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2013高考数学一轮同步训练(文科) 7.1空间几何体的结构特征及三视图和直观图


2013 高考数学一轮强化训练 7.1 空间几何体的结构特征及三视图和直 观图 文 新人教 A 版
1.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5 cm、?4 cm、?3 cm,把它们重叠在一起组 成一个新的长方体,在这些长方体中,最长体对角线的长度是 ( ) A. 77 cm C. 5 5 cm B. 7 2 cm D. 10 2 cm

答案:C

解析:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为

77 、 98 、 125? 所以最长对角线的长度为 5 5 .
2.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则 该几何体的俯视图为( )

答案:C 解析:从正(主)视图看去掉的几何体在左上角,结合侧(左)视图可知其俯视图应为 C. 3.底面半径为 2 的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截,则截面圆的面积为. 答案: ? 解析:由题意知截面圆的半径为 1,所以截面圆的面积为 ? . 4.下面关于四棱柱的四个命题: ①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四?棱柱;? ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;

③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱; ④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱. 其中,真命题的序号是(写出所有真命题的序号). 答案:②④ 解析:①错,必须是两个相邻的侧面;②正确;③错,也可以是斜四棱柱;④正确,对角线两两相 等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形. 5.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,截 去的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长.

解:由圆台上、下底面积之比为 1∶16,设圆台上下底面的半径分别为 r、4r.圆台的母线长为 l,根据相似三角形的性质得 3 ? r ? 解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9 cm.

3?l

4r

题组一 空间几何体的结构特征 1.一长方体木料,沿图①所示平面 EFGH 截长方体,若 AB ? CD? 那么图②四个图形中是截面 的是… ( )

答 案:A 解析:平面 EFGH 与长方体的两个侧面的交线为 AB 、MN?

因为AB、MN 所在平面(侧面)互相平行,故AB、MN 无公共点? 又AB、MN 在平面EFGH内? 故AB ? MN ?同理易知AN ? BM ?

又 AB ? CD? 易知 AB ? 平面 BDM,∴ AB ? BM ? ∴截面 ABMN 为矩形. 2.一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是( )

A.372 B.360 C.292 D.280 答案:B 解析:该几何体是由两个长方体组合而成,底下的长方体长为 10,宽为 8,高为 2,故表面积为 232,上面的长方体长为 6,宽为 2,高为 8,故表面积为 152.总的表面积为

232 ? 152 ? 2 ? 2 ? 6 ? 360? 选 B.
3.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 答案:D 解析:A 错误.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面 都是三角形,但它不是棱锥. B 错误.如图(2)(3)所示,若△ABC 不是直角三角形,或是直角三角形但旋转轴不是直角 边,则所得的几何体不是圆锥.

C 错误.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D 正确. 题组二 几何体的三视图 4.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

A.2 C. 2

B.1 D. 1

3

3

答案: B 解析:三视图对应的几何体如图所示,其中 AC ? 平面 ABB′A′,AC=1,AB=?CC′ ? 2 .? 故所求几何体的体积 V ? Sh ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 1 .

2

5.如图,△ABC 为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′ ? 平面 ABC 且 3AA′ ? 3 BB ′=CC′=AB,

2

则多面体 ABC-?A′B′C′?的正视图(也称主视图)是…… (

)

答案: D 解析:主视图(正视图)是从几何体的正前方往后看,即几何体在后方的投影,故选 D. 6.如下图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 1 ? 则该几何体的俯

2

视图可以是 (

)

答案:C 7.一个几何体的正视图与侧视图都是边长为 2 的正方形,其俯视图是直径为 2 的圆,则该几何 体的表面积为.

答案:6 ? 解析:几何体是底面半径为 1,母线长为 2 的圆柱, ∴ S表 ? S侧 ? 2 S底 ? 2 ? ?2 ? 2 ? =6 ? . 题组三 几何体的直观图及斜二测画法 8.如图所示,△A′O′B′表示水平放置的△AOB 的直观图,B′在 x′轴上,A′O′和 x′轴垂 直,且?A′O′=?2,则△AOB 的边 OB 上的高为( )

A.2

B.4

C. 2 2

D. 4 2

答案:D 解析:设△AOB 中边 OB 上的高为 h,由直观图中边 O′B′与原图形中边 OB 的长度相等,及

S原图形 ? 2 2S直观图 ? 有 1 ? OB ? ?h=? 2 2 ? 1 ? 2 ? O ′B′, 2 2
∴h ? 4 2 . 9.如图,在斜二测投影下,四边形 A′B′C′D′是下底角为 45? 的等腰梯形,其下底长为 5,腰 长为 2? 则原四边形的面积是 .

答案: 8 2 解析:作 D′E′ ? A ′B′于 E′,C′F′ ? A ′B′于 F′,则 ?A′E′?=B′F′=A′D′cos45°=1, ∴C′D′=E′F′=?5-2=3.将原图复原,则原四边形应为直角梯形, ?A ? 90 °, AB=A′B′=5,CD=C′D′=3,?AD=2A′D ? 2 2 ? ∴

S四边形ABCD ? 1 ? (5 ? 3) ? ? 2 2 ? ? 8 2 . 2
10.已知正三角形 ABC 的边长为 a,求用斜二测画法作出的△ABC 的直观图△A′B′C′的面 积. 解:图①、②分别表示实际图形和直观图.

由②可知,A′B′=AB=a,O′C′ ? 1 OC ?

3 a? 在图②中作 C′D′ ? A ′B′于 D′,则 4 6 a .∴ S 1 A ′B′ ?C ′D′ ? 1 ? a ? 6 a ? 6 a 2 . C′D′ ? 2 O ′C′ ? ? A ' B 'C ? 2 2 8 2 8 16 2
)

题组四 空间几何体的综合问题 11.如图,几何体的正视图和侧视图都正确的是(

答案:B 解析:侧视图中,看到一个矩形且不能有实对角线,故 A、D 排除,而正视图中,应该有一条实对 角线,且其对角线位置应为 B 中所示. 12.如图是一个几何体的正视图和俯视图.?

(1)试判断该几何体是什么几何体; (2)画出其侧视图,并求该平面图形的面积; (3)求出该几何体的体积. 解:(1)正六棱锥. (2)其侧视图如图:

其中 AB ? AC ? AD ? BC ? 且 BC 的长是俯视图中正六边形对边的距离,即 BC ? 3a? AD 是正六棱锥的高,即

AD ? 3a?
2 ∴该平面图形的面积是 S ? 1 3a ? 3a ? 3 a .

2

2

(3)V ? 1 ? 6 ? 3 a 2 ? 3a ? 3 a 3 . 3 4 2
??


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