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基于MATLAB的维纳滤波在图像恢复中的应用


江 西 理 工 大 学

本 科 毕 业 设 计(论文)



目:基于 MATLAB 的维纳滤波在图像恢复中的应用

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本文主要研究的是基于MATLAB的维纳滤波在图像恢复中的应用, 在实际的 日常生活中,人们要接触很多

图像,画面。而在景物成像这个过程里可能会出现 模糊、失真或混入噪声,最终导致图像质量下降,这种现象称为图像“退化”。 退化的数字图像会造成图像中的目标很难识别或者图像中的特征无法提取, 必须 对其进行恢复。维娜滤波是一种常见的图像复原方法,该方法的思想是使复原的 图像与原图像的均方误差最小原则采复原图像。 本文主要通过介绍维纳滤波的基 本原理,并结合 MATLAB中的函数,设计相应的维纳滤波器,实现“含噪”图像 的复原, 进行了对退化图像复原的仿真实验, 在退化图像中加入了噪声进行恢复, 实验表明退化图像在有噪声时必须考虑图像的信噪比, 噪声的自相关函数进行图 像恢复,才能取得较好的复原效果。 关键词:维纳滤波;MATLAB;图像恢复;退化模型

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ABSTRACT

Main context of this thesis lies in the Wiener filter based on MATLAB being applied to image restoration. In real life, people will meet a lot of images and screens. However, in this process, imaging features may appear blurred, distorted or mixed with noise. As a consquence, quality of images is lowered, and this phenomenon is just described as Image "degraded." Degradation in digital images is likely to make it diffcult to identify the target image or to extract the image features, images must be restored, then. Wiener filter is a common method for image restoration, the idea of this method is to minimize the mean square error between restored images and the original ones. This paper mainly introduces the basic principles of Wiener filtering, and function of MATLAB are combined to design the corresponding Wiener filter, which aimes at restoration of "noisy" images. Besides, simulation experiments of degraded images restoration are performed as well. And noise restoration are also taken into account in the experiments. Finally, experiments show that SNR of images should be taken into consideration when there is noise in the degraded images. Combining with noise autocorrelation function for image restoration, we will achieve better rehabilitation results. Key words: Wiener filter; MATLAB; image restoration; degraded image

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第一章 绪论................................................................................................................................... 1 1.1 引言.................................................................................................................................... 1 1.2 图像复原的意义................................................................................................................ 1 1.3 维纳滤波的研究历史 ........................................................................................................ 2 第二章 MATLAB 图像处理工具箱简介 .................................................................................... 4 2.1 MATLAB 软件简介 ........................................................................................................... 4 2.2 MATLAB 的开发环境 ...................................................................................................... 4 2.3 MATLAB 在图像处理中的应用 ....................................................................................... 9 第三章 图象恢复......................................................................................................................... 11 3.1 图像噪声.......................................................................................................................... 11 3.2 图象退化模型................................................................................................................... 12 3.2.1 退化模型................................................................................................................ 12 3.2.2 连续函数退化模型 ................................................................................................ 14 3.2.3 离散函数退化模型 ................................................................................................ 16 3.2.4 循环矩阵对角化 ................................................................................................... 19 3.3 图像的恢复方法............................................................................................................... 21 3.3.1 逆滤波复原法 ........................................................................................................ 21 3.3.2 约束最小平方复原法 ............................................................................................ 24 3.3.3 维纳滤波复原法 .................................................................................................... 26 第四章 维纳滤波实现对退化图像的复原 ................................................................................... 28 4.1 维纳滤波的基本原理 ...................................................................................................... 28 4.1.1 维纳滤波概述 ........................................................................................................ 28 4.1.2 时间序列的滤波、预测、平滑 ........................................................................... 29 4.2 维纳滤波对退化图像的恢复 .......................................................................................... 31 4.2.1 维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程 ......................................................................... 31 4.2.2 维纳滤波图像恢复的原理 ................................................................................... 34 4.3 实验仿真.......................................................................................................................... 35 第五章 结论................................................................................................................................. 38 致 谢 ............................................................................................................................................ 39 参考文献......................................................................................................................................... 40

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第一章 绪论
1.1 引言
在实际的日常生活中,人们要接触很多图像,画面,而在景物成像这个过程 里可能会出现模糊、失真或混入噪声,最终导致图像质量下降,这种现象称为图 像“退化”。因此我们可以采取一些技术手段来尽量减少甚至消除图像质量的下 降,还原图像的本来面目。这就是图像复原。引起图像模糊有很多种的原因,举 例来说有运动引起的, 高斯噪声引起的, 斑点噪声引起的, 椒盐噪声引起的等等。 图像复原的算法:数字图像复原问题实际上是在一定的准则下,采用数学最 优化方法从退化的图像去推测原图像的估计问题。 不同的准则及不同的数学最优 化方法就形成了各种各样的算法。常见的复原方法有,逆滤波复原算法,维纳滤 波复原算法,盲卷积滤波复原算法,约束最小二乘滤波复原算法等等。图像复原 是图像处理中的重要技术,图像复原可以在某种意义上对图像进行改进,即可以 改善图像的视觉效果,又能够便于后续处理。 其中维纳滤波是最典型的一种,20世纪40年代,维纳奠定了最佳滤波器研究 的基础。即假定输入时有用信号和噪声信号的合成,并且它们都是广义平稳过程 和他们的二阶统计特性都已知。维纳根据最小均方准则(即滤波器的输出信号与 需要信号的均方值最小),求得了最佳线性滤波器的参数,这种滤波器被称为维 纳滤波器。 MATLAB是一款主要用于数值计算和图像处理的工具软件。由于它采用了矩阵 的形式存贮数据,因此在图像处理领域能够发挥速度快,效率高的优点。它包含 了许多功能强大的工具箱,借助于这些工具箱,用户可以非常方便地进行图像分 析和处理工作。此外,和其它软件比较,由于MATLAB对于图像处理的针对性,它 还具有代码简洁的优势。正是基于上述情况,本文采用了MATLAB来实现文中提到 的算法,并且取得了不错的效果。

1.2 图像复原的意义
图像恢复技术的发展已经经历了近 60 年的历史,所谓图像复原,是指去除 或减轻在获取数字图像过程中发生的图像质量下降(退化)这些退化包括由光学 系统、运动等等造成图像的模糊,以及源自电路和光度学因素的噪声。从 50 年 代的空间探索开始, 人们就期望有一种能够弥补由于图像获取系统不完善造成的 图像降质。 在这么多年的发展的过程中, 图像恢复技术已经广泛应用于空间探索、 天文观测、物质研究、遥感遥测、军事科学、医学影像、交通监控、刑事侦察等 众多领域。 1) 在天文成像领域中,地面上的成像系统由于受到射线及大气的影响,会 造成图像的退化。在太空中的成像系统,由于宇宙飞船的速度远远快于相机快门
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的速度,也会造成运动模糊:此外,噪声的影响也不可忽略。因此,必须对所得 到的图像进行处理才会尽可能恢复其本来面目,提取更多的有用信息。 2) 在医学领域,图像恢复技术广泛应用于 X 光,CT 等成像系统,用来抑 制各种医学成像系统或图像获取系统的噪声,改善医学图像的分辨率。在军事公 安领域,如巡航导弹地形识别,侧视雷达的地形侦察,指纹自动识别,手迹、人 像、印章的鉴定识别,过期档案文字的识别等,都与图像恢复技术密不可分。 3) 在图像及视频编码领域,随着提高编码效率、降低编码图像码率的技术 的发展,一些人为图像缺陷,如方块效应,成为明显问题。在移动视频通信中, 由于带宽的限制,压缩比较高,若解压缩后不经处理,则存在非常明显的方块效 应。一些简单的图像增强处理不能从根本上消除方块效应,特别是情况复杂时, 如在编码前或编解码时含有噪声的情况,也需要借助于图像恢复技术。随着宽带 通信技术的发展,电视电话、远程诊断等都将进入我们的生活,而所有这些技术 都将高度依赖于图像质量,因此,图像恢复技术更显得至关重要。

1.3 维纳滤波的研究历史
维纳是著名的数学家,后来被誉为信息理论家。维纳的著作不仅是一个很好 的创见, 而且具有结合工程的实际意义, 是线性滤波理论研究的一个重要的开端. 在第二次世界大战中,由于雷达的发明以及防空炮火控制的任务,把大量 有修养的数学家和物理学家都动员到信息科学这个研究领域中来了, 这个时候人 们活跃于这个领域,并有许多重大的科学创造。数学家维纳对于滤波理论的研究 成果,就是这时候重大的科学创见之一。 通讯与控制中的滤波问题,指的是从获得的信号与干扰中尽可能地滤除干 扰,分离出所期望的信号,或者说,是通过对一系列带有误差的实际测量数据的 处理,得出所期望数据的估计值川。维纳的工作是从研究处在统计平衡的时间序 列开始的,维纳证明:在一定条件下,处在统计平衡的时间序列的时间平均等于 相平均。维纳正是基于这点提出了他著名的滤波和预测理论。滤波问题就是尽可 能地恢复一个被噪声干扰了的信号的问题。实质上,就是预测一个被噪声干扰了 的时间序列的问题,因此,滤波问题也可以视为一个预测问题。数学上讲,预测 就是从一个时间序列的过去的数据估算整个序列的统计参数。 工程上的滤波问题也是理论上的一类统计估计问题,最佳线形滤波是最佳 线性估计的方法之一,在最佳估计中最小均方误差估计是最有现实意义的。估计 理论的课题是众多的,最小均方误差估计只是估计理论的一个小的分支。然而, 它却是最重要又最富有实际意义的一个分支, 对系统所加的线性条件起初是为了 简化理论分析, 非线性滤波问题是在理论处理上比线性滤波问题要困难和复杂的 多,但是后来证明:在一定条件下,在最小均方误差准则下得到的最佳线性系统 是所有系统中的最佳者。
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近代滤波理论的发展对于信息科学的发展是有重大贡献的,它概括了通讯 与控制中信息过滤的统计本质。 这是由于滤波理论与通讯和控制中的许多课题有 密切的联系,从而赋予了滤波理论以极大的生命力,滤波理论本来是一个小的研 究领域,但是它联系着许多大的广泛的研究领域,因此它的价值己经超出了它起 源时自身的价值,也就是它能够继续活跃地向前发展的保证。 几十年来滤波理论已经发展成了一个广阔的研究领域,可以有许多不同的 方法来介绍它的内容,有的可以选择不同的重点。本文主要是关于维纳滤波的, 介绍维纳滤波的基本概念以及讲其维纳滤波的应用。 从数学的观点来说滤波理论是统计学中的估计理论的一个重要分支,从工 程的观点来看它又是系统工程研究的一个重要组成部分。 。

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第二章 MATLAB 图像处理工具箱简介
2.1 MATLAB 软件简介
MATLAB源于MATrix LABoratory一词,原意为矩阵实验室。一开始它是一种 专门用于矩阵数值计算的软件。随着 MATLAB 的逐渐市场化,MATLAB 不仅具有 了数值计算功能,而且具有了数据可视化功能。自MATLAB4.1版本开始,MATLAB 拥有了它自己的符号运算功能,MATLAB 的应用范围进一步拓宽。在 MATLAB6.x 版本中,它不仅在数值计算,符号运算和图形处理等功能上进一步加强,而且又 增加了许多的工具箱。目前,MATLAB已拥有数十个工具箱,例如,控制工具箱 (Control Toolbox),信号处理工具箱(Signal Processing Toolbox),通信工具 箱(Communication Toolbox)和专用图形处理工具箱(Specgraph Toolbox)等,这 些工具箱可以供不同专业的科技人员使用。特别在 MATLAB6.x 版本中,计算速 度又有了明显的提高。就影响而言,至今仍然没有一个别的计算软件可以与 MATLAB匹敌。 在欧美大学里,线性代数,数理统计,自动控制,数字信号处理,模拟与数 字通信, 时间序列分析, 动态系统仿真, 神经网络等课程的教科书都把 MATLAB 作 为内容。这几乎成了20世纪90年代教科书与旧版书籍的标志性区别。在高校里, MATLAB是攻读学位的大学生,研究生必须掌握的基本工具。 在国际学术界,MATLAB已经被确认为准确,可靠的科学计算标准软件。在 许多国际流学术刊物上(尤其是电子信息科学刊物),都可以看到MATLAB的应用。 在设计研究单位和工业部门, MATLAB 被认为是进行研究和开发的首选软件工具。 如美国National Instruments公司信号测量和分析软件LabVIEW,Cadence公司信 号和通信分析设计软件SPW等,或者直接建筑在MATLAB之上,或者以MATLAB为主 要支撑。 再考虑到MATLAB的开放性,易学易用性等优点,MATLAB的确是高校学生,教 师,科研人员和工程技术人员的最好选择。MATLAB是真正面向21世纪的科学计算 软件。

2.2 MATLAB 的开发环境
MATLAB 的开发环境就是在使用 MATLAB 的过程中可激活的, 并且为用户 使用提供支持的集成系统。这里介绍几个比较重要的如:桌面平台系统和帮助系 统。 MATLAB 的桌面系统 启动 MATLAB 有多种方式。最常用的方法是双击系统桌面的 MATLAB 图 也可以在 MATLAB 标, 也可以在开始菜单的程序选项中选择 MATLAB 快捷方式, 的安装路径的 bin 目录中的子目录 win32 中双击可执行文件 matlab.exe。
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初次启动 MATLAB 后, 将进入 MATLAB 默认设置的桌面平台,如图 2-1 所示

图2-1 MATLAB的桌面平台

默认情况下的桌面平台包括以下几个主要窗口,分别是 MATLAB 主窗口、 命 令 窗 口 (Command Window) 、 历 史 窗 口 (Command History) 、 当 前 目 录 窗 口 (Current Directory)、工作空间管理窗口(Workspace)、交互界面分类目录窗口 (Launch Pad)等。图2-1是6.5版 Desktop 桌面平台的缺省外形。该桌面的上层 有 3 个最常用的窗口:命令窗口、历史窗口工作间管理窗口,在窗口的左下角 新增加了“开始按钮”。在缺省情况下,还有一个只能看见窗口名的常用交互窗 口:当前目录窗口。下面分别对各窗口做简单介绍. (1)MATLAB主窗口 与MATLAB的早期版本不同的是,MATLAB6.x增加了一个主窗口,如图2-2所 示。其他的几个窗口都包含在这个大的主窗口中。主窗口不能进行任何计算任务 的操作,只用来进行一些整体的环境参数的设置。它主要包括6个下拉菜单和一 个工具条。

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图2-2 File菜单选项

(2)命令窗口(Command Window) 命令窗口是对MATLAB进行操作的主要载体,默认的情况下,启动MATLAB时就 会打开命令窗口,显示形式如图2-3所示

图2-3 MATLAB的命令窗口

一般来说,MATLAB的所有函数和命令都可以在命令窗口中执行。在MATLAB 命令窗口中,命令的实现不仅可以由菜单操作来实现,也可以由命令行操作来执 行,下面就详细介绍MATLAB命令行操作。 实际上,掌握MATLAB命令行操作是步入MATLAB世界的第一步,命令行操
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作实现了对程序设计而言简单而又重要的人机交互,通过对命令行操作,避免了 编程序的麻烦,体现了MATLAB所特有的灵活性。 例如 %在命令窗口中键入sin(pi/5),然后单击回车键,则会得到该表达式的值 Sin(pi/5) Ans=0.5878 由例可以看出,为求得表达式的值,只需按照MATLAB语言规则将表达式输 入即可,结果会自动返回,而不必像其他的程序设计语言那样,编制冗长的程序 来执行。当必需处理相当繁琐的计算时,可能在一行之内无法写完表达式,可以 换行表示,此时需要使用续行符“…”否则MATLAB将只计算一行的值,而不理会 该行是否已输入完毕。 例如 Sin(1/9*pi)+sin(2/9*pi) +sin(3/9*pi)+…. Sin(4/9*pi)+sin(5/9*pi) +sin(6/9*pi)+…. Sin(7/9*pi)+sin(8/9*pi) +sin(9/9*pi)+…. Ans=5.6713 使用续行符之后MATLAB会自动将前一行保留而不加以计算,并与下一行衔 接,等待完整输入后再计算整个输入的结果。 在MATLAB命令行操作中,有些键盘按键可以提供特殊而方便的编辑操作。 比如:“ ↑ ”可用于调出前一个命令行,“ ↓ ”可调出后一个命令行,避免了重 新输入的麻烦。当然下面即将讲到的历史窗口也具有此功能。 (3). 历史窗口 (Command History) 历史窗口在 MATLAB 的早期版本中曾有过雏形, 在 MATLAB6.x 中再次 出现, 而且被赋予了更加强大的功能. 在缺省情况下, 历史窗口在 MATLAB 桌 面平台的左下侧前台, 如图2-4所示

图 2-4 历史窗口
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历史窗口记录着用户在 MATLAB 命令窗口中输入过的所有指令行。 历史记录 包括:每次启动MATLAB的时间,以及每次开启MATLAB后在命令窗口中运行过的所 有指令行。 (4). 当前目录窗口(Current Directory) 在缺省情况下,当前目录窗口位于 MATLAB 桌面平台的左下方后台,如图 2-1. 点击窗标“Current Directory”可使该窗口在前台显现。图2-5所示是脱 离桌面平台独立的当前目录窗口。

图 2-5 当前目录窗口

(5). 工作间管理窗口 (Workspace) 工作间管理窗口是 MATLAB 的重要组成部分,其缺省地放置在桌面平台的左 上侧后台, 如图2-1。点击桌面平台左上侧框下方的“Workspace”窗标,可使工 作间管理窗口出现在桌面平台的前台。图2-6是独立的工作间管理窗口。

图2-6 工作间管理窗口
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工作管理窗口中将显示目前内存中所有的MATLAB变量的变量名、数学结构、 字节数以及类型,不同的变量类型分别对应不同的变量名图标. MATLAB 在执行 M 文件时,将把该 M 文件的数据保存到其对应的工作间中。为了区别,命令窗 口的工作间(也包括全局变量的工作间)被标记为基本工作间。因此,此控件用于 调试M文件时实现不同工作间之间的切换。 2.联机帮助系统 与以前 MATLAB5.x 版本的联机帮助系统相比, MATLAB6.x 的联机帮助系统 更为全面,简直就是一本MATLAB的百科全书. 进入MATLAB联机帮助系统的方法有 很多, 下面介绍其中的3种。(1)点击MATLAB主窗口工具条中的 ? 按钮。 (2)选 中下拉菜单【Help: MATLAB Help】。(3)在命令窗口执行helpwin, helpdesk或 doc。 以上三种方法都可以进入如图2-7所示的联机帮助窗口

图2-7 联机帮助窗口

此外,帮助页面还有一个显示帮助信息的窗口,在窗口的文本框中显示当前 的帮助主题。可以在其中更改帮助的主题,也可以单击【Add to Favorites】选 项将当前的帮助主题加入用户自定义帮助主题集中, 这样就可以集中用户常用的 帮助主题,方便以后查找。

2.3 MATLAB 在图像处理中的应用
图像处理中往往把数字化的二维图像作为二维矩阵来研究子矩阵运算的 MATLAB可以很自然地扩展到图像处理应用领域。 在MATLAB中推出了功能更强大的 适应于图像处理的工具箱,常用的有图像处理工具箱、小波工具箱及数字信号处 理工具箱。利用如此多的工具,我们可以方便地从各个方面对图像的性质进行深
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入的研究.图像处理工具箱几乎包括了经典图像处理的所有方面,从基本的图像 增强到图像分割,MATLAB都提供了简便的函数调用来实现许多经典图像处理方 法,同时,MATLAB还提供了对多种图像文件格式(如tif、bmp、jpg、pex等)读写 和显示的支持, 这使得在MATLAB的集成环境中进行图像处理的实验模拟非常方便. 下面就从ATLAB在图像处理中各方面的应用分别进行介绍。 (l)图像处理的基本运算 MATLAB提供了图像的和、差等线性运算,以及卷积、相关、滤波等非线性运 算。例如,cov2(a,b)实现a,b两幅图像的卷积。 (2)图像的时域分析 这里包括了图像统计特征的计算:图像增强工具,包括Gamma较正、直方图均 衡、中值滤波、自适应滤波等:边缘检测算子,如log算子、canny算子、sobel 算子,prewitt算子等等。 例如: imhist(a)显示图像a的直方图; B=edge(a,’log’,[],1)计算 σ =1时图像a的log算子边缘; imshow(B)显示图像B。 (3)图像的变换域处理 MATLAB提供了一维和二维离散傅立叶变换(DFT),快速傅立叶变换(FFT),离 散余弦变换(DCT), 及其反变换函数:以及连续小波变换(CWT), 离散小波变换(DWT) 及反变换函数.例如,b=dct(a);c=idct(b);这两条语句实现了图像矩阵a的离 散余弦变换及反变换。 (4)图像的数学形态学处理 MATLAB提供了数学形态学的基本形态算子:腐蚀(Erod仑)、膨胀(nilate)算 子,以及在此基础上的开、闭算子,厚化(Thicken)、薄化(Thin)算子等丰富的 数学形态学运算。 以上所提到的MATLAB在图像处理中的应用都是由相应的MATLAB函数来实现, 使用时只需按照函数的调用语法正确输入参数即可,具体的用法可参考MATLAB 丰富的帮助文档。对于MATLAB内部函数不能实现的问题,需要另外编程或修改有 关的内部函数。

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第三章 图象恢复
3.1 图像噪声
图像噪声可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收的图像信息 进行理解或分析的各种因素。一般噪声是不可预测的随机信号,它只能用概率统 计的方法去认识。噪声影响图像处理系统的各个环节,包括图像的输入、采集和 处理。因此,一个良好的图像处理系统不论是模拟处理还是数字处理无不把最前 一级的噪声减少作为主攻目标。 设图像信号对黑白图像可看作是二维亮度分布了 f ( x, y ) ,则噪声可看作是 对亮度的干扰,可用。 n( x, y ) 来表示。噪声是随机的,在许多情况下这些很难测 出或描述,甚至不可能得到,因而需用随机过程来描述,即要求知道其分布函数 和密度函数,所以常用统计特征来描述噪声,如均值、方差、相关函数等。 描述噪声的总功率: E n 2 ( x, y )

{

}

方差,描述噪声的交流功率: E (n( x, y ) ? E {n( x, y )}) 均值的平均,表示噪声的直流功率: [E{n( x, y )}]
2

{

2

}

图像噪声技其干扰源可分为外部噪声和内部噪声。 (l)外部噪声:从处理系统以外来的影响, 如天线的干扰或电磁波从电源线窜 入系统的噪声。 (2)内部噪声:有四种基本形式. 由光和电的基本性质引起:如电流可看作电子或空穴运动,这些粒子运动产 生随机散粒噪声;导体中电子流动的热噪声;光量子运动的光量子噪声等。 机械运 动产生韵噪声:接头振动使电流不稳,磁头或磁带、磁盘抖动等。元器件噪声: 如光学底片的颗粒噪声,磁带、磁盘缺陷噪声,光盘的疵点噪声等。系统的内部 电路噪声:如CRT的偏转电路二次发射电子等噪声。 从噪声的分类来看是多种多样的,但从统计的观点来看,凡是统计特征不随 时间变化的称作平稳噪声,统计特征随时间变化的称作非平稳噪声。从噪声的幅 运动模糊图像的恢复与处理度分布的统计特征来看,其密度函数有高斯型、瑞利 型,分别称为高斯噪声和瑞利噪声。 高斯噪声的概率密度函数为
p( z ) = 1 2π σ e ?( z ? ? )
2

/ 2σ 2

(3.1)

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其中: z 表示灰度级, ? 表示z的平均值或期望值, σ 表示 z 的标准差。标 准差的平方 σ 2 称为 z 的方差。 z 服从上式的分布时, 当 其值有70%落 [? ? σ , ? + σ ] 范围内,且有95%落在 [? ? 2σ , ? + 2σ ]范围内。 瑞利噪声的概率密度函数为
2 ?2 ? ( z ? a ) ?( z ? a ) / b p( z ) = ? b ? 0 ?

? z ≥ a? ? z < a? ?

(3.2)

其中均值和方差分别为

? = a + πb / 4
b( 4 ? π ) 4 按噪声对信号的影响可分为加性噪声模型和乘性噪声模型两大类。设

σ2 =

f ( x, y ) 为信号, n( x, y ) 外为噪声,影响信号后的输出为 g ( x, y ) 。

(l)加法性噪声
g ( x , y ) = f ( x , y ) + n ( n, y )

(3.3)

形成波形是噪声和信号的叠加,其特点是 n( x, y ) 对和信号无关,如一般的电 子线性放大器,不论输入信号大小,其输出总是与噪声相叠加。 (2)乘法性噪声

g ( x, y ) = f ( x, y )[1 + n( x, y )] = f ( x, y ) + f ( x, y )n( x, y )

(3.4)

其输出是两部分的叠加,第二个噪声项信号受 f ( x, y ) 的影响。 f ( x, y ) 越大, 则第二项越大,即噪声项受信号的调制。如光电子噪声、底片颗粒噪声都随信号 增大而增大。乘法性噪声模型和分析计算都比较复杂,通常信号变化很小时,第 二项近似不变,此时可以用加法性噪声模型来处理。通常总是假定信号和噪声是 相互独立的。

3.2 图象退化模型 3.2.1 退化模型
要进行图像恢复,必须弄清楚退化现象有关的某些知识(先验的或者后验 的),用相反的过程去掉它,这就要了解、分析图像退化的机理,建立起退化图 像的数学模型。
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一些退化因素只影响一幅图像中某些个别点的灰度, 而另外一些退化因素则 可以使一幅图像中的一个空间区域变得模糊起来。前者称为点退化,后者称为空 间退化。在一个图像系统中存在着许多退化源,其机理比较复杂,因此要提供一 个完善的数学模型是比较复杂和困难的。但是在通常遇到的很多实例中,我们将 退化原因作为线性系统退化的一个因素来对待, 从而建立系统退化模型来近似描 述图像函数的退化。如图 3.1 所示,这是一种简单的通用图像退化模型,输入图 像 f ( x, y ) 经过一个退化系统或退化算子 H 后产生的退化图像 g ( x, y ) ,我们可以 表示为下面的形式。

g ( x, y ) = H [ f ( x, y ) ] + n ( x, y )
式中 H 为退化系统

(3.5)

n( x , y )

h ( x, y )
f ( x, y )

f
g ( x, y )

图3-1 图像退化模型

如果暂不考虑加性噪声。 n( x, y ) 的影响,即令。 n( x, y ) = 0 ,则有

g ( x, y ) = H { f ( x, y )}

(3.6)

设 k , k1 , k 2 为常数, g1 ( x, y ) = H { f 1 ( x, y )}, g 2 ( x, y ) = H { f 2 ( x, y )} ,则退 化统 H 具有如下性质: (l)齐次性

H [kf ( x, y )] = kH [ f ( x, y)= kg ( x, y ) ]

(3.7)

即系统对常数与任意图像乘积的响应等于常数与该图像的响应的乘积。 (2)叠加性

H [ f 1 ( x, y ) + f 2 ( x, y ) ] = H [ f 1 ( x, y ) ] + H [ f 2 ( x, y ) ] = g 1 ( x , y ) + g 2 ( x, y )
即系统对两幅图像之和的响应等于它对两个输入图像的响应之和。 (3)线性 同时具有齐次性与叠加性的系统就称为线性系统。线性系统有
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(3.8)

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H [k1 f1 ( x, y ) + k 2 f 2 ( x, y )] = k1 H [ f 1 ( x, y )] + k 2 H [ f 2 ( x, y )] = k1 g 1 ( x, y ) + k 2 g 2 ( x , y )
(3.9)

不满足齐次性或叠加性的系统就是非线性系统。显然,线性系统为求解多个 激励情况下的响应带来很大方便。 (4)位置(空间)不变性

g ( x ? a, y ? b) = H [ f ( x ? a , y ? b ) ]

(3.10)

式中的 a 和占分别是空间位置的位移量。 这就说明了图像上任何一点通过该 系统的响应只取决于在该点的灰度值,而与该点的坐标位置无关.由上述基本定 义可知,如果系统具有式(3.10)的关系,那么系统就是线性空间不变的系统。在 图像恢复处理中, 尽管非线性和空间变化的系统模型具有普遍性和准确性。 但是, 它却给处理工作带来巨大的困难,通常没有解或者很难用计算机来处理。因此在 图像恢复处理中,往往用线性和空间不变性的系统模型加以近似。这种近似的优 点是可直接利用线性系统中的许多理论与方法来解决图像恢复问题。 所以图像恢 复处理中主要采用线性的、空间不变的恢复技术。

3.2.2 连续函数退化模型
空间坐标位置和景物明暗程度均为连续变化的图像,称为连续图像。在图像 线性运算的分析中,常常用到点源的概念。事实上,一幅图像可以看成由无穷多 极小的像素所组成,每一个像素都可以作为一个点源。 在数学上,点源可以用狄拉克石函数来表示,二维占函数可定义为 ? ∞ ∞ σ ( x, y )dxdy = 1 x = 0, y = 0 ?∫ ∫ ? - ∞ -∞ ? σ ( x, y ) = 0 其它 ? 如果二维单位冲激信号沿 x 轴和 y 轴分别有位移 x0 和 y0 ,则 ? ∞ ∞ σ ( x ? x , y ? y )dxdy = 1 x = x , y = y ?∫ ∫ 0 0 0 0 ? -∞ -∞ ? σ ( x ? x0 , y ? y 0 ) = 0 其它 ? (3.12) (3.11)

σ ( x, y ) 具有取样特性。由式(3.11)和(3.12)很容易得

∫ ∫





?∞ ? ∞

f ( x, y )σ ( x ? x0 , y ? y 0 )dxdy = f ( x0 , y 0 )

(3.13)

此外,任意二维信号 f ( x, y ) 与 σ ( x, y ) 卷积的结果就是该二维信号本身,即
f ( x, y ) * σ ( x, y ) = f ( x , y )

(3.14)

而任意二维信号 f ( x, y ) 与 σ ( x ? x0 , y ? y 0 ) 卷积的结果就是该二维信号产生
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相应位移后的结果 f ( x, y ) * σ ( x ? x 0 , y ? y 0 ) = f ( x ? x 0 , y ? y 0 ) 由二维卷积定义,有
f ( x, y ) = f ( x , y ) * σ ( x , y )

(3.15)

=∫



-∞ -∞





f (α , β )δ ( x ? α , y ? β )dαdβ

(3.16)

考虑退化模型中韵 H 是线性空间不变系统, 因此, 根据线性系统理论, 系统 H 的 性能就可以由其单位冲撤响应 h( x, y ) 来表征,即

h( x, y ) = H [σ ( x, y )]

(3.17)

而线性空间不变系统 H 对任意输入信号 f ( x, y ) 的响应则为该信号与系统的 单位冲激响应的卷积

H [ f ( x , y ) ] = f ( x, y ) * h ( x, y ) =∫
∞ -∞ -∞





f (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ

(3.18)

在不考虑加性噪声的情况下,上述退化模型的响应为

g ( x, y ) = H [ f ( x, y )] = ∫



-∞ -∞





f (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ

(3.19)

由于系统 H 是空间不变的,则它对移位信号 f ( x ? x 0 , y ? y 0 ) 的响应为
f ( x ? x 0 , y ? y 0 ) * h( x, y ) = g ( x ? x 0 , y ? y 0 )

(3.20)

在有加性噪声的情况下,上述线性退化模型可以表示为

g ( x , y ) = H [ f ( x, y ) ] + n ( x , y ) =∫
简记为
g ( x, y ) = f ( x, y ) * h ( x, y ) + n ( x, y )
∞ -∞ -∞





f (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ + n( x, y )
(3.21)

(3.22)

在上述情况中,都假设噪声与图像中的位置无关。 式(3.19)和式(3.21)都是连续图像的退化模型。由此可见,如果把降质过程 看成为一个线性空间不变系统,那么,在不考虑噪声影响时,系统输出的退化图 像 g ( x, y ) 应为输入原始图像 f ( x, y ) 和引起系统退化图像的点扩散函数 h( x, y ) 的

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卷积。因此,系统输出(或影像)被其输入(景物)和点扩散函数唯一确定。.显然, 系统的点扩散函数是描述图像系统特性的重要函数。 3.2.3 离散函数退化模型 为了用数字计算机对图像进行处理,首先必须把连续图像函数 f ( x, y ) 进行空 间的和幅值的离散化处理.空间连续坐标 ( x, y ) 的离散化,称为圈像的采祥,幅值
f ( x, y ) 的离散化称为灰度级的整量。将这两种离散化和在一起,称为图像的数

字化。如图 3-2 所示,连续的模拟图像经过离散化处理后变成计算机能够辨识的 点阵图像,称为数字图像。严格的数字图像是一个经过等距离矩形网格采样,对 幅度进行等间隔量化的二维函数。 将一幅图像进行数字化的过程就是在计算机内 生成一个二维矩阵的过程

n( x , y )

f ( x, y )

退化系统 h(.)

采样 c(.)
g (n1 , n2 )

图 3-2 离散退化模型

数字图像可以由以下三种途径得到 (1)将传统的可见光图像经过数字化处理转换为数字图像,例如将一幅照片 通过扫描仪输入到计算机中,扫描的过程实质上就是一个数字化的过程。 (2)应用各种光电转换设备直接得到数字图像,例如卫星上搭载的推帚式扫 描仪和光机扫描仪可以直接获取地表甚至地下物体的图像并实时存入存储器中。 (3)直接由二维离散数学函数生成数字图像. 无论哪种方式,最终得到的数字图像都是一个二维矩阵。 对于一幅连续图像 f ( x, y ) ,若 x , y 方向的相等采样间隔分别为 ?x 、?y (通 ? i = 0,1, L , N ? 1 常( ?x = ?y ),并均取 N 点,则数字图像 f (i, j ) , ? ? j = 0,1, L , N ? 1 ? 如下矩阵表示 ? ? 。可用 ? ?

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? f (0,0) ? f (1,0) [ f (i, j )] = ? ? M ? ? f ( N ? 1,0)

f (0,1) f (1,1)
M

L L L

f ( N ? 1,1) L

f (0, N ? 1) ? f (1, N ? 1) ? ? ? M ? f ( N ? 1, N ? 1)?

(3.23)

图像像素矩阵的产生,为图像处理提供了一种新的途径,对于许多图像的处 理,都可以转化为对矩阵的分析,从而使问题变得准确、简便、易行。数字图像 处理实质就是对二维矩阵的处理,是将一幅图像变为另一幅经过修改的图像,是 将一个二维矩阵变为另一个二维矩阵的过程。 首先讨论一维的情况,然后再推广至二维情况。 假设对两个函数 f (x) 和 h(x) 进行均匀采样,其结果放到尺寸为 A 和 B 的两 个数组中,对 f ( x) , x 的取值范围是 0,1,2,.., A ? 1 ;对 h(x) , x 的取值范围是 0,1,2,.., B ? 1 。我们可以利用离散卷积来计算 g (x) 。为了避免卷积的各个周期 重叠(设每个采样函数的周期为 M ),可取 M ≥ A + B ? 1 ,并将函数用零扩展补 齐。用 f e (x) 和 he (x) 来表示扩展后的函数,则有 ? f ( x) f e (x) = ? ? 0
0 ≤ x ≤ A ?1 A ≤ x ≤ M ?1

(3.24)

?h ( x ) 0 ≤ x ≤ B ? 1 he (x) = ? B ≤ x ≤ M ?1 ? 0 则它们的卷积为
g e (x) =
M ?1 m =0

(3.25)

∑f

e

(m)he ( x ? m)

(3.26)

因为 f e (x) 和 he (x) 的周期为 M , g e (x) 的周期也为 M 。引入矩阵表示法, 则上式可写为
g = Hf

(3.27)

其中

? g e ( 0) ? ? g (1) ? e ? g=? ? ? M ? ? ? g e ( M ? 1)?

(3.28)

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? f e ( 0) ? ? f (1) ? e ? f =? ? ? M ? ? ? f e ( M ? 1)? ( he (?1) ? he 0) ? h (1) he (0) H =? e ? M M ? ?he ( M ? 1) he ( M ? 2) L he (? M + 1) ? L he (? M + 2)? ? ? L M ? L he (0) ?

(3.29)

(3.30)

根据 he (x) 的周期性可知, he (x) = he ( x + M ) ,所以上式又可以写成

( ? he 0) he ( M ? 1) ? h (1) he (0) H =? e ? M M ? ?he ( M ? 1) he ( M ? 2)
后一项等于第一行最前一项。

L he (1) ? L he (2)? ? L M ? ? L he (0) ?

(3.31)

这里 H 是个循环矩阵,即每行最后一项等于下一行的最前一项,最后一行最 将一维结果推广到二维,可首先做成大小 M * N 的周期延拓图像,即 ? f ( x, y ) f e ( x, y ) = ? ? 0
0 ≤ x ≤ A ? 1, ≤ y ≤ B ? 1 0 A ≤ x ≤ M ? 1,B ≤ y ≤ N ? 1

(3.32)

0 ≤ x ≤ C ? 1, ≤ y ≤ D ? 1 0 ?h ( x , y ) he ( x, y ) = ? C ≤ x ≤ M ? 1,D ≤ y ≤ N ? 1 ? 0

(3.33)

这样延拓后, f e ( x, y ) 和 he ( x, y ) 分别成为二维周期函数。它们在 x 和 y 方向 上的周期分别为 M 和 N 。于是得到二维退化模型为一个二维卷积形式
g e ( x, y ) =
M ?1 N ?1 m =0 n =0

∑∑

f e (m, n)he ( x ? m, y ? n)

(3.34)

如果考虑噪声,将 MxN 的噪声项加上,上式可写成为
g e ( x, y ) =
M ?1 N ?1 m =0 n =0

∑∑

f e (m, n)he ( x ? m, y ? n) + ne ( x, y )

(3.35)

同样,可以用矩阵来表示

? H0 ? H g = Hf + n = ? 1 ? M ? ? H M ?1

H M =1 H0 M H M ?2

L H 1 ? ? f e ( 0) ? ? n e ( 0) ? L H 2 ? ? f e (1) ? ? ne (1) ? ?? ?+? ? ? ? ? O M ?? M M ?? ? ? ? L H 0 ? ? f e ( MN ? 1)? ?ne ( MN ? 1)?

(3.36)

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其中每个 H i 是由扩展函数气 he ( x, y ) 的第 i 行而来,即

( ? he i,0) he (i, N ? 1) ? h (i,1) he (i,0) Hi = ? e ? M M ? ?he (i, N ? 1) he (i, N ? 2)
阵。

L he (i,1) ? L he (i,2)? ? L M ? ? L he (i,0) ?

(3.37)

这里伐是一个循环矩阵。因为 H 中的每块是循环标注的,所以 H 是块循环矩

3.2.4 循环矩阵对角化
上述离散退化模型是在线性空何不变的前提下提出的,目的是在给定了
g ( x, y ) ,并且知道 h ( x, y ) 和 n( x, y ) 的情况下,估计出理想的原始图像 f ( x, y ) 。

但是,要想从式(3.36)得到 f ( x, y ) ,对于实用大小的图像来说,处理工作是十 分艰巨的。例如,对于一般精度的图像来说 M = N = 512 ,此时 H 的大小为
MN * MN = (512) 2 * (512) 2 = 262144 * 262144 。因此,要直接得到 f ( x, y ) ,则需

要求解 262144 个联立方程组,其计算量是非常的大。所以对于这个问题我们可 以通过对 H 来简化。 式(3.31)所示的 M 阶循环矩阵 H ,其特征向量和特征值分别为:
2π 2π ? ? w(k ) = ?1 exp( j k ) L exp( j ( M ? 1)k )? M M ? ?
T

(3.38)

λ (k ) = he (0) + he ( M ? 1) exp( j

2π ? 2π ? k ) + L + he (1) exp ? j ( M ? 1)k ? (3.39) M ? M ?

将 H 的 M 个特征向量组成 M * M 的矩阵 W

w = [w(0) w(1) L w( M ? 1)]

(3.40)

此处各 w 的正交性保证了 W 的逆矩阵存在,而 W ?1 的存在保证了 W 的列(即
H

的特征向量)是线性独立的。于是,可以将 H 写成
H = WD W ?1

(3.41)

其中 D 为对角矩阵,其元素正是 H 的特征值,即 D(k , k ) = λ (k ) 。 对于式 (3.36)中的块循环矩阵 H ,定义一个 MN * MN (包含 M * M 个
N * N 块)的矩阵评,其块元素为

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W (i, m) = exp( j

2π im)W N M

i, m = 0,1,..., M ? 1

(3.42)

其中 WN 为 N * N 的矩阵,其元素为
2π kn) M 借助以上对循环矩阵的讨论可类似得到: W N (k , n) = exp( j k , n = 0,1,..., N ? 1

(3.43)

H = WD W ?1

(3.44)

进一步, H 的转置 H T 可用 D 的复数共轭 D * 表示为:
H T = WD *W ?1

(3.45)

首先讨论一维情况,将式(3.41)代入(3.27),并且两边同时乘 W ?1 ,得
W ?1 g = DW ?1 f

(3.46)

式中乘积 W ?1 f 和 W ?1 g 都是 M 维列向量,其第 k 项分别记为 F (k ) 和 G (k ) , 有
F (k ) = 1 M 1 M
M ?1 i =0

∑f

e

(i ) exp(? j

2π ki ) M 2π ki ) M

(3.47)

G (k ) =

M ?1 i =0

∑g

e

(i ) exp(? j

(3.48)

它们分别是扩展序列 f e ( x) 和 g e ( x) 的傅里叶变换。 式(3.46)中 D 的主对角线元素是 H 的特征值,由式(3.37)有
D(k , k ) = λ (k ) =
M ?1 i =0

∑ h (i) exp(? j M ki) = M * H (k )
e



(3.49)

其中 H (k ) 是扩展序列 he ( x) 的傅里叶变换。 综合式(3.47)式(3.49),得
G (k ) = M * H (k ) F (k ) k , n = 0,1,..., M ? 1

(3.50)

上式右边是 f e ( x) 和 he ( x) 在频域的卷积,可用 FFT 计算得出。 现在考虑二维情况。将式(3.41)代入式(3.36),并且两边同时左乘 W ?1 ,得
W ?1 g = DW ?1 f + W ?1n

(3.51)

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式中乘积 W ?1 g 、 W ?1 f 和 W ?1 n 都是 MN 维列向量,其元素可记为 G (u , v) 、
F (u , v) 和 N (u , v) , u = 0,1,..., M ? 1 ; v = 0,1,..., N ? 1 , 即 G (u , v) =

1 MN 1 MN 1 MN

M ?1 N ?1 x =0 y = 0

∑∑ g
M ?1 N ?1 x =0 y = 0

e

( x, y ) exp(? j 2π (

ux vy + )) M N ux vy + )) M N ux vy

(3.52)

F (u , v) =

∑∑ f

e

( x, y ) exp(? j 2π (

(3.53)

N (u , v) =

M ?1 N ?1 x =0 y = 0

∑∑ n ( x, y ) exp(? j 2π ( M + N ))
e

(3.54)

它们分别是扩展序列 f e ( x, y ) 、 g e ( x, y ) 和 ne ( x, y ) 的二维傅里叶变换。而式 (3.51)中对 角矩 阵 D 的 MN 个对角 元素 D (k , i ) 与 he ( x, y ) 的二维 傅里叶 变换
H (u , v) 相关,即 H (u , v) =

1 MN

M ?1 N ?1 x =0 y = 0

∑∑ h ( x, y ) exp(? j 2π ( M + N ))
e

ux

vy

(3.55)

? ?? k ? ? ?MN * H ? ? ?, k mod N ? i = k ? N ? D(k , i) = ? ?? ? ? ? 0 i≠k ?

(3.56)

其中 [k / N ] 表示不超过 k / N 的最大整数,k mod N 代表用 N 除 k 得到的余数。 综合式(3.52)~式(3.56),并将 MN 代入 H (u , v) ,得到
G (u , v) = H (u , v) F (u , v) + N (u , v) u = 0,1,..., M ? 1 v = 0,1,..., N ? 1

(3.57)

上式表明,要解式(3.36)所代表的退化模型的大系统方程,我们只需计算很 少几个 M * N 的傅里叶变换就可以了。

3.3 图像的恢复方法 3.3.1 逆滤波复原法
对于线性移不变系统而言
g ( x, y ) =
+∞

∫ ∫ f (α , β )h( x ? α , y ? β )dαdβ + n( x, y)
-∞

= f ( x , y ) * h( x , y ) + n ( x , y )
21

(3.58)

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上式两边进行傅里叶变换得
G (u , v) = H (u , v) F (u , v) + N (u , v)

(3.59)

式中 G (u , v) , F (u , v) , H (u , v) 和 N (u , v) 分别是 g ( x, y ) , f ( x, y ) , h( x, y ) 和
n( x, y ) 的二维傅里叶变换。 H (u , v) 称为系统的传递函数。从频率域角度看,它使图像退化,因而反映了

成像系统的性能。 通常在无噪声的理想情况下,上式可简化 G (u , v) = F (u , v) H (u , v) 则 F (u , v) = G (u , v) / H (u , v) (3.60)

1 称为你滤波器。 对上式再进行傅里叶反变换可得到 f ( x, y ) 。 但实际上 H (u , v) 碰到的问题都是有噪声,因而只能求 F (u , v) 的估计值 F (u , v) = F (u , v) + 然后再作傅里叶逆变换得 f ( x, y ) = f ( x, y ) + ∫
^


^

N (u , v) H (u , v)

(3.61)

?∞

∫ [N (u, v) H

?1

(u , v) e j 2π (ux + vy ) dudv

]

(3.62)

这就是逆滤波复原的基本原理。其复原过程可归纳如下: 对退化图像 g ( x, y ) 作二维离散傅里叶变换,得到 G (u , v) ; 计算系统点扩散函数 h( x, y ) 的二维傅里叶变换,得到 H (u , v) 。(这一步值得 注意的是, 通常 h( x, y ) 的尺寸小于 g ( x, y ) 的尺寸。 为了消除混叠效应引起的误差, 需要把 h( x, y ) 的尺寸延拓。 计算 F (u , v) 的傅里叶变换,求得 f ( x, y ) 逆滤波复原法的缺陷
H (u , v) = 0 :无确定 F (u , v) H (u , v) → 0 :放大噪声
^ ^

若噪声为零,则采用逆滤波恢复法能完全再现原图像。若噪声存在,而且

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H (u , v) 很小或为零时,则噪声被放大。这意味着退化图像中小噪声的干扰在 H (u , v) 较小时,会对逆滤波恢复的图像产生很大的影响,有可能使恢复的图像

和 f ( x, y ) 相差很大,甚至面目全非。 逆滤波复原法解决方法 解决该病态问题的唯一方法就是避开 H (u , v) 的零点即小数值的 H (u , v) .两种 途径:一是:在 H (u , v) = 0 及其附近,认为地仔细设置 H -1 (u , v) 的值,使 N (u , v) * H -1 (u , v) 不会对产生太大影响。下图给出了 H (u , v) 、 H -1 (u , v) 同改进的滤波特性

H 1 (u, v) 的一维波形,从中可看出与正常的滤波的差别。

(a)图像退化响应

(b)逆滤波器响应

(c)改进的你滤波器响应

二是:使 H (u , v) 具有低通滤波性质。
1 ? ? H (u , v) = ? H (u,v) ? 0 ?
-1

(u 2 + v 2 ) ≤ D02 (u + v ) > D
2 2 2 0

(3.63)

23

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(a)电光源 f(x,y)

(b)退化图像 g(x,y)

G (u , v) = F (u , v) H (u , v) ≈ H (u , v)

(a)原图

(b)退化图像

(c)H(u,v)

(d) H(u,v) → 0

3.3.2 约束最小平方复原法
约束最小平方复原是一种以平滑度为基础的图像复原方法。如前所述,在进 行图像恢复计算时,由于退化算子矩阵 H [.] 的病态性质,多数在零点附近数值起 伏过大,使得复原后的图像产生了多余的噪声和边缘。约束最小平方复原仍然是 以最小二乘方滤波复原公式为基础, 通过选择合理的 Q ,并优化 Qf 掉被恢复图像的这种尖锐部分,即增加图像的平滑性。 我们知道,图像增强的拉普拉斯算子 ? 2 f = (
?2 ?2 + 2 ) ,它具有突出边缘的 ?x 2 ?v
2

,从而去

作用, 然而 ∫ ∫ ? 2 f dxdy 则恢复了图像的平滑性,因此,在作图像恢复时可将其 作为约束。现在的问题是如何将其表示成 Qf
2

的形式,以便使用式(3.64)。

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在离散情况下,拉普拉斯算子可用下面的差分运算实现: ( ? 2 f ( x. y ) ? 2 f ( x, y ) + ) ?x 2 ?y 2
= f ( x + 1, y ) ? 2( x, y ) + f ( x ? 1, y ) + f ( x, y + 1) ? 2 f ( x, y ) + f ( x, y ? 1) = f ( x + 1, y ) + f ( x ? 1, y ) + f ( x, y + 1) + f ( x, y ? 1) ? 4 f ( x, y )

(3.64)

利用 f ( x, y ) 与下面的模板算子进行卷积可实现上面的运算:

?0 1 0 ? p ( x, y ) = ?1 ? 4 1? ? ? ?0 1 0 ? ? ?

(3.65)

在离散卷积的过程中,可利用延伸 f ( x, y ) 和 p ( x, y ) 来避免交叠误差。延伸后 的函数为 p e ( x, y ) 。建立分块循环矩阵,将平滑准则表示为矩阵形式:

? C1 ? C 2 C =? ? M ? ?C M ?1

C0 C1 M C M ?2

C M ?1 L C 2 ? C 0 L C3 ? ? M M ? ? C M ?3 L C 0 ?

(3.66)

式 (3.66) 中 每 个 子 矩 阵 C j

( j = 0,1,..., M ? 1) 是 p e ( x, y ) 的 第 j 行 组 成 的

N * N 循环矩阵。即 C j 如下表示:

Pe ( j , N ? 1) L Pe ( j ,1) ? ? Pe ( j ,0) ? P ( j ,1) Pe ( j ,0) L Pe ( j ,2)? e ? Cj = ? ? M M M M ? ? ? ? Pe ( j , N ? 1) Pe ( j , N ? 2) L Pe ( j ,0) ?
根据循环矩阵的对角化可知,可利用前述的矩阵 W 进行对角化,即
E = W ?1 CW

(3.67)

(3.68)

式中, E 为对角矩阵,其元素为
? ?k ? ?( P , kMODN E (k , i) = ? ? N ? ? ? ? 0 ?

)

i≠k i=k

(3.69)

E (k , i ) 是 C 中元素 p e ( x, y ) 的二维傅立叶变换。并且,可以将 ∫ ∫ ? 2 fdxdy 写成
f T C T Cf ,定义 Q = C ,则 f T C T Cf = Qf
25
2



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如果要求约束条件 g ? Hf = n 得到满足,在 Q = C 时,有
2

f = H T H + γC T C

^

(

)

?1

H T g = (WD * DW ?1 + αWE * EW ?1 ) ?1WD *W ?1 g (3.70)

式(3.70)两边同乘以 W ?1 ,得 W ?1 f = ( D * D + γE * E ) ?1 D *W ?1 g 式中, D * 为 D 的共轭矩阵。 所以
^

(3.71)

? ? ^ N 2 H * (u, v) ?G (u, v) F (u, v) = ? 2 2 2 ? N H (u, v) + γN 4 P(u, v) ? ? ? ? ? H * (u, v) ?G (u, v) =? 2 2 2 ? N H (u, v) + γN 2 P(u, v ) ? ? ?
2

(3.72)

式中,u,v = 0,1,..., N ? 1 ,而且 H (u , v) = H * (u , v) H (u , v) 。本滤波器也称为
最小平方滤波器。

3.3.3 维纳滤波复原法
维纳滤波法是由 Wiener 首先提出的,应用于一维信号处理,取得了很好的效 果。之后,维纳滤波法被用于二维信号处理,也取得了不错的效果,尤其在图像 复原领域, 由于维纳滤波计算量小, 复原效果好, 从而得到了广泛的应用和发展。 维纳滤波器寻找一个使统计误差函数
e 2 = E{( f ? f ) 2 }
∧ ∧

(3.73)

最小的估计 f 。 E 是期望值操作符, f 是未退化的图像。该表达式在频域可 表示为
H (u , v) 1 F (u , v) = [ ]G (u , v) H (u , v) H (u , v) 2 + Sη (u , v) / Sη (u , v)


2

(3.74)

其中,
H (u , v ) 表示退化函数

H (u , v) 2 = H ? (u , v) H (u , v)
H ? (u , v ) 表示 H (u , v ) 的复共轭

(3.75)

26

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Sη (u , v) = N (u , v) 表示噪声的功率谱
2

S f (u , v ) = F (u , v ) 表示未退化图像的功率谱
2

比 率 Sη (u , v ) / Sη (u , v ) 称 为 信 噪 功 率 比 。 在 IPT 中 维 纳 滤 波 使 用 函 数 deconvwnr 来实现的。

27

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第四章 维纳滤波实现对退化图像的复原
4.1 维纳滤波的基本原理 4.1.1 维纳滤波概述
维纳(Wiener)滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤(或滤波) 的方法。实际上这种线性滤波问题,可以看成是一种估计问题或一种线性估计问 题。 一个线性系统,如果它的单位样本响应为 h(n) ,当输入一个随机信号 x(n) , 且
x(n) = s (n) + v(n)

(4.1)

其中 s (n) 表示信号, v(n) 表示噪声,则输出 y (n) 为
y (n) = ∑ h(m) x(n ? m)
m

(4.2)

我们希望 x(n) 通过线性系统 h(n) 后得到的 y (n) 尽量接近于 s (n) ,因此称 y (n) 为 s (n) 的估计值,用 s (n) 表示,即 y (n) = s (n)
∧ ∧

(4.3)

x(n) = s (n) + v(n)

y ( n) = s ( n )

^

h(n)
图 4.1 维纳滤波器的输入一输出关系

如图 4-1 所示。这个线性系统 h(n) 称为对于 s (n) 的一种估计器。 实际上,式(2.2)的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值 x(n) , x(n ? 1) , x(n ? 2) … x(n ? m) ,…来估计信号的当前值 s (n) 。因此,用 h(n) 进行过 滤的问题可以看成是一个估计问题。由于我们现在涉及的信号是随机信号,所以 这样一种过滤问题实际上是一种统计估计问题。 一般,从当前的和过去的观察值 x(n) , x(n ? 1) , x(n ? 2) …估计当前的信


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号值 y (n) = s (n) 称为过滤或滤波;从过去的观察值,估计当前的或将来的信号值 y (n) = s (n + N ) ( N ≥ 0) 称为预测或外推;从过去的观察值,估计过去的信号值 y (n) = s (n - N ) ( N ≥ 1) 称为平滑或内插。因此维纳过滤又常常被称为最佳线性过 滤与 预测或线性最优估计。这里所谓最佳与最优是以最小均方误差为准则的。这 里只讨论过滤与预测问题。 如果我们以:与 s 分别表示信号的真值与估计值,而用 e(n) 表示它们之间 的误差,即 e(n) = s (n) ? s (n)
∧ ∧ ∧

(4.4)

显然, e(n) 可能是正的,也可能是负的,并且它是一个随机变量。因此,用 它的均方值来表达误差是合理的, 所谓均方误差最小即它的平方的统计平均值最 小:
E e (n) min

[

2

]

2 ^ ? ? ?? ? ? = E ? ? s ( n) ? s ( n ) ? ? ?? ? ? min ? ?

(4.5)

采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简 单,不要求对概率的描述。并且在这种准则下导出的最佳线性系统对其它很广泛 一类准则而言也是最佳的。

4.1.2 时间序列的滤波、预测、平滑
滤波、预测与平滑都是对时间序列而言的。所谓时间序列就是随机变量关于 时间的函数。随机过程最著名的例子可以说是布朗运动了。布朗运动是悬浮在液 体中的微粒所做的永不停止的运动。布朗在显微镜的视野里观察到了这种运动。 微粒的运动是受来自各方液体分子的撞击所引起的。 这个就揭示了微观世界的秘 密。类似的例子我们随处可见,例如:雷达中的热噪声与目标噪声,飞行器遇到 的湍流,心电图中的杂音尖峰,时间序列是这类物理现象的总称。离散分布是连 续时间函数以某一时间间隔采样的结果,称每个采样值为一个标本。相反,连续 分布也可以认为是当采样时间间隔趋于无限小时离散分布的极限情况。 时间序列是对随机变量长期观察的结果,但是随机变量的个别观察结果总 是呈现为不规则的行为,要预测个别的结果几乎是不可能的。但是,对它的长时 间的观察的平均结果却表现出显著的规则性, 统计学所描述的正是这种规则性的 数学模型。 随机变量的分布函数描述了随机变量的最完整的性质。在一系列的实际情
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形中,往往只要知道分布的某些数字特征就足够了,其中这里最关心的是均值与 方差。 随机变量 x 的均值(又称为数学期望),定义为
Ex =


?∞

∫ xp( x)dx = m

(4.6)

式中 p (x) 随机变量 x 的概率密度。 随机变量 x 的平方均值定义为
Ex 2 =


?∞

∫x

2

p ( x)dx

(4.7)

随机变量 x 的方差定义为
Varx = E [x ? Ex] = E [x ? m] = σ 2
2 2

(4.8)

方差的物理意义在工程领域是很重要的。 均值、平方均值以及方差是有联系的


σ2 =
=

?∞ ∞

∫ [x ? m]

2

p ( x)dx
∞ ∞

?∞

2 2 ∫ x p( x)dx ? 2m ∫ xp( x)dx + m

?∞

?∞

∫ p( x)dx

= Ex 2 ? 2m 2 + m 2 = Ex 2 ? m 2

或者记为:

σ 2 = Ex 2 ? (Ex) 2
度量离散或者密集的情况。

(4.9)

方差表征了随机变量的一切值在其平均值的两旁的分布情况, 即可用方差来 笼统来讲, 滤波, 预测与平滑都属于过滤问题, 但是三者之间还是有差别的, 只有明了三者的差别,才能正确建立滤波,预测与平滑的概念。 滤波问题是一类估计问题, 所谓最佳滤波输出, 指的就是最小均方误差估计, 所以滤波器在某种意义上来说就是一个最小均方误差估计器了。 输出可以用 s (n) 来表示。 如果滤波器的输出是输入信息的准确复现, 则输出为理想输出, s d (n) 用 表示。实际上,在有干扰与噪声 v(n) 存在的情况下,没有误差的理想输出几乎是


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不可能的。这个误差记为 e(n)
e(n) = s (n) ? s d (n)


(4.10)

由于 s d (n) = s (n) 上式又可写为 e(n) = s (n) ? s (n)


(4.11)

我们所设计的滤波器应当使 e(n) 很小。在研究线性滤波器时,采用最小均方 误差准则,即使滤波器输出的均方误差为最小。均方误差定义为 E e 2 (n) = lim


[

]

1 T →∞ 2T

?^ ? ∫T ?s(n) ? s(n)? dn ? ? ?

T

2

(4.12)

滤波器在 n 时刻复现信号 s (n) 显然是滤波问题。这是一种简单的过滤,滤除 噪声 v(n) 是唯一的目的。但输出在时间上的简单的超前或者滞后,都不失为线性 滤波问题。 在 n 时刻,滤波器输出如果为 s (n + a ) ,这显然是一种超前的情况,输出
s (n + a ) 是 s (n + a ) 的估计值,它比 x(n) 超前了 a 时间。这个时候滤波器所完成的
∧ ∧

是一种预测,研究这种情况就是研究预测问题。 另外一种情况,是输出滞后的情况。即在 n 时刻,滤波器输出为 s (n ? a ) , 是 s (n ? a ) 的一个估计值,滞后是明显的。在某些譬如通讯系统中,这个是允许 的,因为简单的延迟并不意味着失真。常常延迟对提取信息是有好处的,可以获 得更高的滤波精度。这类问题称为平滑。


4.2 维纳滤波对退化图像的恢复 4.2.1 维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程
设计维纳滤波器的过程就是寻求在最小均方误差下滤波器的单位脉冲响应
h(n) 或传递函数 H (z ) 的表达式,其实质就是解维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。

我们从时域入手求最小均方误差下的 h(n) ,用 hopt (n) 表示最佳线性滤波器。这里 只讨论因果可实现滤波器的设计。 因果的维纳滤波器 设 h(n) 是物理可实现的,也即是因果序列:
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h ( n) = 0 ,

当n < 0

因此,从式上式中可推导:
y (n) = s (n) = ∑ h(m) x(n ? m)
m =0

^

+∞

(4.13) ? ? ? ? ?
2

E [e

2

? ? (n)] = E ?? s (n) ? ∑ h(m) x(n ? m) ?
+∞

?

?? ?

(4.14)

m =0

要使得均方误差最小,则将上式对各 h(m) , m = 0,1,..., 求偏导,并且等于零, 得
+∞ ?? ? ? 2 E ?? s (n) ? ∑ hopt (m) x(n ? m) ? x(n ? j )? = 0 m=0 ? ?? ?

j = 0,1,...,

(4.14)



E [s (n) x(n ? j )] = ∑ hopt (m) E [x(n ? m) x(n ? j )]
m =0

+∞

j≥0

(4.15)

用相关函数 R 来表达上式,则得到维纳-霍夫方程的离散形式:
Rxx( j) = ∑ hopt (m) R xx ( j ? m)
m =0 +∞

j≥0

(4.16)

从维纳-霍夫方程中解出的 h 就是最小均方误差的最佳 h ,hopt (n) ,这时的均 方误差为最小:
E [e
2 2 +∞ ?? ? ? = E ?? s (n) ? ∑ hopt (m) x(n ? m) ? ? m =0 ? ? ?? ? ?

(n)]

min

+∞ +∞ +∞ ? ? = E ? s 2 (n) ? 2 s (n) ∑ h(m) x(n ? m) + ∑∑ hopt (m) x(n ? m)hopt (r ) x(n ? r )? m =0 m =0 r = 0 ? ? +∞ +∞ ? +∞ ? = R xx (0) ? 2 ∑ hopt (m) R xx (m) + ∑ hopt (m) ?∑ hopt (r ) R xx m ? r )? ( m=0 m =0 ? r =0 ?

(4.17)

由式(4.17)进一步化简得:
E e 2 (n) min = R xx (0) ? ∑ hopt (m) R xx (m)
m =0

[

]

+∞

(4.18)

有限脉冲响应法求解维纳—霍夫方程 如何去求解维纳—霍夫方程,即式(4.18)中解 hopt (n ) 的问题,设 h(n) 是一个因果序列且可以用有限长( N 点长)的序列去逼进它,则(4.13)— (4.18)分别发生变化:
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N ?1

y (n) = s (n) = ∑ h(m) x(n ? m)
m =0

^

(4.19)

E e ( n)

[

2

]

2 N ?1 ?? ? ? = E ?? s (n) ? ∑ h(m) x(n ? m) ? ? m =0 ? ? ?? ? ?

(4.20)

N ?1 ?? ? ? 2 E ?? s (n) ? ∑ hopt (m) x(n ? m) ? x(n ? j )? = 0 j = 0,1,..., N ? 1 m=0 ? ?? ?

(4.21)

E [s (n) x(n ? j )] = ∑ hopt (m) E [x(n ? m) x(n ? j )]
m =0 N ?1

N ?1

j = 0,1,..., N ? 1

(4.22)

Rxx(j) = ∑ hopt (m) R xx ( j ? m)
m =0

j = 0,1,..., N ? 1

(4.23) 于是得到 N 个线性方程:
R xx (0) = h(0) R xx (0) + h(1) R xx (1) + ..... + h( N ? 1) R xx N ? 1) ( ?j =0 ? j =1 R xx (1) = h(0) R xx (1) + h(1) R xx (0) + ..... + h( N ? 1) R xx ? ? M ? R xx ( N ? 1) = h(0) R xx ( N ? 1) + h(1) R xx ( N ? 2) + .... + h( N ? 1) R xx (0) 写 ? j = N ?1 ? ? ? ? ? 成矩阵形式有:

R xx 1) ( ? R xx (0) ? R (1) R xx (0) xx ? ? M M ? ? R xx ( N ? 1) R xx ( N ? 2) 简化形式:

L R xx ( N ? 1) ? L R xx ( N ? 2)? ? ? L M ? L R xx (0) ?

? h(0) ? ? R xx (0) ? ? h(1) ? ? R (1) ? xx ? ? ? =? ? ? M ? ? M ? ? ? ? ?h( N ? 1)? ? R xx ( N ? 1)?

(4.24)

R xx H = R xs 式中, H = [h(0)h(1) L h( N ? 1)] ,是待求的单位脉冲响应;
r

R xs = [R xx (0), R xx (1),L R xx ( N ? 1)] ,是互相关序列;
r

R xx (1) ? R xx (0) ? R (1) R xx (0) xx R xx = ? ? M M ? ? R xx ( N ? 1) R xx ( N ? 2)
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L R xx ( N ? 1) ? L R xx ( N ? 2)? ? ,是自相关矩阵。 ? L M ? L R xx (0) ?

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只要 R xx 是非奇异的,就可以求到 H:

H = R xx R xs
-1

(4.25)

求得 hopt (n) 后,这时的均方误差为最小:
E [e
2

(n)]

min

2 N ?1 ?? ? ? = ?? s (n) ? ∑ hopt (m) x(n ? m) ? ? m=0 ? ? ?? ? ?

N ?1 N ?1 N ?1 ? ? = E ? s 2 (n) ? 2 s (n) ∑ h(m) x(n ? m) + ∑∑ hopt (m) x(n ? m)hopt (r ) x(n ? r )? m =0 m =0 r = 0 ? ? N ?1 N ?1 ? N ?1 ? = R xx (0) ? 2 ∑ hopt (m) R xx (m) + ∑ hopt (m) ?∑ hopt (r ) R xx m ? r )? ( m=0 m =0 ? r =0 ?

由式(4.25)进一步化简得:
E e 2 (n) min = R xx (0) ? ∑ hopt (m) R xx (m)
m =0

[

]

N ?1

(4.26)

用有限长的 h(n) 来实现维纳滤波时, 当已知观测值的自相关和信号的互相关 时就可以按照式(4.25)在时域里求解 hopt (n) 。但是当 N 比较大时,计算量很大, 并且涉及到求自相关矩阵的逆矩阵问题。

4.2.2 维纳滤波图像恢复的原理
维纳滤波是一种有约束的复原恢复, 它综合了退化图像和噪声统计特性两个 方面进行了复原处理。维纳滤波,它是使原图像 f ( x, y ) 及其恢复图像 f ( x, y ) 之 间的均方差最小的复原方法,即:
2 ^ ? ? ?? ? ? E ?? f ( x, y ) ? f ( x, y )? ? = min ?? ? ? ? ?
^

(4.27)

. 因此, 维纳滤波器通常又叫最小均方差滤波器。 式中,E{}为数学期望算子。
很容易推到出原始图像的傅里叶变换估计为:
F (u , v) = H w (u , v)G (u , v)
^

1 = . H (u, v)

H (u , v)
2

2

p (u, v) H (u, v) + γ u p f (u, v)

.G (u, v)

(4.28)
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上式也称作约束复原恢复通用的表达式,它的传递函数为:

1 H w (u , v) = . H (u, v)

H (u , v)
2

2

p (u, v) H (u , v) + γ u p f (u, v)

.G (u, v)

(4.29)

4.3 实验仿真
在仿真实验中,主要利用了MATLAB 7.0的实验平台,利用MATLAB中自带的函 数wiener2( )和deconvwnr( )对噪声污染的图片进行含噪信号的恢复。 Wiener2() 函数提供了适应于图像处理的维纳滤波器,当图像变化较大时,滤波后的效果较 差,变化较小时,回复函图像的效果较为细腻,光滑。维纳滤波作为含噪波形估 计中的最佳滤波,比一般的线性滤波器效果都好,不仅保留了图像的边缘部分和 高频部分,而且尤其是对于处理高斯白噪声具有最佳效果,当然这无形中也增加 了计算量。由于wiener2( )函数只能对灰度图进行含噪恢复,而不能对真彩图进 行滤波操作。此处又使用了既可对真彩图操作,又可实现多种不同噪声干扰、污 染的函数deconvwnr( )。该函数利用了维纳滤波器对含噪图像进行恢复,从其函 数名就可看出是维纳去卷积的意思,维纳滤波去卷积如图4-2所示

s (t )
F(s)

w(t )
+

s (t )
1 F (s)

y (t )
H 0 (s)

z (t )

G (t )
m(t )

图 4-2 维纳去卷积

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1、 将原始图像 “1.jpg” 存放在 MATLAB 的根目录下,运行如下代码,将原始 图像转变为灰度图,如图 4-3 所示: close all; clear; RGB = imread('1.jpg'); I=rgb2gray(RGB); figure(1); subplot(1,2,2); imshow(I); title('original image');

图 4-3

1.jpg

1 2、运行如下代码,在原始图像中加入方差为 0.005 的高斯白噪声,生成含噪图 像如图 4-4 所示,通过维纳滤波后,生成如图 4-3 的恢复图 J = imnoise(I,'gaussian',0,0.005); figure(2); subplot(1,2,1); imshow(J); title('gaussian blurred image') J0=wiener2(J,[10 10]); subplot(1,2,2); imshow(J0); title('image tracked with wiener fliter')

图 4-4

gaussian blurred image

图 4-5

image tracked with wiener fliter

3、运行如下代码,将原始图像通过均衡滤波器,使图像产生模糊如图 4-6 所示,通过维纳滤波后恢复的图像如图 4-7 所示。 PSF1= fspecial('disk',10); K= imfilter(I,PSF1,'circular','conv'); figure(4); subplot(1,2,1);

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imshow(K); title('Blurred Image'); K0=deconvwnr(K,PSF1); subplot(1,2,2); imshow(K0); title('image tracked with wiener fliter');

图 4-6 Blurred Image

图 4-7

image tracked with wiener fliter

4、运行如下代码将原始图像通过均衡滤波器,产生“运动模糊”图像如图 4-8 所示,通过维纳滤波后恢复的图像如图 4-9 所示。 PSF2= fspecial('motion',30,20); L= imfilter(I,PSF2,'circular','conv'); figure(3); subplot(1,2,1); imshow(L); title('Motion blurred Image'); L0=deconvwnr(L,PSF2); subplot(1,2,2); imshow(L0); title('image tracked with wiener filter');

图 4-8 Motion blurred Image

图 4-9 image tracked with wiener filter

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第五章 结论

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致 谢
在本次论文得撰写中,我得到了李艳丽老师的精心指导,不管是从开始选课 题定方向还是查阅资料准备的过程中,一直都耐心地给予我指导和意见,使我在 总结学业和撰写论文方面都有了较大的提高; 同时也显示了李老师高度的敬业精 神和责任感。在此我对李老师表示诚挚的感谢以及真心的祝福。 大学生活即将结束,回顾几年的历程,老师们给了我们很多指导和帮助。他 们严谨的治学, 优良的作风和敬业的态度。 为我们树立了为人师表的典范。 在此, 我对所有的信息工程学院老师表示感谢,祝你们身体健康,工作顺利!

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参考文献
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