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【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征同步课件 新人教B版必修3


2.2.2

用样本的数字特征估计总体 的数字特征

2.2. 2 用样 本的 数字 特征 估计 总体 的数 字特 征

课前自主学案

课堂互动讲练

知能优化训练

学习目标 1.通过随机抽样, 掌握并会用样本的平均数及 通过随机抽样, 通过随机抽样 标

准差估计总体的平均数及标准差. 标准差估计总体的平均数及标准差. 2. 通过用样本的数字特征估计总体的数字特 . 感知总体的差异. 征,感知总体的差异. 3.通过数字反映样本数据某个方面的特征, .通过数字反映样本数据某个方面的特征, 进而估计总体情况,体会这种统计思想, 进而估计总体情况,体会这种统计思想,并培 养认识问题、分析问题、解决问题的能力, 养认识问题、分析问题、解决问题的能力,同 时也提高估算能力. 时也提高估算能力.

课前自主学案

温故夯基 1.频率分布表 , 频率分布直方图 , 频率分布 .频率分布表,频率分布直方图, 折线图. 折线图. 2.茎叶图. .茎叶图.

知新益能

1.用样本平均数估计总体平均数 . (1)平均数 平均数 如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么 x = x1+x2+…+xn 个数的平均数. 叫做这 n 个数的平均数. n

总体平均数. 总体中所有个体的平均数叫做_____________ 总体中所有个体的平均数叫做 总体平均数. 样本中所有个体的平均数叫做 样本平均数. 样本平均数. _______________ (2)样本平均数和样本频率分布直方图的联系 样本平均数和样本频率分布直方图的联系 样本平均数描述了样本数据的平均水平, ①样本平均数描述了样本数据的平均水平,也就 是把x = , 是把 i(i=1,2,…,n)都用 x 代替后,数据总和 都用 代替后, 保持不变, 所以平均数对数据有“ 取齐” 保持不变 , 所以平均数对数据有 “ 取齐 ” 的作 用. 在频率分布直方图中, ②在频率分布直方图中,平均数是直方图的平衡 点. (3)通常我们用样本平均数估计总体平均数 , 一 通常我们用样本平均数估计总体平均数, 通常我们用样本平均数估计总体平均数 般说来,样本容量越大,这种估计就越精确. 般说来,样本容量越大,这种估计就越精确.

2.用样本标准差估计总体标准差 . (1)标准差 标准差 考察样本数据的分散程度的大小, 考察样本数据的分散程度的大小 , 最常用的 统计量是标准差. 统计量是标准差 . 标准差是样本数据到平均 数的一种平均距离,一般用s表示 表示. 数的一种平均距离,一般用 表示.

1 s= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. = ( n 叫做方差, 标准差的平方 s2 叫做方差, 1 2 s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. .

样本数据 其中x 其中 n是____________,n是___________, , 是 样本个数 x , 样本平均数. 样本平均数. 是______________ 方差和标准差 (2)_________________ 是反映总体波动大小 的特征数,通常用样本方差估计总体方差, 的特征数 ,通常用样本方差估计总体方差,当 很接近 样本容量很大时, 样本方差________总体方 样本容量很大时 , 样本方差 总体方 差. 思考感悟 你能想到哪些措施, 你能想到哪些措施,可使用样本的数字特征估 计总体的数字特征更合理? 计总体的数字特征更合理? 提示: 改进抽样方法 使样本更具代表性. 改进抽样方法, 提示:(1)改进抽样方法,使样本更具代表性 (2)适当增加样本容量 适当增加样本容量. 适当增加样本容量 (3)剔除最大值、最小值,减少个别值对总体的 剔除最大值、 剔除最大值 最小值, 影响. 影响. (4)多种数字特征综合应用. 多种数字特征综合应用. 多种数字特征综合应用

课堂互动讲练

考点突破 样本平均数的计算
例1

一个球队所有队员的身高如下(单位 : 一个球队所有队员的身高如下 单位: 单位

cm): : 178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185 ,180,184,问这个球队的队员平均身高是多少?( ,问这个球队的队员平均身高是多少? 精确到1 精确到 cm)

【思路点拨】 思路点拨】

由题目可获取以下主要信息: 由题目可获取以下主要信息:

①已知所有球员的具体身高; 已知所有球员的具体身高; ②求球员的平均身高. 求球员的平均身高. 解答本题可利用平均数的公式计算; 解答本题可利用平均数的公式计算; 也可建立 新数据,再利用平均数简化公式计算. 新数据,再利用平均数简化公式计算.

法一:利用平均数的公式计算. 【解】 法一:利用平均数的公式计算. 1 x = ×(178+179+181+…+180+184) + + + + 14 1 = ×2523≈180. ≈ 14 法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算. 法二:建立新数据,再利用平均数简化公式计算. 取 a=180,将上面各数据同时减去 180,得到一组新数据: = ,将上面各数据同时减去 ,得到一组新数据: -2,- ,-1,1,2,- ,-4,0,3,- ,-4,3,- ,-5,1,5,0,4. ,- ,- ,- ,- 1 x ′= ×(- 2- 1+ 1+ 2- 4+ 3- 4+ 0+ 3- 5+ 1+ 5+0+ 4) - - + + - + - + + - + + + + 14 1 3 = ×3= ≈0.2. = 14 14 ∴ x = x ′+a≈0.2+180≈180. ≈ + ≈

法三:利用加权平均数公式计算. 法三:利用加权平均数公式计算. 1 x = ×(185×1+184×1+ 183×2+ 182×1+ 181×2+180×2 × + × + × + × + × + × 14 1 +179×1+178×1+176×2+175×1)= ×2523≈180. × + × + × + × = ≈ 14 法四:建立新数据,再利用加权平均数公式计算. 法四:建立新数据,再利用加权平均数公式计算. 1 x ′ = ×[5×1+ 4×1+3×2+ 2×1+ 1×2+ 0×2+ (-1)×1 × + × + × + × + × + × +- × 14 1 +(-2)×1+(-4)×2+(-5)×1]= ×3≈0.2, - × +- × +- × = ≈ , 14 ∴ x = x ′+a=0.2+180≈180. = + ≈

名师点评】 【名师点评】 (1)平均数公式是一个计算平 平均数公式是一个计算平 均数的基本公式, 在一般情况下, 均数的基本公式 , 在一般情况下 , 要计算一 组数据的平均数可使用这个公式. 组数据的平均数可使用这个公式. (2)当数据较大,且大部分数据在某一常数左 当数据较大, 当数据较大 右波动时, 法二”可以减轻运算量, 右波动时 , “ 法二 ” 可以减轻运算量 , 故此 法比较简便, 常数a通常取接近这组数据 通常取接近这组数据(大 法比较简便 , 常数 a 通常取接近这组数据 ( 大 约估计)平均数的较 平均数的较“ 的数, 约估计 平均数的较“整”的数,以达到简化 计算过程的目的, 常数a的取法并不唯一 的取法并不唯一, 计算过程的目的 , 常数 的取法并不唯一 , 比如本例中取a= 也可以. 比如本例中取 =181也可以. 也可以 (3)当一组数据中有不少数重复出现时,可用 当一组数据中有不少数重复出现时, 当一组数据中有不少数重复出现时 加权平均数公式来计算平均数. 加权平均数公式来计算平均数.

变式训练1 变式训练

从一批机器零件毛坯中随机抽

单位: 取20件,称得它们的质量如下 单位:kg): 件 称得它们的质量如下(单位 : 210 214 195 227 208 215 207 187 200 207 218 215 192 202 216 185 205 202 218 206

计算样本平均数(结果保留到个位 . 计算样本平均数 结果保留到个位). 结果保留到个位

1 4129 法一: 解:法一: x = (210+208+200+…+215)= + + + = ≈206(kg), , 20 20 即样本平均数为 206 kg. 法二:由于本题中样本数据较大, 左右波动, 法二:由于本题中样本数据较大,而且都在 200 左右波动,所以 可采用下面的解法: 可采用下面的解法: 将上面各数据同时减去 200,得到一组新数据: ,得到一组新数据: 10 8 0 5 2 18 6 14 15 7 -5 7 18 -8 2 16 -15 27 -13 15 1 计算这组新数据的平均数, 计算这组新数据的平均数 ,得 x ′ = (10+ 8+ 0+… +15)= + + + = 20 129 ≈6,于是所求的平均数是 x = x ′+200=206(kg). , = . 20

样本方差、 样本方差、标准差的计算
例2

为了保护学生的视力, 为了保护学生的视力 , 教室内的日光

灯在使用一段时间后必须更换, 灯在使用一段时间后必须更换,已知某校使用 的 100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 只日光灯在必须换掉前的使用天数如下 表.

天数 灯管数 天数 灯管数

151~ ~ 180 1 271~ ~ 300 25

181~ ~ 210 11 301~ ~ 330 16

211~ ~ 240 18 331~ ~ 360 7

241~ ~ 270 20 361~ ~ 390 2

(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命; 试估计这种日光灯的平均使用寿命; 试估计这种日光灯的平均使用寿命 (2)若定期更换,可选择多长时间统一更换合适? 若定期更换,可选择多长时间统一更换合适? 若定期更换

【 思路点拨】 总体的平均数与标准差往往是 思路点拨 】 很难求的, 甚至是不可求的, 很难求的 , 甚至是不可求的 , 通常的做法是用 样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与 标准差, 只要样本的代表性好, 标准差 , 只要样本的代表性好 , 这种做法是合 理的. 理的. (1) 各 组 中 平 均 值 可 近 似 取 为 【解】 165,195,225,255,285,315,345,375. 由此可算得平均数约为 165×1% + 195×11% + 225×18% + × × × 255×20% + 285×25% + 315×16% + × × × 345×7%+375×2%=267.9≈268(天). × + × = ≈ 天. 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天. ∴估计这种日光灯的平均使用寿命约为 天

(2)将各组中的值对于此平均数求方差. 将各组中的值对于此平均数求方差. 将各组中的值对于此平均数求方差 1 ×[1×(165- 268)2 + 11×(195- 268)2 + 18×(225- 268)2 + × - × - × - 100 20×(255 - 268)2 + 25×(285 - 268)2 + 16×(315 - 268)2 + × × × 7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60. × - × - = 故标准差为 2128.60≈46(天). ≈ 天. 天左右统一更换较合适. ∴标准差约为 46, , 故可在 222 天到 314 天左右统一更换较合适.

名师点评】 【名师点评】

(1)在刻画样本数据的分散程 在刻画样本数据的分散程

度时, 方差与标准差是相同的, 度时 , 方差与标准差是相同的 , 但在解决实 际问题时一般用标准差; 际问题时一般用标准差; (2)平均数和标准差是工业生产中监测产品质 平均数和标准差是工业生产中监测产品质 量的重要指标, 量的重要指标 , 当样本的平均数或标准差超 过了规定的界限时,就可能出现质量问题. 过了规定的界限时,就可能出现质量问题. 变式训练2 变式训练 计算数据

89,93,88,91,94,90,88,87的方差和标准 的方差和标准 标准差结果精确到0.1) 差.(标准差结果精确到 标准差结果精确到

1 解: x =90+ [(-1)+3+(-2)+1+4+0+(-2)+(-3)] + - + +- + + + +- +- 8 1 =90+ ×0=90. + = 8 得各数据为- ,- ,-2,1,4,0, 计算 xi- x (i=1,2,…,8)得各数据为-1,3,- = , 得各数据为 , ,-3. -2,- ,- 计算(x 计算 i- x )2(i=1,2,…,8)得各数据为 1,9,4,1,16,0,4,9. = , 得各数据为 1 44 2 计算方差 s = (1+9+4+1+16+0+4+9)= =5.5. + + + + + + + = 8 8 计算标准差 s= 5.5 ≈2.3. = 所以这组数据的方差为 5.5,标准差约为 2.3. ,

利用样本的数字特征估计总体的 数字特征 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零 乙两机床同时加工直径为 的零 为检验质量,各从中抽取6件测量 数据为: 件测量, 件,为检验质量,各从中抽取 件测量,数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; 分别计算两组数据的平均数及方差; 分别计算两组数据的平均数及方差 (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更 根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更 稳定. 稳定.
例3

【 思路点拨】 计算出平均数与方差,然后 思路点拨】 计算出平均数与方差 , 加以比较并作出判断. 加以比较并作出判断.
【解】 1 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, + + + + + = , 6

1 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. + + + + + = 6 1 2 s甲 = [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2 - - - - 6 7 2 2 +(100-100) +(103-100) ]= , - - = 3 1 2 s乙 = [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2 - - - - 6 +(100-100)2+(100-100)2]=1. - - =

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 两台机床所加工零件的直径的平均值相同, 两台机床所加工零件的直径的平均值相同 又 s2 >s2 , 甲 乙 所以乙机床加工零件的质量更稳定. 所以乙机床加工零件的质量更稳定.

【 名师点评】 名师点评】

在解答本题的过程中,易出 在解答本题的过程中 ,

现判断甲机床质量更稳定的错误, 现判断甲机床质量更稳定的错误 , 导致该种 错误的原因是对方差的概念不理解. 错误的原因是对方差的概念不理解.

变式训练3 变式训练

某工厂人员及工资构成如下表: 某工厂人员及工资构成如下表:

管理人 高级技 人员 经理 工人 学徒 工 员 周工 220 250 220 200 100 0 资 6 5 10 1 人数 1 220 200 1500 1100 100 合计 0 0 (1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数; 指出这个问题中的众数、 指出这个问题中的众数 中位数、平均数; (2)在这个问题中,平均数能客观地反映该工 在这个问题中, 在这个问题中 厂的工资水平吗? 厂的工资水平吗?

由表格可知: 解 : (1)由表格可知 : 众数为 由表格可知 众数为200元 ; 中位数 元 为 220元 ; 平均数为 元 平均数为(2200+ 1500+ 1100+ + + + 2000+100)÷23=6900÷23=300(元). + ÷ = ÷ = 元. (2)虽然平均数为 虽然平均数为300元/周,但由表格所列数 虽然平均数为 元周 据可见, 只有经理的工资在平均数以上, 据可见 , 只有经理的工资在平均数以上 , 其 余的都在平均数以下, 余的都在平均数以下 , 故用平均数不能客观 地反映该工厂的工资水平. 地反映该工厂的工资水平.

方法感悟 1.在实际生活中 ,总体分布可以为合理决策 、 .在实际生活中,总体分布可以为合理决策、 解决某些问题提供依据, 解决某些问题提供依据 , 而研究总体分布则 往往通过研究其某个样本的分布而进行. 往往通过研究其某个样本的分布而进行. 2.样本的数字特征主要有两方面 , 即平均数 .样本的数字特征主要有两方面, 和方差(或标准差 或标准差), 和方差 或标准差 ,样本的平均数能反映数据 的平均水平,而方差(或标准差 或标准差)则反映了数据 的平均水平,而方差 或标准差 则反映了数据 的离散程度, 的离散程度 , 即各个样本数据偏离平均数周 围的程度. 围的程度.


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