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培优专题13


9、等腰三角形
【分类解析】 例 1. 如图,已知在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 为 BC 延长线上一点,且 CE=CD,DM⊥ BC,垂足为 M。求证:M 是 BE 的中点。
A

D

B

1

M

C

E

例 2. 如图,已知: ?ABC 中, AB ? AC ,D 是 BC 上一点,且 AD ? DB ,DC ? CA ,求 ?BAC 的 度数。
A

B

D

C

例 3. 已知:如图, ?ABC 中, AB ? AC ,CD ? AB 于 D。求证: ?BAC ? 2?DCB 。
A 12

D B E 3 C

4、中考题型: 1.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且 相交于点 F,则图中的等腰三角形有( A. 6 个 B. 7 个 ) D. 9 个
A 36° E F B
- 1 -

C. 8 个

D

C

2.)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F 分别是 垂足。求证:AE=AF。
A

E B D

F C

5、题形展示: 例 1. 如图, ?ABC 中, AB ? AC,?A ? 100 ,BD 平分 ?ABC 。
?

求证: AD ? BD ? BC 。
A D B 1 2

E

F

C

【实战模拟】 1. 选择题:等腰三角形底边长为 5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的差为 3cm,则腰长为 ( A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或 8cm
?



D. 以上都不对

2. 如图, ?ABC 是等边三角形, ?CBD ? 90 ,BD ? BC ,则 ?1 的度数是________。
C

A 2

1 3 B D

3. 求证:等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

DE ? AB ? AC,?A ? 120? , 4. ?ABC 中, AB 的中垂线交 AB 于 D, 交 CA 延长线于 E, 求证:
A

1 BC 。 2

E O B 1 2

D

C

- 2 -

【试题答案】
1. B 2. 分析:结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。 解:因为 ?ABC 是等边三角形

?ABC ? 60 所以 AB ? BC,

?

因为 BD ? BC ,所以 AB ? BD 所以 ?3 ? ? 2 在 ?ABD 中,因为 ?CBD ? 90 ,?ABC ? 60
? ?

所以 ?ABD ? 150 ,所以 ?2 ? 15
?

?

所以 ?1 ? ?2 ? ?ABC ? 75

?

3. 分析:首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知:如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ,D、E 分别为 AC、AB 边中点,BD、CE 交于 O 点。求证: 点 O 在 BC 的垂直平分线上。

分析:欲证本题结论,实际上就是证明 OB ? OC 。而 OB、OC 在 ?ABC 中,于是想到利用等腰三角 形的判定角等,那么问题就转化为证含有 ?1、?2 的两个三角形全等。 证明:因为在 ?ABC 中, AB ? AC 所以 ?ABC ? ?ACB (等边对等角) 又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点,所以 DC ? EB (中线定义) 在 ?BCD 和 ?CBE 中,

?DC ? EB(已证) ? ??DCB ? ?EBC(已证) ?BC ? CB(公共边) ?
所以 ?BCD ? ?CBE(SAS) 所以 ?1 ? ? 2 (全等三角形对应角相等)。 所以 OB ? OC (等角对等边)。 即点 O 在 BC 的垂直平分线上。 说明:
- 3 -

(1)正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB=OC”是关键的一点。 (2)实际上,本题也可改成开放题:“△ABC 中,AB=AC,D、E 分别为 AC、AB 上的中点,BD、 CE 交于 O。 连结 AO 后, 试判断 AO 与 BC 的关系, 并证明你的结论” 其解决方法是和此题解法差不多的。 4. 分析:此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系,观察图形,考 虑取 BC 的中点。 证明:过点 A 作 BC 边的垂线 AF,垂足为 F。
E

D B

3 1

A 2 C

F
?

在 ?ABC 中, AB ? AC,?BAC ? 120 所以 ?B ? ?C ? 30
?

?

3

1 所以 ?1 ? ?2 ? 60 ,BF ? BC (等腰三角形三线合一性质)。 2
所以 ?3 ? 60 (邻补角定义)。
?

1

所以 ?1 ? ?3 又因为 ED 垂直平分 AB,所以 ?E ? 30 (直角三角形两锐角互余)。
?

1 AB (线段垂直平分线定义)。 2 1 又因为 AF ? AB (直角三角形中 角所对的边等于斜边的一半)。 2 所以 AD ? AF AD ?
在 Rt?ABF 和 Rt?AED 中,

??1 ? ?3(已证) ? ?AF ? AD(已证) ??AFB ? ?ADE ? 90? ?
所以 Rt?ABF ? Rt?AED(ASA ) 所以 ED ? BF 即 ED ?

1 BC 。 2

说明:(1)根据题意,先准确地画出图形,是解几何题的一项基本功; (2)直角三角形中 30 角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺利证明打通了思路。
- 4 ?



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