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成都七中2015届二诊模拟理科数学


成都七中 2015 届二诊模拟考试数学试题(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.集合 A ? ? x ? Z | ? 2 ? x ? 1? ,集合 B ? ? i , i , ? i ? ,其中 i 是虚数单位,则集合 A ? B 中的元素个数有( )
2

>? ?

1 i

? ?

A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 2. 一个频率分布表(样本容量为 50)不小心被损坏了 一部分,只记得样本中数据在 [ 2 0 , 6 0 ) 上的频率为 0.6, 则估计样本在 [ 4 0 , 5 0 ) , [ 5 0 , 6 0 ) 内的数据个数可能是( ) A.8 和 9 B.9 或 10 C.9 和 12 D.15

3.如图所示,四面体 ABCD 的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形,起辅助作用) ,则四面体 ABCD 的三视 图是(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )

A.①②⑥ B.①②③ C.④⑤⑥ D.③④⑤ 4.某班有 49 位同学玩“数字接龙”游戏,具体规则按如图所示的程序框图执行(其中 a 为 座位号) ,并以输出的值作为下一个输入的值.若第一次输入的值为 8,则第三次输出的值 为( ) A.8 B.15 C.29 D.36 5. 下列命题正确的是( ) A.异面直线 a , b 不垂直,则不存在互相垂直的平面 ? , ? 分别过 a , b ; B.直线 l 不垂直平面 ? ,则 ? 内不存在与 l 垂直的直线; C.直线 l 与平面 ? 平行,则过 ? 内一点有且只有一条直线与 l 平行; D.平面 ? , ? 垂直,则过 ? 内一点有无数条直线与 ? 垂直. 6.已知函数 y ? A s in ( ? x ? ? ) ? k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 则下面各式中符合条件的解析式为( A. y ? 2 s in ( 4 x ? C. y ? 2 s in ( 4 x ?
?
6 )? 2 )? 2

?
2

,直线 x ?

?
3

是其图像的一条对称轴,


?
3 )? 2 )

B. y ? 2 s in ( 2 x ? D. y ? 4 s in ( 4 x ?

?
3

?
6

7. 定 义 运 算 “ ? ”为 : 致是( )

? ?ab, a ? 0 , .若 函 数 a?b ? ? a?b ,a ≥ 0 ? ?2

则该函数的图象大

y 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 O 1 x –3 –2 –1

y 5 4 3 2 1 O 1 x

A. B. C. D. 8.将甲、乙等四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同 分法的种数为( )
A .1 8 B .2 4 C .3 0 D .3 6

9.若点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,则点 P 到点 A ( 2 , 3 ) 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之差( A.有最小值,但无最大值 C.既无最小值,又无最大值 10.定义在 [1, ? ? ) 上的函数
f (x)



B.有最大值但无最小值 D.既有最小值,又有最大值
f (2 x ) ? cf ( x)

满足:①

(c 为正常数);②当 2≤x≤4 时,
f ( x2 ))

f (x) ? 1 ? x ? 3

.若函数图象

上所有取极大值时对应的点分别为 A1 ( x 1 ,
? ①当 2 n ? 1 ≤x≤ 2 n ( n ? N )时,

f ( x1 ) )
n?2

, A2 ( x 2 ,
x 2
n?2

, A3 ( x 3 ,
? 3?2
n?2

f ( x3 )),

, An ( x n , f ( x n ))
n?2

? ( n ? N ),有下列命题:

f (x) ? c

(1 ?

?3)

;② x n

, yn

? c



③若 A1 , A 2 , A 3 , ④若 A1 , A 2 ,
, An

, An

在同一条直线上,则 c

? 2

或c

?1;

在同一条以原点为顶点、坐标轴为对称轴的抛物线上,则 c )
C. 2 D. 1

?

2

或c

? 4

.

其中真命题的个数为(
A. 4 B. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.双曲线
x
2

4

? y

2

?1

的顶点到渐进线的距离等于



12.已知关于 x, y 的不等式组

所表示的平面区域的面积为



13.已知一组数据: a 1 , a 2 , a 3 ,

, a 7 构成公差为 d 的等差数列,且这组数据的方差等于 1,则公差 d 等于
1 x ? a )( x ? 0 ) 的值域为 R 的概率等于

. .

14.设实数 a 为区间 ? 0 , 4 ? 内的随机数,则函数 f ( x ) ? lo g 3 ( x ? 15.下列命题:①设 a , b ?
R

,则|“ a

? b

”是“ a

a ? b b
x
2

”的充要条件;
?1

②若实数 4 , m , 9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 ③设函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 2 ④椭圆 C:
x
2 2
3 x ?1

m

? y

2

的离心率为

35 6



7



的四个零点分别为 x1、 x 2、 x 3、 x 4 ,则 f ( x1 + x 2 + x 3 + x 4 ) ? 4 ;

a

?

y b

2

2

?1 (a ?b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P ,使得 ? F1 F2 P 为等
?1 ? ,1 ? ; ?3 ?

腰三角形,则椭圆 C 的离心率取值范围是 ?

⑤实数 x , y 满足 x ? 4

y ? 2

x ? y ,则 x 的取值范围为 ? 0 ?

?1 6 , 2 0 ? .

其中所有真命题的序号为 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 16. (本小题满分 12 分)



已知 ? A B C 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 b s in ( (Ⅰ)求 s in ( B ? C ) 的值;(Ⅱ)若 a ?

?
4

? C ) ? c s in (

?
4

? B) ? a . A ?

?
4

2 ,求 ? A B C 的面积.

17. (本小题满分 12 分)
* 已知递增等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , n ? N , a 1 ? 1 ,且 S 3 ? 2 S 2 ? 1 .

(Ⅱ)若数列 ? b n ? 满足 b n ? 2 n ? 1 ? a n ,且 ? b n ? 的前 n 项和 T n ,求满足 T n ? 1 7 的所 (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式; 有n .

18. (本小题满分 12 分) 设不等式 x 2 ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U , x ? y ? 1 确定的平面区域为 V . (Ⅰ)定义:横、纵坐标均为整数的点为“整点” ,在区域 U 内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域 V 的概率; (Ⅱ)在区域 U 内任取3个不同点(不一定为整点),记这3个点在区域 V 的个数为 X ,求 X 的分布列和数学期 望.

19.(本小题满分 12 分) 在正三角形 ABC 中, E , F , P 分别是 AB 折起到 ? A 1 EF 的位置,使二面角 A 1 结 A 1 B , A 1 P (如图 2). (Ⅰ)求证: A 1 E (Ⅱ)求二面角 B
?
? EF ? B

, AC , BC

边上的点,满足

AE EB

?

CF FA

?

CP PB

?

1 2

(如图 1).将 ? AEF 沿 EF

成直二面角,连

平面 BEP ; 的余弦值.

? A1 P ? F

20.(本小题满分 13 分) 如图, O 矩形 A1 A 2 A3 A 4 的中心, B 1 , B 2 , C 1 , C 2 分别是矩形四条边的中点,
A1 A 2 ? 4 , A 2 A 3 ? 2
3 ,若以 B 1 B 2 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点建立平面直角

A3 A4 B1 A1 C2 O M D C1 N B2 A2

坐标系. 记以 O 为对称中心,同时经过点 C 2 , B 2 的椭圆为 W . (Ⅰ)求椭圆为 W 的标准方程; (Ⅱ)若 O D ?
1 n O B 2 , A3 N ? 1 n A3 B 2 , C 1 D C2N ? M ,n ? N
*

,证明:点 M 在椭圆 W 上;

(Ⅲ)已知过定点 G ( 4 , 0 ) 的直线 l 与曲线 W 相交于 Q , R 两点,点 Q 关于 x 轴的对称点为 Q 1 ,直线 Q 1 R 交 x 轴于 点 T ,试问 ? T R Q 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值和对应直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? a ln( x ? 1 ) , g ( x ) ? x 2 ? bx , F ( x ) ? f ( x ? 1 ) ? g ( x ) ,其中 a , b ? R . (Ⅰ)若 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图象在交点 ( 2 , k ) 处的切线互相垂直,求 a , b 的值;
* (Ⅱ)若 x ? 2 是函数 F ( x ) 的一个极值点, x 0 和 1 是 F ( x ) 的两个零点,且 x 0 ? ( n , n ? 1) , n ? N ,求 n 的值;

(Ⅲ)若 x 1 , x 2 是 F ( x ) 的两个极值点,当 x1 ? x 2 ? 1 时,求证:
a ln x1 x2 ? 3 ? 4 ln 2 ? ? x 1 ? x 2 ? ? x 1 ? x 2 ? a ? 2 ? 或 a ln x1 x2 ? 3 ? 4 ln 2 ? ? x 1 ? x 2 ? ? x 1 ? x 2 ? a ? 2 ? .


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