个元素外,都可由 R+ 的最后一行推得,即

R3+j(3) = R2+ j(2) ? xN ? 2 xN +1? j ?1
+ + R31(3) = R2 (2) ? xN ? 2 xN

2≤ j≤3

此外, S + 除了最后一个元素外,亦可由 S + 推得

(3)

(2)

Si+ (3) = Si+ (2) ? x3?i x3

1≤ i ≤ 2
19

S3+ (3) = ∑ xt xt + 3
t =1

N ?3

可见,除了要算一个内积 (元素S3 )外,R+ 和S + 中的其余元素只要一次运算便可
(3) (3)

+ (3)

求得。 一般情况下, R+ 和S+ 推出R+ 由
(n) (n) ( n +1) +(n 和S(+n +1)时,也只有元素sn +1 +1) 需要多于一次的运

算。 关于三种方式下正规方程的建立过程用编程格式列出如下: (1)正向预报方式算法
+ + Rn +1,1 ← sn ? xN ? n xN

for

j = 2,L , n + 1

do

+ Rn +1,1 ← Rn+,1?i ? xN ? n xN +1?i

for

i = 1,L , n

do

Ri+1,1 ← Ri+ ? xn +1?i xn +1?i + ,1 for i = 1,L , n do

si+ ← si+ ? xn +1?i xn +1
+ sn +1 ← N ? n ?1


t =1

xt xn xn +1+ t

(2)反向预报方式算法

Rn?+1,1 ← Sn? x1 xn +1 for j = 2,L , n + 1 do

Rn?+1,1 ← Rn?,1?1 ? x1 xn +1 for j = 1,L , i do

Ri? j ← Ri? j ? xN ? n +i xN ? n +1 , , for i = 1,L , n do

si? ← s ? ? xN ≡ xN ≡ n + i j

20

? sn +1 ←

N ? n ≡1


t =1

xt xn +1+ t

(3)双向预报方式算法

Rn +1, for
Rn +1,

1

← sn ? xN ≡ n x N ? x1 xn +1 j = 2,L , n + 1 do

j

← Rn ,

j ?1

? xN ≡ n x N +1≡ j ? x j xn +1

for i = 1,L , n do for
Ri ,
j

j = 1,L , i do
← Ri ,
j

? xn +1?i xn +1? j ? x N ? n +i xN ? n + j

for i = 1,L , n do
si ← si ? xn +1?i xn +1 ? x N ? n xN ? n +i sn +1 ← 2 ×
N ? n ?1


t ≡1

xn xn +1+t

关于 n×n 正规方程的求解,第一步是将 R(它是对称正定阵)分解成 LLT (L 为下三 角阵) ,所需运算量为 O ( n3 ) ,第二步是解 LΨ = S 得Ψ ,然后由 L Φ = Ψ解得Φ ,需要的
T

运算量为 O ( n 2 ) ,两步共需 n 6 + 3n 2 + O ( n ) 的运算,这样从 n= 到某一阶数 n 独立求 1
3 2

解所需的总计算量为 n 4 24 +7 n3 12 + O n 2 。 由于计算中采用了三角阵的分解 (巧列斯基 分解) ,故简称 LUD 算法(Lower and Upper Triangular Matrix Decomposition) 。 总的说来,在 N n 情况下,全部计算中占主要的计算是建立正规方程,虽然 LS-LUD 算法的计算量比伯格算法大,但相差不是数量级的。至于 LS-LUD 算法可能出现非平稳结 果(尽管实际出现的机会很小) ,可以通过把 AM ( B ) 的根映射到单位圆内的办法加以解决。 下面以一个短样本的正弦数据为例,用 LS-LUD 算法和 BURG 算法作比较,数据是

( )

0.03H Z 和0.2 H Z 正弦波的叠加(见图 5-4)以每秒 10 个采样共取 75 个数据点,因此可供
分析的周期数对 0.2 H Z 分量和0.03H Z 分量 而言分别是 1.5 周和 0.23 周。 计 算 结 果 的 功 率 谱 曲 线 如 图 5.5 各 图 所 示 。 两 种 算 法 的 曲 线 形 状 类 似 , (

图a, b, c分别对应于n=2,5 )表 5-1 列出出现峰值的频率。 3,

21

表 5-1 伯格算法 LUD 算法 AR(2) 0.13HZ 0.13HZ AR(3) 0,0.199 0,0.197 AR(4) 0.03,0.202 0.03,0.200 AR(5) 0.03,0.202 0.03,0.200

图 5-4 频率为 0.2 和 0.03Hz 的正弦信号

图 5-5

两个正弦信号的极大熵

22

图 5-6

谱线分裂示例

而伯格算法对于 可以看出从 n=4 开始 LUD 算法得出的熵谱已经能够得出真正的频率,

0.2 H Z 频率分量有 1%的估计偏移,如果进一步提高伯格算法的阶数,不但未能消除这种频
率偏移,而且出现谱线分裂,其值如下所列,可以看出这咱现象不因 n 的增加而消失。 AR(7)——0.201,0.206(图 5-6a) AR(10) ——0.201,0.205(图 5-6b) AR(12) ——0.201,0.205(图 5-6c) 应当指出,如果可用的数据周期较多(如 15 个以上) ,则伯格算法和 LS-LUD 算法结 果很接近。

图 5-7 512 点地极坐标数据 作为一个实例,我们根据地极坐标资料(见国际极移服务 1979 年年报)的 512 个数据, 采样间隔为 0.1 年。 (见图 5-7)计算的极大熵谱,由 LUD 算法所得的最佳阶数为 n=27(残

23

差平方和为 0.8676, 残差方差为 0.8945×10-3) 可以看出极移在 0.7~1.1 年-1 间有两个周期。 , (图 5-8)

图 5-8

地极坐标数据的极大熵谱

24


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