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时域、频域辨析


时域与频域的含义

时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。 例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变 化。 若考虑离散时间,时域中的函数或信号,在各个离散时间点的数值均为已知。若考虑连续时 间,则函数或信号在任意时间的数值均为已知。 在研究时域的信号时,常会用示波器将信号转换 为其时域的波形。 频域 frequency domain 是描述信号在频率

方面特性时用到的一种坐标系。对任何一个事物的描述都 需要从多个方面进行,每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息。例如,眼前有一辆汽 车,我可以这样描述它方面 1:颜色,长度,高度。方面 2:排量,品牌,价格。而对于一个信号来 说,它也有很多方面的特性。如信号强度随时间的变化规律(时域特性),信号是由哪些单一频率的 信号合成的(频域特性)

时域 time domain
在分析研究问题时,以时间作基本变量的范围。 时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变 化。 若考虑离散时间,时域中的函数或信号,在各个离散时间点的数值均为已知。若考虑连续时间,则函 数或信号在任意时间的数值均为已知。 在研究时域的信号时,常会用示波器将信号转换为其时域的波形。 时域是真实世界,是惟一实际存在的域。因为我们的经历都是在时域中发展和验证的,已经习惯于事 件按时间的先后顺序地发生。而评估数字产品的性能时,通常在时域中进行分析,因为产品的性能最终就 是在时域中测量的。如下图 2.1 所示的时钟波形。

时钟波形
图 2.1 典型的时钟波形 由上图可知,时钟波形的两个重要参数是时钟周期和上升时间。图中标明了 1GHz 时钟信号的时钟周期 和 10-90 上升时间。下降时间一般要比上升时间短一些,有时会出现更多的噪声。 时钟周期就是时钟循环重复一次的时间间隔,通常用 ns 度量。时钟频率 Fclock ,即 1 秒钟内时钟循环 的次数,是时钟周期 Tclock 的倒数。 Fclock=1/Tclock 上升时间与信号从低电平跳变到高电平所经历的时间有关,通常有两种定义。一种是 10-90 上升时间, 指信号从终值的 10% 跳变到 90% 所经历的时间。这通常是一种默认的表达方式,可以从波形的时域图上直 接读出。第二种定义方式是 20-80 上升时间,这是指从终值的 20% 跳变到 80% 所经历的时间。 时域波形的下降时间也有一个相应的值。根据逻辑系列可知,下降时间通常要比上升时间短一些,这

是由典型 CMOS 输出驱动器的设计造成的。在典型的输出驱动器中, p 管和 n 管在电源轨道 Vcc 和 Vss 间是 串联的,输出连在这个两个管子的中间。在任一时间,只有一个晶体管导通,至于是哪一个管子导通取决 于输出的高或低状态。

频域 frequency domain 在分析问题时,以频率作为基本变量。
频域 频域 frequency domain 是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系。 对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行,每一方面的描述仅为我们认 识这个事物提供部分的信息。例如,眼前有一辆汽车,我可以这样描述它方 面 1:颜色,长度,高度。方面 2:排量,品牌,价格。而对于一个信号来说, 它也有很多方面的特性。如信号强度随时间的变化规律(时域特性),信号 是由哪些单一频率的信号合成的(频域特性)

频域分析
频域(频率域)—— 自变量是频率 , 即横轴是频率 , 纵轴是该频率信号 的幅度 , 也就是通常说的频谱图。 频谱图描述了信号的频率结构及频率与 该频率信号幅度的关系。 对信号进行时域分析时,有时一些信号的时域参数相同,但并不能说明信号就完全相同。因为信号不 仅随时间变化,还与频率、相位等信息有关,这就需要进一步分析信号的频率结构,并在频率域中对信号 进行描述。动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级 数,非周期信号靠傅立叶变换。

Bode 图 所有的线性过程对象都表现出类似的特性。这些过程对象均将正弦波的输入转换为同频率的正弦波的 输出,不同的是,输出与输入的振幅和相位有所改变。振幅和相位的变化量的大小取决于过程对象的相位 滞后与增益大小。增益可以定义为 “ 经由过程对象放大后,输出正弦波振幅与输入正弦波振幅之间的比例系 数 ” ,而相位滞后可以定义为 “ 输出正弦波与输入正弦波相比较,输出信号滞后的度数 ” 。 与稳态增益 K 值不同的是,“ 过程对象的增益和相位滞后 ” 将依据于输入正弦波信号的频率而改变。在上 例中,弹簧-重物对象不会大幅度的改变低频正弦波输入信号的振幅。这就是说,该对象仅有一个低频增 益系数。当信号频率靠近过程对象的固有频率时,由于其输出信号的振幅要大于输入信号的振幅,因此, 其增益系数要大于上述低频下的系数。而当上例中的玩具被快速摇动时,由于重物几乎无法起振,因此该 过程对象的高频增益可以认为是零。 过程对象的相位滞后是一个例外的因素。由于当手柄移动得非常慢时,重物与手柄同步振荡,所以, 在以上的例子中,相位滞后从接近于零的低频段输入信号就开始了。在高频输入信号时,相位滞后为 “ -180 度 ” ,也就是重物与手柄以相反的方向运动(因此,我们常常用 ‘ 滞后 180 度 ’ 来描述这类两者反向运动的状 况) 。 Bode 图谱表现出弹簧-重物对象在 0.01-100 弧度 / 秒的频率范围内, 系统增益与相位滞后的完整频谱图。 这是 Bode 图谱的一个例子,该图谱是由贝尔实验室的 Hendrick Bode 于 1940s 年代发明的一种图形化的分 析工具。利用该工具可以判断出,当以某一特定频率的正弦波输入信号来驱动过程对象时,其对应的输出 信号的振动幅度和相位。欲获取输出信号的振幅,仅仅需要将输入信号的振幅乘以 “Bode 图中该频率对应的

增益系数 ” 。 欲获取输出信号的相位, 仅仅需要将输入信号的相位加上 “Bode 图中该频率对应的相位滞后值 ” 。

傅立叶定理
在过程对象的 Bode 图中表现出来的增益系数和相位滞后值,反映了系统的非常确定的特征,对于一个 有丰富经验的控制工程师而言, 该图谱将其需要知道的、 有关过程对象的一切特性都准确无误的告诉了他。 由此,控制工程师运用此工具,不仅可以预测 “ 系统未来对于正弦波的控制作用所产生的系统响应 ” ,而且能 够知道 “ 系统对任何控制作用所产生的系统响应 ” 。 傅立叶定理使得以上的分析成为可能,该定理表明任何连续测量的时序或信号,都可以表示为不同频 率的正弦波信号的无限叠加。数学家傅立叶在 1822 年证明了这个著名的定理,并创造了为大家熟知的、被 称之为傅立叶变换的算法, 该算法利用直接测量到的原始信号, 以累加方式来计算不同正弦波信号的频率、 振幅和相位。 从理论上说,傅立叶变换和 Bode 图可以结合在一起使用,用以预测当线性过程对象受到控制作用的时 序影响时产生的反应。详见以下: 1 ) 利用傅立叶变换这一数学方法,把提供给过程对象的控制作用,从理论上分解为不同的正弦波的 信号组成或者频谱。 2 ) 利用 Bode 图可以判断出,每种正弦波信号在经由过程对象时发生了那些变化。换言之,在该图上 可以找到正弦波在每种频率下的振幅和相位的改变。 3 ) 反之,利用反傅立叶变换这一方法,又可以将每个单独改变的正弦波信号转换成一个信号。 既然反傅立叶变换从本质上说,也是一种累加处理,那么过程对象的线性特征将会确保- “ 在第一步中 计算得到的各种理论正弦波 ” 所产生单独作用的集合,应该等效于 “ 各不同正弦波的累加集合 ” 共同产生的作 用。因此,在第三步计算得到的总信号,将可以代表 “ 当所提供的控制作用输入到过程对象时,过程对象的 实际值 ” 。 请注意,在以上这些步骤中,没有哪个点不是由画在图上的控制器产生的单独正弦波构成。所有这些 频域方面的分析技术都是概念性的。这是一种方便的数学方法,运用傅立叶变换(或者紧密相关的拉普拉 斯变换) , 将时域信号转换为频域信号, 然后再用 Bode 图或其他一些频域分析工具来解决手头的一些问题, 最后再用反傅立叶变换将频域信号转换为时域信号。 绝大多数可用此方法解决的控制设计问题,也可以在时域内通过直接的操控来解决,但是对于计算而 言,利用频域的方法通常更简单一些。在上例中,就是用乘法和减法来计算过程实际值的频谱,而该过程 实际值是通过对给定的控制作用进行傅立叶变换,尔后又对照 Bode 图分析而得到的。

三个正弦波
将所有的正弦波进行正确的累加,就会产生如傅立叶变换所预示的那类形状的信号。当有时这一现象并不 直观,举个例子可能有助于理解。 请再次想想上面那个例子中小孩的重物-弹簧玩具,操场上的跷跷板,以及位于外部海洋上的船。设

想这艘船以频率为 w 和幅度为 A 的正弦波形式在海面上起起落落,我们同时再假设跷跷板也以频率为 3w 和幅度为 A/3 的正弦波形式在振荡,并且小孩以频率为 5w 和幅度为 A/5 的正弦波形式在摇动玩具。 ‘ 三张 单独的正弦波波形图 ’ 已经显示出,如果我们将三个不同的正弦波运动进行分别观察的话,每个正弦波运动 将会体现出的形式。

波的叠加
现在假设小孩坐在跷跷板上,而跷跷板又依次固定在轮船的甲板上。如果这三者单独的正弦波运动又恰巧 排列正确的话, 那么, 玩具所表现出的总体运动就大约是一个方波-如图 4 : 三者合成的正弦波显示的那样。 以上并非一个非常确切的实际例子,但是却明白无误的说明:基本频率正弦波、振幅为三分之一的三 倍频率谐波、以及振幅为五分之一的五倍频率谐波,它们波形的相加总和大约等于频率为 w 、振幅为 A 的 方波。甚至如果再加上振幅为七分之一的七倍频率谐波、以及振幅为九分之一的九倍频率谐波时,总波形 会更像方波。其实,傅立叶定理早已说明,当不同频率的正弦波以无穷级数的方式无限累加时,那么由此 产生的总叠加信号就是一个严格意义上的、幅度为 A 的方波。傅立叶定理也可以用来将非周期信号分解成 正弦波信号的无限叠加。 通过求解微分方程分析时域性能是十分有用的,但对于比较复杂的系统这种办法就比较麻烦。因为微 分方程的求解计算工作量将随着微分方程阶数的增加而增大。另外,当方程已经求解而系统的响应不能满 足技术要求时,也不容易确定应该如何调整系统来获得预期结果。从工程角度来看,希望找出一种方法, 使之不必求解微分方程就可以预示出系统的性能。同时,又能指出如何调整系统性能技术指标。频域分析 法具有上述特点 , 是研究控制系统的一种经典方法 , 是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方 法。该方法是以输入信号的频率为变量,对系统的性能在频率域内进行研究的一种方法。频率特性可以由 微分方程或传递函数求得 , 还可以用实验方法测定 . 频域分析法不必直接求解系统的微分方程 , 而是间接地揭 示系统的时域性能 , 它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响 , 并可以进一步指明如何设计校正 . 这种分 析法有利于系统设计,能够估计到影响系统性能的频率范围。特别地,当系统中存在难以用数学模型描述 的某些元部件时,可用实验方法求出系统的频率特性,从而对系统和元件进行准确而有效的分析。

信号频域分析
是采用傅立叶变换将时域信号 x(t) 变换为频域信号 X(f) , 从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。 信号频谱 X(f) 代表了信号在不同频率分量成分的大小,能够提供比时域信号波形更直观,丰富的信息 . ? 1822 年,法国数学家傅里叶 (J.Fourier,1768-1830) 在研究热传导理论时发表了 “ 热的分析理论 ” ,提出并 证明了将周期函数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级数的理论基础。 ? 泊松 (Poisson) 、高斯 (Guass) 等人把这一成果应用到电学中去,得到广泛应用。 ? 19 世纪末,人们制造出用于工程实际的电容器。 ? 进入 20 世纪以后,谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的进一步应用开辟了广阔的前景。 ? 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中,傅里叶变换法具有很多的优点。 ? “FFT” 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 频域分析是以输入信号的频率为变量,在频率域,研究系统的结构参数与性能的关系 , 揭示了信号内在

的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系,从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制和频分复用等重要概念。

频域分析的优点
频域分析具有明显的优点 : 无需求解微分方程,图解 ( 频率特性图 ) 法 , 间接揭示系统性能并指明改进性能 的方向和易于实验分析 . 可推广应用于某些非线性系统(如含有延迟环节的系统)以及可方便设计出能有效 抑制噪声的系统。

频域分析法包括分析系统的
1. 频率响应 , 它指系统对正弦输入信号的稳态响应。 2. 频率特性 , 它指系统在不同频率的正弦信号输入时,其稳态输出随频率而变化 (ω 由 0 变到 ∞) 的特性。 3. 幅频特性与相频特性一起构成系统的频率特性。 4. 幅频特性 , 它指的是当 ω 由 0 到 ∞ 变化时, |G(jω)| 的变化特性,记为 A(ω) 。 5. 相频特性 , 它指的是当 ω 由 0 到 ∞ 变化时,∠ G(jω) 的变化特性称为相频特性,记为 ? (ω) 。

Tip :以上是个人在信号与系统学习时的一些感想,与君共勉


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