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高三数学第二轮专题复习系列(7)-- 直线与圆的方程


高三数学第二轮复习——直线与圆的方程

高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
典型例题精讲——直线
【例1】 已知点 B(1,4) ,C(16,2) ,点 A 在直线 x-3y+3 = 0 上,并且使 ? ABC 的面积等 于 21,求点 A 的坐标。 解:直线 BC 方程为 2x+5y-22 = 0,|BC| = BC 的距离为 ∴y?

【例2】
| 11y ? 28 | 29
29 ,设点 A 坐标(3y-3,y),则可求 A 到

,∵ ? ABC 面积为 21,∴

1 | 11y ? 28 | 29 ? ? 21, 2 29

70 14 177 70 75 14 )或( ? ,? ). 或 ? ,故点 A 坐标为( , 11 11 11 11 11 11


已知直线 l 的方程为 3x+4y-12=0, 求直线 l 的方程, 使得:


(1) l 与 l 平行, 且过点(-1,3) ; (2) l 与 l 垂直, 且 l 与两轴围成的三角形面积为 4. 解: (1) 由条件, 可设 l 的方程为 3x+4y+m=0, 以 x=-1, y=3 代入, 得 -3+12+m=0, 即得 m=-9, ∴直线 l 的方程为 3x+4y-9=0; (2) 由条件, 可设 l 的方程为 4x-3y+n=0, 令 y=0, 得 x ? ? 角形面积 S ?
′ ′ ′ ′ ′ ′

n n , 令 x=0, 得 y ? , 于是由三 4 3

1 n n 2 ? ? ? ? 4 , 得 n =96, ∴ n ? ?4 6 2 4 3

∴直线 l 的方程是 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 4 6 ? 0 【例3】 过原点的两条直线把直线 2x+3y-12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分,求这二直线 的夹角。 解:设直线 2x+3y-12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点, 则 A(0,4) ,B(6,0) ,设分点 C,D,设 ?COD ? ? 为所求角。
6 ? ? xc ? 1 ? 2 ? 2 BC 8 ∵ ,∴C(2, ). ? 2 ,∴ ? 0 ? 4? 2 8 CA 3 ? yc ? ? 1? 2 3 ? 0 ? 2?6 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? 4 4 AD 4 1 又 ,∴D(4, ),∴ k OC ? , kOD ? . ? 2 ,∴ ? 4 4 DB 3 3 3 ? y0 ? ? 1? 2 3 ?

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
k ? k OD |? ∴ tg? ?| OC 1 ? k OC k OD 4 1 ? 3 3 ? 9 ,∴ ? ? arctg 9 . 4 1 13 13 1? ? 3 3

【例4】

一条直线经过点 P(3,2) ,并且分别满足下列条件,求直线方程: (1)倾斜角是直线 x-4y+3=0 的倾斜角的 2 倍; (2)与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点,且△AOB 的面积最小(O 为坐标原点) 分析: (2)将面积看作截距 a、b 的函数,求函数的最小值即可
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解: (1) 设所求直线倾斜角为θ , 已知直线的倾斜角为α , 则θ =2α , tanα = 且 tanθ =tan2α =

1 , 4

8 , 15 从而方程为 8x-15y+6=0 y x (2)设直线方程为 + =1,a>0,b>0, a b
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代入 P(3,2) ,得

6 3 2 + =1≥2 ,得 ab≥24, ab b a

1 ab≥12, 2 3 2 b 2 此时 = ,∴k=- =- b 3 a a ∴方程为 2x+3y-12=0 点评:此题(2)也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值
从而 S△AOB=
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【例5】

过点(2,1)作直线 l 分别交 x,y 轴正并轴于 A,B 两点

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(1)当 ΔAOB 面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|?|PB|取最小值时,求直线 l 的方程 解:(1)设所求的直线 l 方程为 由已知

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x y ? ? 1 (a>0,b>0), a b

2 1 ? ?1 a b

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?2 1? ? 2 1 ?a b? 1 ? = ,∴SΔ AOB= 1 ab ?4, 于是 ? ? ? a b ? 2 ? 4 2 ? ? ? ?

2

y
B P

2 1 1 ? ? ,即 a=4,b=2 时取等号, a b 2 x y 此时直线 l 的方程为 ? ? 1 ,即 x+2y─4=0 4 2
当且仅当

o
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?

A

x

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(2)解法一:设直线 l :y─1=k(x─2),分别令 y=0,x=0,得 A(2─

1 ,0), B(0,1─2k) k

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则|PA|?|PB|= (4 ? 4k )(1 ?
2

1 1 ) = 8 ? 4(k 2 ? 2 ) ?4,当且仅当 k2=1,即 k=±1 时,取最小 2 k k

值, 又 k<0,∴k=─1, 此时直线 l 的方程为 x+y─3=0 解法二: 如图,设∠PAO=θ,则|PA|=1/sinθ, |PB|=2/cosθ(0<θ<π/2), ∴|PA|?|PB|=2/(sinθcosθ)=4/sin2θ?4, ∴当且仅当 sin2θ=─1 即 θ=3π/4 时,|PA|?|PB|取最小值 4,此时直线 l 的斜率为─1,方程为 x+y─3=0 点评:本题分别选用了截距式和点斜式,应根据条件灵活选用直线方程的形式
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【例6】

直线 l 被两条直线 l1 :4x+y+3=0 和 l 2 :3x─5─5=0 截得的线段中点为 P(─1,2),求直线 l 的 方程
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解:设点(a,b)在 l1 上,依题意,(─2─a,4─b)在直线 l 2 上, ∴?

?4 a ? b ? 3 ? 0 ? a ? ?2 ,解之得: ? ?3(?2 ? a) ? 5(4 ? b) ? 5 ? 0 ?b ? 5
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由两点式得直线 AB 的方程为:3x+y+1=0 【例7】 已知两点 A(-1,2) 、B(m,3)
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(1)求直线 AB 的斜率 k 与倾斜角α ; (2)求直线 AB 的方程;

3 -1, 3 -1] ,求直线 AB 的倾斜角α 的取值范围. 3 π 解: (1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在,倾斜角α = . 2 1 当 m≠-1 时,k= , m ?1 1 当 m>-1 时,α =arctan , m ?1 1 当 m<-1 时,α =π +arctan . m ?1 (2)当 m=-1 时,AB:x=-1, 1 当 m≠1 时,AB:y-2= (x+1) . m ?1 π (3)①当 m=-1 时,α = ; 2 ②当 m≠-1 时,
(3)已知实数 m∈[-

3 1 ∈(-∞,- 3 ]∪[ ,+∞) , 3 m ?1 π π π 2π ∴α ∈[ , )∪( , ] 3 6 2 2
∵k=
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故综合①、②得,直线 AB 的倾斜角α ∈[ 【例8】

π 2π , ] 3 6

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在 ΔABC 中,BC 边上的高所在的直线方程是 x─2y+1=0,∠A 的平分线所在的直线方 程为 y=0,若点 B 的坐标为(1,2),求点 A 和点 C 的坐标
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解:由 ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ?A(─1,0) 又 kAB=1, ?y ? 0
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∵ x 轴是∠A 的平分线, ∴kAC=─1, ∴AC: y=─(x+1), 又 kBC=─2, ∴BC: y─2=─2(x─1) 由?

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?2 x ? y ? 4 ? 0 ?C(5,─6) ?x ? y ? 1 ? 0

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点评:分析出图形,是此题的要点 【例9】

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已知等腰直角三角形 ABC 中,C=90°,直角边 BC 在直线 2 x +3y-6=0 上,顶点 A 的坐标是(5,4),求边 AB 和 AC 所在的直线方程
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2 , 3 ∵直线 AC 与直线 BC 垂直,? 3 ∴直线 AC 的方程为 y-4= ( x -5)? 2 即 3 x -2y-7=0 ? ∵∠ABC=45°,?
解:直线 BC 的斜率 kBC=- ∴

k AB ? k BC ? 1, 1 ? k AB ? k BC

k AB ? 1?

2 k AB 3

2 3 ?1

kAB=-5 或 kAB=

1 5

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1 ( x -5)或 y-4=-5( x -5) 5 即 x -5y+15=0 或 5 x +y-29=0 说明:此题利用等腰直角三角形的性质,得出∠ABC=45°,再利用夹角公式,求得 直线 AB 的斜率,进而求得了直线 AB 的方程
∴AB 边所在的直线方程为:y-4=
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【例10】 求证:不论 m 为什么实数,直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过一定点 证法一:取 m =1,得直线方程 y =-4;再取 m =

1 ,得直线方程为 x=9 2 从而得两条直线的交点为(9,-4) ,又当 x =9, y =-4时,有
9(m ? 1) ? (?4)(2m ? 1) y ? m ? 5

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即点(9,-4)在直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 上, 故直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过定点(9,-4) 证法二:∵ (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 ,∴ m (x+2 y -1)-(x+ y -5)=0, 则直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过直线 x +2 y -1=0 与 x + y -5=0 的交 点
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由方程组 ?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 x =9, y =-4,即过点(9,-4) ?x ? y ? 5 ? 0
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所以直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 经过定点(9,-4) 证法三:∵( (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 ,

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∴ m ( x +2 y -1)= x + y -5 由 m 为任意实数,知关于 m 的一元一次方程 m ( x +2 y -1)= x + y -5 的解集 为 R, ∴?

?x ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 x =9, y =-4 ?x ? y ? 5 ? 0
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所以直线 (m ? 1) x ? (2m ? 1) y ? m ? 5 都通过定点(9,-4)

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【例11】 k 为何值时,直线 l1 :y=k x +3k-2 与直线 l 2 : x +4y-4=0 的交点在第一象限

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? 12 ? 12k x? y ? kx ? 3k ? 2 ? ? ? 4k ? 1 解:由 ? 得? x ? 4y ? 4 ? 0 ? 7k ? 2 ? y? ? 4k ? 1 ?

?12 ? 12 k ? 4k ? 1 ? 0 2 ? ? <k<1 ∵两直线的交点在第一象限?∴ ? 7 ? 7k ? 2 ? 0 ? 4k ? 1 ?
即当

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2 <k<1 时,两直线的交点在第一象限 7 说明:k 为何值时,两直线的交点在第一象限,可以解两直线的方程组成的方程组, 求出交点坐标,让横坐标大于 0,纵坐标大于 0,而后解不等式组即得 k 的范围
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【例12】 若 a ? b ? c ? 0 ,求证直线 ax ? by ? c ? 0 必经过一个定点

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证明:由 a ? b ? c ? 0 ,且 a, b 不同时为 0,设 b ≠0,则 a ? ?(b ? c)

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代入直线方程 ax ? by ? c ? 0 ,得( x - y )+

c ( x -1)=0 b

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此方程可视为过直线 x - y =0 与 x -1=0 的交点的直线系方程 解方程组 ?

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?x ? y ? 0 得 x =1, y =1 ?x ? 1 ? 0
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即两直线交点为(1,1) ,故直线 ax ? by ? c ? 0 过定点(1,1) 点评:以上例题是直线系的应用问题
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【例13】 已知正方形的中心为 G(-1,0) ,一边所在直线的方程为 x +3y-5=0,求其他三 边所在直线方程
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解:正方形中心 G(-1,0)到四边距离均为?

?1? 5 1 ?3
2 2

?

6
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10
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设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为 x +3y-c1=0 ?
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? 1 ? c1 10

?

6 10

,即|c1+1|=6 解得 c1=5 或 c1=7
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故与已知边平行的直线方程为 x +3y+7=0 ? 设正方形另一组对边所在直线方程为? 3 x -y+c2=0 ?
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3 ? (?1) ? c 2 10

?

6 10

,即|c2-3|=6 ?解得 c2=9 或 c2=-3 ?
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所以正方形另两边所在直线的方程为? 3 x -y+9=0 和 3 x -y-3=0 ? 综上所述,正方形其他三边所在直线的方程分别为: x +3y+7=0、3 x -y+9=0、3 x -y-3=0 说明:本例解法抓住正方形的几何性质,利用点到直线的距离公式,求得了正方形其 他三边所在直线的方程
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【例14】 两条平行直线分别过点 P(-2,-2) ,Q(1,3) ,它们之间的距离为 d,如果这两条 直线各自绕着 P、Q 旋转并且保持互相平行。 (1) 求 d 的变化范围; (2) 用 d 表示这两条直线的斜率; (3) 当 d 取最大值时,求两条直线的方程。 (1)解法一 设过点 P(-2,-2)的直线 l1 方程为: Ax+By+C1=0,过点 Q(1,3) 的直线 l2 方程为 Ax+By+C2=0, 由于点 P、 在直线上, Q 得-2A-2B+C1=0, A+3B+C2=0, |C1-C2| |3A+5B | 两式相减得 C1-C2=3A+5B,两直线间的距离为 2 2 = , A +B A2+B2 即: 2-9)A2-30AB+(d2-25)B2=0 (d (※) A A ① 当 B≠0 时,两直线斜率存在,有(d2-9) ( )2-30( )+d2-25=0 B B 由 d>0 及△≥0 得: (-30)2-4(d2-9) 2-25)≥0 (d 从而 0<d≤ 34

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
② 当 B=0 时,两直线分别为 x=-2,与 x=1,它们间的距离为 3,满足上述结论。 综上所述,d 的取值范围是(0, 34 ] 解法二 两平行直线在旋转过程中, 0<d≤PQ, PQ= 34 , d 的取值范围是 而 故 (0, 34 ]。
2 A 15±d 34-d (2)当 B≠0 时,两直线斜率存在,从方程※中解得 = , B d2-9

直线的斜率 k=-

15±d 34-d2 A = - B d2-9 A 3 =- ,对应两条直线分别为 l1:3x+5y+16=0,l2:3x+ B 5

(3)当 d= 34 时,k=- 5y-18=0

【例15】 光线由点 A(?1,4) 射出,遇到直线 l : 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 后被反射,已知其 B(3, 求反射光线所在直线的方程
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62 ), 13

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? y0 ? A 3 ? x ?1 ? 2 , ? 解:设点 A 关于 l 的对称点为 A?( x0 , y 0 ) ,则 ? 0 ?2 ? x 0 ? 1 ? 3 ? y 0 ? 4 ? 6 ? 0 ? ? 2 2

29 ? ? x 0 ? ? 13 , ?3x 0 ? 2 y 0 ? 11 ? 0 ? 解得? 即? ?2 x 0 ? 3 y 0 ? 2 ? 0 ? y 0 ? 28 . ? 13 ?

62 28 ? 62 13 13 所求直线方程为 y ? ? ( x ? 3) ,即 13 x ? 26 y ? 85 ? 0 29 13 3? 13

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点评:以上例题是点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的求解问题

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【例16】 若直线 l1:ax+4y-20=0,l2:x+ay-b=0,当 a、b 满足什么条件时,直线 l1 与 l2 分别相 交?平行?垂直?重合? 当 a=0 时,直线 l1 斜率为 0,l2 斜率不存在,两直线显然垂直。 a 1 b 当 a≠0 时,分别将两直线均化为斜截式方程为:l1:y= - x+5,l2:y= - x+ 。 4 a a (1)当- (2) 当- a 1 ≠ - ,即 a≠±2 时,两直线相交。 4 a a 1 b = - 且 5≠ 时, a=2 且 b≠10 或 a= -2 且 b≠-10 时, 即 两直线平行。 4 a a

a 1 (3)由于方程(- )(- )= -1 无解,故仅当 a=0 时,两直线垂直。 4 a

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
(4)当- a 1 b =- 且 5= 时,即 a=2 且 b=10 或 a= -2 且 b=-10 时,两直线重合。 4 a a

【例17】 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的 多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 解:设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件
?50x ? 20 y ? 2000 200 ? ?y ? x ?x ? 7 ?50x ? 20 y ? 2000 ? ? , 解得 ? 为? 由? y ? 1.5 x ?y ? x ? y ? 200 ? ? ? x ? 0, y ? 0 7 ? ?

∴A 点的坐标为(

200 200 , ) 7 7

由?

? x ? 25 ?50x ? 20 y ? 2000 ? , 解得 ? 75 y ? 1.5 x ? ?y ? 2 ?

∴B 点的坐标为(25,

75 ) 2 75 200 200 , ),B(25, ), 2 7 7

所以满足约束条件的可行域是以 A( O(0,0)为顶点的三角形区域(如右图)

由图形直观可知,目标函数 z=x+y 在可行域内的最优解为(25,

75 ),但注意到 x∈N,y∈N*,故取 y=37. 2
故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择. 【例18】 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食 物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 解: (Ⅰ)由题, c ? 11x ? 9 y ? 4 z ,又 x ? y ? z ? 100 ,所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y . 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
(Ⅱ)由 ?

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 ?4 x ? 6 y ? 320 , 及z ? 100 ? x ? y 得, ? , ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000 ?3x ? y ? 130

所以, 7 x ? 5 y ? 450. 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,

当且仅当 ?

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 , 即? 时等号成立. ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元. 点评: 本题为线性规划问题, 用解析几何的 观点看, 问题的解实际上是由四条直线所围成的

y 3x-y=130

?x ? 0 ?y ? 0 ? 区域 ? 上使得 c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 4 x ? 6 y ? 320 ?3 x ? y ? 130 ?
最大的点.不难发现,应在点 M(50,20)处 取得.

M 4x+6y=320 x

课后专题练习——直线一

1.

设 M= A.M>N

10 2000 ? 1 10 2001 ? 1 ,则 M 与 N 的大小关系为( , N ? 2002 10 2001 ? 1 20 ?1
B.M=N C.M<N

) D.无法判断

解析:将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,102001)连线 的斜率大小,因为 B、C 两点的直线方程为 y= >N. 答案:A

1 x,点 A 在直线的下方,∴kAB>kAC,即 M 10

2.
A.15

三边均为整数且最大边的长为 11 的三角形的个数为( B.30 C.36

) D.以上都不对

解析:设三角形的另外两边长为 x,y,则

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
?0 ? x ? 11 ? ?0 ? y ? 11 ? x ? y ? 11 ?
点(x,y)应在如右图所示区域内 当 x=1 时,y=11;当 x=2 时,y=10,11; 当 x=3 时,y=9,10,11;当 x=4 时,y=8,9,10,11; 当 x=5 时,y=7,8,9,10,11. 以上共有 15 个,x,y 对调又有 15 个,再加上(6,6) ,(7, 7) ,(8,8) ,(9,9) ,(10,10) 、(11,11)六组,所以共有 36 个. 答案:C

3. 过点 ? 2, 在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有??????( C ) ( 1 )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

4. “ m ?

1 ”是“直线 ? m ? 2 ? x ? 3my ? 1 ? 0 与直线 (m ? 2) x ? ? m ? 2? y ? 3 ? 0 相 2

互垂直”的(B ) (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件 (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

5. ? ? ( , ? ) ,则直线 x cos? ? y sin ? ? 1 ? 0 的倾斜角为??????( A ) 2
(A) ? ?

?

?

2
D )

(B) ?

(C) ? ?

?

2

(D) ? - ?

6. 两直线的斜率相等是两直线平行的:


A、充分不必要条件 C、充要条件

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

7. 设 方 程 f ? x, y ? 0表 示 定 直 线 , M ? x0 , y0 ? 是 直 线 l 外 的 定 点 , 则 方 程 ?
f ? x , y ? ? f ? x0 , y 0 ? ? 0
表示直线: ( C ) A、过 M 与 l 相交,但与 l 不垂直 C、过 M 与 l 平行

B、过 M 且与 l 垂直 D、以上都不对

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
8. 下列四个命题:①经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示;
②经过任意两个不同的点 P1(x1,y1) 2(x2,y2)的直线都可以用方程(x2-x1) 、P (x- x1)=(y2-y1) (y-y1)表示;③不经过原点的直线都可以用方程
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x y + =1 表示;④ a b

经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 其中真命题的个数是
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A0
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B1
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C2
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D3
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9. 直线 xcosα + 3 y+2=0 的倾斜角范围是
π π π 5π π 5π , )∪( , ] B [0, ]∪[ ,π ) 6 2 2 6 6 6 5π π 5π C [0, ] D[ , ] 6 6 6 解析:设直线的倾斜角为θ ,
A[
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则 tanθ =-

1 3

cosα 又-1≤cosα ≤1,
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3 3 π 5π ≤tanθ ≤ ∴θ ∈[0, ]∪[ ,π ) 3 3 6 6 答案:B
∴-
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10. 点 P(x,y)到直线 5x-12y+13=0 和直线 3x-4y+5=0 的距离相等,则点 P 的坐标应满足
的是(A) A 32x-56y+65=0 或 7x+4y=0 C 7x+4y=0
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B x-4y+4=0 或 4x-8y+9=0 D x-4y+4=0
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11. 直线 2x-y-4=0 上有一点 P,它与两定点 A(4,-1),B(3,4)的距离之差最大,则 P
点坐标是_________.解析:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求 的 P 点. 答案:P(5,6) 解析:对命题①④,方程不能表示倾斜角是 90°的直线,对命题③,当直线平行于一 条坐标轴时,则直线在该坐标轴上截距不存在,故不能用截距式表示直线 只有②正确 答案:B
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12. 过点(10,─4)且倾角的正弦为 5/13 的直线方程是
(5x─12y─98=0 或 5x+12y─2=0);注意两种情况
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13. 过点 A(2,1),且在 x,y 轴上截距相等的直线方程是
(x+y=3 或 y=x/2) 强调:截距式的使用范围
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14. 已知一直线 l 被两直线 l1 :3x+4y-7=0 和 l 2 :3x+4y+8=0 截得的线段长为 李忠华 Email:lzhhua@vip.qq.com 第 11 页/ 共 28 页

15 且 l 过点 4

高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
P(2,3),求直线 l 的方程
新疆 学案

王新敞

答案:x=2 或 7x-24y+58=0

新疆

王新敞
学案

15. 已知直线 l 和直线 m 的方程分别为 2 x ? y ? 1 ? 0, ? y ? 0 ,则直线 m 关于直线 l 3x
的对称直线 m 的方程为
'

。 13x ? 9 y ? 14 ? 0

16. 自点 A(-3, 3)发出的光线 l 射到 x 轴上, x 轴反射, 被 其反射光线所在直线与圆 x2+y2
-4x-4y+7=0 相切,则光线 l 所在直线方程为_________. 解析:光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0

17. 函数 f ?? ? ?

sin ? ? 1 的最大值为_________,最小值为_________. cos ? ? 2 sin? ? 1 解析:f(θ )= 表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率. cos? ? 2
答案:

4 3

0

18. 设不等式 2x-1>m(x2-1)对一切满足|m|≤2 的值均成立,则 x 的范围为_________.
解析:原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1-2x,-2≤m≤2, 则 f(-2)<0,且 f(2)<0. 答案:

7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2

19. 已知两点 A ? 1, 5)(3, 2) ( ? , B ? ,直线 l 的倾斜角是直线 AB 的倾斜角的一半,求直线
l 的斜率.
1 3

20. 求证:不论 a , b 为何实数,直线 ? 2a ? b ? x ? ? a ? b ? y ? a ? b ? 0 均通过一定点,并
求此定点坐标。

? ?2,3?
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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程

21. 已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y
轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上. (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. (1)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,? 点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为 A、 在过点 O 的直线上, B 所以

log 8 x1 log 8 x2 ,又点 C、 的坐标分别为(x1,log2x1) D 、 ? x1 x2

(x2,log2x2). 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则

kOC ?

log 2 x1 3 log 8 x1 log 2 x2 3 log 8 x2 ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 ∴x2=x13 将其代入

log 8 x1 log 8 x2 ,得 x13log8x1=3x1log8x1, ? x1 x2

由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ).

22. 设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,?),a、b 是常数且 b≠0.
(1)证明:{an}是等差数列. (2)证明:以(an, 程. (3)设 a=1,b=

Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,?)都落在同一条直线上,并写出此直线的方 n

1 ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在 2

圆 C 外时,r 的取值范围. (1)证明:由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b.

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列.

Sn S na ? n(n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a (n ? 1)b 1 1 a (2)证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 n ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2 (

Sn 1 -1)(n=1,2,?)都落在通过 P1(a,a-1)且以 为斜率的直线上.此 2 n 1 直线方程为 y-(a-1)= (x-a),即 x-2y+a-2=0. 2 1 n?2 1 (3)解:当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, ),使 P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆 2 2 2
∴所有的点 Pn(an, C 外的条件是

?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1) 2 ? r 2 ?
由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r<

?( r ? 1) 2 ? 0 ? 17 ? 即?r 2 ? 5r ? ?0 4 ? ?r 2 ? 8r ? 10 ? 0 ?

① ② ③

5 5 - 2 或 r> + 2 2 2

由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1<

5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2 5 - 2 )∪(4+ 6 ,+∞). 2

故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪(1,

课后专题练习——直线二
1.
与圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 相外切,且与 y 轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是
2 2

。 y 2 ? 6? x ? ?
?

?

1? 2?

2.

若直线(m2─1)x─y─2m+1=0 不经过第一象限,则实数 m 的取值范围是
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(1/2?m?1);从直线的斜率或截距去观察

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3.

2 方程 x ? 1 ? 1 ? ( y ? 1) 表示的曲线是___________

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答案:两个半圆

4.

求与点 A(1, 2)的距离等于 4, 且到 x 轴的距离等于 2 的点的坐标: (3, 2)



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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程

5.

l1 的方程为 2x ? y ? 3 ? 0 , l1 关于 x 轴对称的直线为 l 2 , l 2 关于 y 轴对称的直线
为 l 3 ,那么直线 l 3 的方程为( B )

A. x ? 2 y ? 3 ? 0 B. 2x ? y ? 3 ? 0 C. 2x ? y ? 3 ? 0 D. 2x ? y ? 6 ? 0

6.

已知定点 A(1,1),B(3,3),点 P 在 x 轴上,且 ?APB 取得最大值,则 P 点坐标为 ( A. ?2,? 0 B ) B.

? 6,? 0

C. ? ,? 0
?

?7 ?3

?

D. ?4,? 0

解:P 点即为过 A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点,设圆方程为
( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2
?(1 ? a ) 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ?

(a ? 0, b ? 0)

所以有 ?

?a ? 6 ? ?? 2 2 2 ?b ? 0 ?(3 ? a ) ? (3 ? b) ? b ? ?

7.
A.

圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 上的点到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的最短距离为( A )
3 2

B.

5 4

C.

3 4

D.

9 4

8.

条件甲:方程 的( A )

x2 y2 ? ? 1 表示一双条双曲线,条件乙: m ? 0且n ? 0 则乙是甲 m n

A.充分非必要条件 C.充要条件

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 的延长线上,点 P 分 所成的比为 ? , 则( A )

9.

设点 P 在有向线段 A. ? ? ?1 C. 0 ? ? ? 1

B. ?1 ? ? ? 0 D. ? ? 1 )

10.

如果 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax + By +C = 0, 不通过( C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

11.

若点(4, m)到直线 4 x ? 3y ? 1 的距离不大于 3, 则 m 的取值范围是( B ) A.(0, 10) B. ?0,10?
? 1 31? C. ? , ? ?3 3 ?

D. ? ??,0? ??10,???

12.

原点关于直线 8x ? 6 y ? 25 的对称点坐标为( D )

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
? 3? A. ? 2, ? ? 2? ? 25 25? B. ? , ? ? 8 6?

C.(3, 4)

D.(4, 3) )

13.

如果直线 y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y = x 对称, 那么( A A. a ?
1 ,b ? 6 3

B. a ?

1 , b ? ?6 3

C.a = 3, b = -2

D.a = 3, b = 6

14.

已知直线 l1 和l2 的夹角的平分线为 y ? x , 如果 l1 的方程是 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) , 那么 l2 的方程是( A ) B. ax ? by ? c ? 0 D. bx ? ay ? c ? 0 )

A. bx ? ay ? c ? 0 C. bx ? ay ? c ? 0

15.

如果直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行, 那么系数 a = ( B A.-3 B.-6 C. ?
3 2

D.

2 3

16.

两条直线 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 垂直的充要条件是( A ) A. A1 A2 ? B1 B2 ? 0 C.
A1 A2 ? ?1 B1 B2

B. A1 A2 ? B1 B2 ? 0 D.
B1 B2 ?1 A1 A2

17.

如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位, 又回到原 来的位置, 那么直线 l 的斜率是( A A. ?
1 3

)
1 3

B.-3

C.

D.3

18.

设 a 、 b 、 c 分 别 是 △ ABC 中 , ? A 、 ?B 、 ?C 所 对 边 的 边 长 , 则 直 线
s i nA?x ? ay ? c ? 0

与 bx ? sin B?y ? sin C ? 0 的位置关系是( C A.平行 B.重合 C.垂直

) D.相交但不垂直

19.
A.

直线 L:y=kx-1 与曲线

1 或3 2

B.

1 2

y?2 1 ? 不相交,则 k 的取值范围是( A ) x ?1 2 1 C.3 D.[ ,3] 2

20.

直线 y=-x-1 被圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 25 ,所截的弦长为( C )

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
A. 98 B.40
1 4

C. 82

D. 98 ? 4 3

21.

斜率为 1 的直线与两直线 2x+y-1=0, x ? 2 y ? 2 ? 0 分别相交于 A,B 两点,线段 AB 的中点的轨迹方程为( A、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? 2 y ? 3 ? 0 B ) B、 x ? y ? 1 ? 0 D、 x ? 2 y ? 3 ? 0

22.
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已知 M(1,0)、N(-1,0),直线 2x+y=b 与线段 MN 相交,则 b 的取值范围是(A ) B [-1,1]
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A [-2,2]
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C [-
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1 1 , ] 2 2

D [0,2]
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23.

两平行线 l1 、 l 2 分别过点 P1(1,0)与 P2(0,5) ,(1)若 l1 与 l 2 距离为 5,求两 直线方程;(2)设 l1 与 l 2 之间距离是 d,求 d 的取值范围
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答案:(1) l1 的方程为 y=0 或 5x-12y-5=0 l 2 的方程为 y=5 或 5x-12y+60=0
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(2)(0, 26 ]

24.

直线 y=2x 是△ ABC 中∠C 的平分线所在的直线, A、 坐标分别为 A(-4, 若 B 2)、 B(3,1) ,求点 C 的坐标,并判断△ ABC 的形状 答案:C(2,4);直角三角形
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25.

4 2 如果三条直线 l1:x ? y ? 4 ? 0、l2:mx ? y ? 0、l3:x ? 3my ? 4 ? 0 不能围成
三角形,求实数 m 的值.

4, ?

1 6
, ) 直 线 l:x ? y ? 3 ? 0 上 求 一 点 P 使 2在

26.

⑴ 已 知 A( 2 0 ) B ? (,2 ,, ?

PA ? PB 最小.
⑵直线 l:y ? 2x ? 3,(3, A 4),( , ,在 l 上找一点 P,使 PB ? PA 最大. B 11 0)

? 19 5 ? P ? , ? , P ?1,5? ? 8 8?

27.

已 知 三 条 直 线 l1 : mx ? y ? m ? 0 , l 2 : x ? my ? m(m ? 1) ? 0 , l 3 :

(m ? 1) x ? y ? (m ? 1) ? 0 ,它们围成 ?ABC .
(1)求证:不论 m 取何值时, ?ABC 中总有一个顶点为定点;

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
(2)当 m 取何值时, ?ABC 的面积取最大值、最小值?并求出最大值、最小值.

? ?1,0? ,

3 1 m ? 1, Smax ? , m ? ?1, Smin ? 4 4

典型例题精讲——直线与圆

【例1】

(1)求经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x─y─3=0 上的圆的方程; (2)求以 O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形 OAB 外接圆的方程
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解:(1)设圆心 P(x0,y0),则有 ? 解得 x0=4, y0=5, ∴半径 r= 10 ,

?2 x 0 ? y 0 ? 3 ? 0
2 2 2 2 ?( x 0 ? 5) ? ( y 0 ? 2) ? ( x 0 ? 3) ? ( y 0 ? 2)

,

∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10 (2)采用一般式,设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解 得:D=─2, E=─4, F=0 点评:第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式
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【例2】 一圆与 y 轴相切,圆心在直线 x-3y=0 上,且直线 y=x 截圆所得弦长为 2 7 ,求此圆的 方程
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分析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x-3y=0 上, 故设圆方程为 ( x ? 3b) ? ( y ? b) ? 9b
2 2 2
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又因为直线 y=x 截圆得弦长为 2 7 , 则有 (

| 3b ? b | 2 ) + ( 7) 2 =9b2, 2
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解得 b=±1 故所求圆方程为
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( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1) 2 ? 9

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点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点: (1)确定圆方程首先明确 是标准方程还是一般方程; (2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得 a、 b、r 或 D、E、F; (3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数
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【例3】 方程 ax ? ay ? 4(a ? 1) x ? 4 y ? 0 表示圆,求实数 a 的取值范围,并求出其中半径最小
2 2

的圆的方程

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解:原方程可化为 ? x ?

? ?

2(a ? 1) ? 2 4( a 2 ? 2a ? 2) ? ( y ? )2 ? a ? a a2 ?
2

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
? a 2 ? 2a ? 2 ? 0,? 当 a ? 0 时,原方程表示圆
又r ?
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4(a 2 ? 2a ? 2) ? a2

2 ? a ? 2? 2a 2 ? 2(a 2 ? 4a ? 4) ? 2? ? 2 2 a a2
2
2 2

当 a ? 2, rmin ?

2 ,所以半径最小的圆方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2

【例4】 圆 x2+y2+x-6y+c = 0 与直线 x+2y-3 = 0 相交于 P,Q 两点,求 c 为何值时,OP ? OQ(O 为原点). 解:解方程组消 x 得 5y2-20y+12+c = 0, y1 ? y 2 ? (12 ? c) ,
1 消 y 得 5x2+10x+4c-27 = 0, x1 ? x2 ? (4c ? 27) , 5 y y 12 ? c 4c ? 27 ∵OP ? OQ,∴ 1 ? 2 ? ?1 ,∴ ,解得 c = 3. ?? x1 x 2 5 5
1 5

【例5】 已知圆 x2+y2=16,A(2,0) ,若 P,Q 是圆上的动点,且 AP ? AQ ,求 PQ 中点的轨迹方 程
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解:设 PQ 中点 M 的坐标为(x,y) ,由已知圆的参数方程, 可设 P ? 4 cos ?1 , 4sin ?1 ? , Q ? 4cos? 2 , 4sin ? 2 ? ,

? x ? 2 cos ?1 ? 2 cos ? 2 ?? ? x 2 ? y 2 ? 4 ? 4 ? 8 ? cos?1 cos? 2 ? sin ?1 sin ? 2 ? --------------? y ? 2sin ?1 ? 2sin ? 2
(1) 又 AP ? AQ ,? K PA K AQ ? ?1 ,?

4sin ?1 4sin ? 2 ? ? ?1 , 4 cos ?1 ? 2 4 cos ? 2 ? 2

化简得 4 ? sin ?1 sin ? 2 ? cos?1 cos? 2 ? ? 2 ? cos ?1 ? cos ? 2 ? ? 1 ? x ? 1 代入(1)式,得

x 2 ? y 2 ? 8 ? 2( x ? 1) ,
2 2
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所以所求轨迹方程为 x ? y ? 2 x ? 6 ? 0

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【例6】 已知直线 y =-2x+b 与圆 x2+y2-4x+2y-15 = 0 相切,求 b 的值和切点的坐标. 解:把 y =-2x+b 代入 x2+y2-4x+2y-15 = 0, 整理得 5x2-4(b+2)x+b2+2b-15 = 0,令 ? = 0 得 b =-7 或 b =13,]

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
∵方程有等根, x ?
2(b ? 2) ,得 x =-2 或 x = 6, 5

代入 y = -2x-7 与 y = -2x+13 得 y =-3 或 y = 1, ∴所求切点坐标为(-2,-3)或(6,1).

【例7】 设正方形 ABCD 的外接圆方程为 x2+y2–6x+a=0(a<9),C、D点所在直线 l 的斜率为 求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率。 解:由(x–3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3,0) 依题意: ?ABM ? ?BAM ?

1 , 3

?

1 , k AB ? . 4 3

MA,MB 的斜率 k 满足:
1 解得:kAC= ? , k BD ? 2 2

k?1 3 ?1 1 1? 3 k

【例8】 设圆 C1 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3m ? 2) 2 ? 4m 2 ,直线 l 的方程为 y ? x ? m ? 2 . (1)求 C1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程; (2)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆 的公切线方程. 解: (1)圆 C1 的圆心为 C1(-2,3m+2) ,设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b)
? b ? 3m ? 2 ? ?1      ? 则? a?2 3m ? 2 ? b a ? 2 ? ? ?m?2 2 2 ?

解得: ?

?a ? 2m ? 1 ? b ? m ?1

∴圆 C2 的方程为 ( x ? 2m ? 1) 2 ? ( y ? m ? 1) 2 ? 4m 2 (2)由 ?
?a ? 2m ? 1 消去 m 得 a-2b+1=0 ? b ? m ?1

即圆 C2 的圆心在定直线 x-2y+1=0 上。 设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,则
k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b 1? k 2 ? 2m

即 (?4k ? 3)m 2 ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1)m ? (k ? b ? 1) 2 ? 0 ∵直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的 m 值都成立,所以有:

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? ? 4k ? 3 ? 0       ? ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1) ? 0 ?(k ? b ? 1) 2 ? 0      ?
3 ? ?k ? ? 4 解之得: ? 7 ?b? 4 ?

所以 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程为: y ? ? x ?

3 4

7 4

【例9】 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由。 解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32 假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥l,∴kCM?kl= -1 ∴kCM=
b?2 ? ?1 , a ?1
O B

y

即 a+b+1=0,得 b= -a-1 直线 l 的方程为 y-b=x-a, 即 x-y+b-a=0


C M

x

A

CM=

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM
MB ? CB ? CM
2 2 2

?9?

(b ? a ? 3) 2 , OM 2

2

? a2 ? b2

∴9?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2


3 2

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 或a ? ?1

3 5 ,时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 【例10】 已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x2+y2 = m2,当圆 C 与线段 AB 没有公共点时, .. 求 m 的取值范围. 解:∵过点 A、B 的直线方程为在 l:x-y+1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P,连结 OB. 由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段 AB 与圆 x2+y2 = m2 无交点.

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
(I)当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
| m |?

2 2. |1 | 2 ,即 ? ?m? ?| m |? 2 2 2 2

B P A O

(II)当 m >OB 时,
| m |? 32 ? 22 ?| m |? 13 ,



m ? ? 13或m ? 13 .

∴当 ? 2 ? m ? 2 和 m ? ? 13与m ? 13且m ? 0 时,
2 2

圆 x2+y2 = m2 与线段 AB 无交点. 直线 y=k(x-3)+4 与曲线 y ? 1 ? 4 ? x 有一个交点,求实数 k 的取值范围
2
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解:直线 y=k(x-3)+4 过定点 P(3,4) ,曲线 y ? 1 ? 4 ? x 化为 x2+(y-1)2=4 ( y ? 1) ,因为 A(2,1),B(-2,1) 所以可得 k PA ? 3, k PB ? 由

2

3 ,又设 lPC: y-4=k(x-3)即 kx-y+4-3k=0, 5
15 ? 2 30 15 ? 2 30 或k ? (舍) 5 5 k? 15 ? 2 30 3 或 ?k ?3 5 5

? ? ?1? ? 4 ? 3k k 2 ?1

? 2 得k ?

综上所述,所求实数 k 的取值范围是:

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【例11】 已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, (1)如果 | AB |?
4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 解: (1)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由 | AB |? 4 2 ,
3

可得 | MP |? | MA | 2 ?( | AB | ) 2 ? 12 ? ( 2 2 ) 2 ? 1 ,
2 3 3

由射影定理,得 在 Rt△MOQ 中,

| MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3,
2

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
故 a ? 5或a ? ? 5 ,所以直线 AB 方程是
2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2 x ? 5 y ? 2 5 ? 0;

(2)由点 M,P,Q 在一直线上, 得 2 ? y ? 2 , (*) ?a x 由射影定理得 | MB | 2 ?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**) 把(*)代入(**)消去 a, 并注意到 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

【例12】 已知圆 C: x ? y ? 4 x ? 14 y ? 45 ? 0 及点 Q(?2,3) 。 (1) 若 P(m, m ? 1) 在圆 C 上,求线段 PQ 的长及直线 PQ 的斜率; (2) 若 P 为圆 C 上任意一点,求线段 PQ 的长的最大值和最小值; (3) 若点 M (a, b) 在圆 C 上,求 k ? (1) m ? 4 , PQ ? 2 10 , k ?

b?3 的取值范围。 a?2

1 3

(2) CQ ? 4 2 , r ? 2 2 ,线段 PQ 的长的最大值为 6 2 ,最小值为 2 2 (3)设 y ? 3 ? k ( x ? 2) , 2 ? 3 ? k ? 2 ? 3 【例13】已 知 圆 C : x ? ( y ? 1) ? 1 和 圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 , 现 在 构 造 一 系 列 的 圆
2 2 2 2

C1 , C2 , C3 ,? , C ? ,使圆 C n ?1 同时与 C n 和圆 C 都相切,并都与 OX 轴相切.回答: n ,
(1)求圆 C n 的半径 rn ; (2)证明:两个相邻圆 C n ?1 和 C n 在切点间的公切线长为 (3)求和 lim (
n??

1
2 Cn

;

1
2 C2

?

1
2 C3

???

1
2 Cn

).

解:(1)在直角梯形 ODCn ?1C 中, AC=1- rn , CC n =1+ rn , CCn ?1 =1+ rn ?1 , C n C n ?1 = rn + rn ?1 . Cn ?1 B = rn ?1 - rn . ∴有 ACn ?

?1 ? rn ? ? ?1 ? rn ?
2
2

2

, BCn ?
2

? rn?1 ? rn ? ? ? rn?1 ? rn ?
2

2

ECn?1 ?

?1 ? rn?1 ? ? ?1 ? rn?1 ?

, ECn ?1 ? AB = ACn ? BCn
?

∴ ?1 ? rn ?2 ? ?1 ? rn ?2 ?

?rn?1 ? rn ?2 ? ?rn?1 ? rn ?2

?1 ? rn?1 ?2 ? ?1 ? rn?1 ?2

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
∴ 4rn ? 4rn rn?1 ? 4rn?1 .即 rn?1 ? rn ? rn rn?1 . 由此可得 ∴{ ∴
1 rn 1 rn 1 rn ? 1 rn ?1 ? 1.

}成等差数列, r1 ? 1 .
? 1 r1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ,∴ rn ?
2.4 2.2

1 n2

.

2

1.8

1.6

1.4

1.2

C

1

C1

0.8

0.6

0.4

-1

-0.5

E A O
0.2 -0.2 -0.4

0.5

Cn-1 Cn B D
1

1.5

2

2.5

3

2 1 ? 2. (n ? 1)n Cn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (3) ? 2 ? ? ? 2 ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( ? ) = 2(1 ? ) . 2 C2 C3 Cn 2 2 3 n ?1 n n 1 1 1 ∴ lim ( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) =2. n ?? C C3 Cn 2
(2)公切线长为 ln ?

? rn ? rn?1 ? ? ? rn?1 ? rn ?
2

2

? 2 rn ?1rn ?

课后专题练习——直线与圆
1. 直线 x ? 3 y ? 0 绕原点按顺时针方向旋转 30°所得直线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的位置
关系是 (A)直线与圆相切 (C)直线与圆相离 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (D) 直线过圆心 ( A ).

2. 点 M ? x 0 ,y 0 ? 是圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 内不为圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该
圆的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 ( C )

D.相切或相交

3. 直线 ax ? by ? c ? 0?ab ? 0? 截圆 x 2 ? y 2 ? 5 所得弦长等于 4,则以|a|、|b|、|c|为边
长的三角形一定是 ( A )

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
(A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)不存在

4. 已知两点 A(–2,0),B(0,2), 点 C 是圆 x2+y2–2x=0 上的任意一点,则△ABC 面积的最小值
是( A ) (A) 3 ? 2 (B) 3 ? 2 知 集 (C) 合
6? 2 2

(D)

3? 2 2

5. 已

? ? p ? ?( x, y) y ? ? 25 ? x 2 , x、y ? R? ? ?



Q ? ?( x, y) y ? x ? b, x、y ? R? 若P ? Q ? ? ,则实数 b 的取值范围是 ( C ,



(A)[–5,5]

(B) (?5 2 ,5)

(C) [?5 2 ,5]

(D) [?5 2 ,5 2 ]

6. 若曲线 x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a=
( B ) . (A) ?
1 2

(B) ?

2 2

1 2 (C) 或 ? 2 2

(D) ? 或

1 2

2 2

7. 若圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离等于 1,则半径
R 的取值范围是 (A)R>1 (B)R<3 (C)1<R<3 (D)R≠2 ( C ) .

8. 已知圆 C1:x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10与圆C2:x ? 6) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50 交于 A、B 两点,则 AB ( (
所在的直线方程是_______________________。2x+y=0

9. 直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离是 10. 已知圆的方程是 x2 +y2 =1,则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为
y ? x ? 2或y ? ? x ? 2

。 2 2 ?1 。

11. 过 P(-2,4)及 Q(3,-1)两点,且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是
(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25

12. 过点(1,2)且与圆 x2+y2=1 相切的直线方程为
(x=1 或 3x─4y+5=0);注意点斜式的使用范围
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13. 若圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点(x,y)都使不等式 x+y+m≥0 恒成立,则实数 m 的取
值范围是 小解题. .5.[ 2 -1,+∞) .提示:利用圆心到直线的距离与半径的大

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
14. 半径为 5 的圆过点 A(-2, 6),且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 ,求此圆的方程。
解:设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=25, ∵ (-2, 6)在圆上,∴ (a+2)2+(b-6)2=25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 , ∴ |PM|2=r2- 5 2, 即(a-5)2+(b-4)2=20, 联立方程组 ?
?(a ? 2) 2 ? (b ? 6) 2 ? 25 7a ? 3 ? , 两式相减得 7a-2b=3, 将 b= 代入 2 ?(a ? 5) 2 ? (b ? 4) 2 ? 20 ?

得 53a2-194a+141=0, 解得 a=1 或 a=

141 414 , 相应的求得 b1=2, b2= , 53 53 141 2 414 2 ) +(y- ) =25 53 53

∴ 圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=25 或(x-

15. 已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90? 。
求 m 的值。 解:由题设△APB 是等腰直角三角形,∴圆心到 y 轴的距离是圆半径的 将圆方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 配方得: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? m 圆心是 P(2,-1),半径 r= 5 ? m ∴ 5?m ? 2 ?2 解得 m= -3
y
2

2 倍 2

16. 已知定点 A(2,0) , P 点在圆 x

? y ? 1 上运
2

P

动, AOP 的平分线交 PA 于 Q 点, 其中 O ? 为坐标原点,求 Q 点的轨迹方程.
O

Q A x

解:在△AOP 中,∵OQ 是?AOP 的平分线 ∴
AQ PQ ? OA OP ? 2 ?2 1

设 Q 点坐标为(x,y) 点坐标为(x0,y0) ;P
? ?x ? ∴? ?y ? ? 2 ? 2 x0 3x ? 2 ? x0 ? 1 ? 2    即? 2 ? 0 ? 2 y0 3 ? y 0 ? y   2 ? 1? 2

∵ P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上运动,∴x02+y02=1

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
即?
? 3x ? 2 ? ? 3 ? ? ? ? y? ? 1 ? 2 ? ?2 ?
2 2

∴ ? x ? ? ? y2 ?
?

?

2? 3?

2

4 9

此即 Q 点的轨迹方程。

17. 点 A ? 0, 2 ? 是圆 x 2 ? y 2 ? 16 内的定点,点 B, C 是这个圆上的两个动点,若
BA ? CA ,求 BC 中点 M 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么曲线。
x 2 ? y 2 ? 2 y ? 6 ? 0 ,以 ? 0,1? 为圆心,以 7 为半径的圆

18. 已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P(2,3) ,求过两点 Q1(a1,b1) 、
Q2(a2,b2) 1≠a2)的直线方程 (a
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分析:利用点斜式或直线与方程的概念进行解答 解:∵P(2,3)在已知直线上, ∴ 2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0
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∴2(a1-a2)+3(b1-b2)=0,即

b1 ? b2 2 =- a1 ? a 2 3
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2 (x-a1) 3 ∴2x+3y-(2a1+3b1)=0,即 2x+3y+1=0 点评:此解法运用了整体代入的思想,方法巧妙
∴所求直线方程为 y-b1=-
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19. 已知圆 C: ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和直线 l:x-y-5=0,在 C 上求两点,使它们与
l 的距离分别是最近和最远. 点( 3 ? 2 ,1 ? 2 )在圆 C 上,且到直线 l 的距离最近,点 ( 3 ? 2 ,1 ? 上,且到直线 l 的距离最远

2 ) 在圆 C

20. 已知点 A(-1,0) ,B(1,0)及圆 C: (x-3)2+(y-4)2=4 上一点 P,求 AP2+BP2
的最小值及取得最小值时点 P 的坐标.

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高三数学第二轮复习——直线与圆的方程
9 12 最小值为 20, , ) ( .提示:设 P 点坐标为(3+2cosθ,4+2sinθ),将问题转化成三 5 5 角函数求最值问题.

21. 直线 l1 过 A(a,0),l2 过 B(-a,0),它们在 y 轴上的截距分别为 m,n,且 mn=a2,求
两直线交点的轨迹. 将 m、n 均用 x、y 表示,得到:轨迹是以原点为圆心半径为|a|的圆.

22. 已知△ ABC 三边所在直线方程分别为 AB:x+2y+2=0,BC:2x-y-6=0,CA:
x-2y+6=0,求△ ABC 的外接圆的方程. 7 2 125 )= 提示:AB⊥BC 2 4

(x-1)2+(y-

23. 若圆 x2+y2-4x-4y-10=0 上至少有三个不同的点到直线 l: ax+by=0 的距离为 2 2 ,
求直线 l 倾斜角的取值范围. 圆 x2+y2-4x-4y-10=0 的圆心为(2,2) ,半径为 3 2 ,因为圆上至少有三个不同的 点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 2 ,所以圆心到直线的距离不大于 2 . 故:

| 2a ? 2b |
2 2

a a ≤ 2 ,化简得:a2+4ab+b2≤0,即: ( )2 ? 4? ? 1 ≤0, b b a ?b

a a -2- 3 ≤ ≤-2+ 3 ,2- 3 ≤- ≤2+ 3 ,2- 3 ≤tanθ≤2+ 3 , b b 所以

?
12

?? ?

5? . 12

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