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江西省南昌三中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版


南昌三中 2013—204 学年度上学期期中考试 高二数学(文)试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

x2 y2 1.椭圆 ? ? 1 的焦距为( 16 9
A.10 B.5



C. 7

D. 2 7 )

2.已知两

条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 B.-1 或 3 2 3.抛物线 y=2x 的准线方程为 1 A.y=- 8 1 B.y=- 4 C.1 或 3 1 C.y=- 2 D.-1 或-3

( D.y=-1

)

4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则 弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1 ( )

5. 两直线 - =1 与 - =1 的图像可能是图中的哪一个

x y m n

x y n m

→ → 6.已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF1·MF2 → → =0,|MF1|·|MF2|=2,则该双曲线的方程是 ( A. )

x2 y2

- =1 9 7

B.x - =1 9

2

y2

C.

x2
9

-y =1

2

D. - =1 7 3 )
2

x2 y2

7. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) , 则动点 C 的轨迹方程是(
2 2 2 2 2 2 2

y y y y x x x x ? ? 1 B. ? ? 1( y ? 0) C. ? ? 1 D. ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16 16 25 16 25 8.已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后
A. 经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( A.2 10 B.6
2



C.3 3

D.2 5

9.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一动点 P,
1

P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

10.已知 AB 为半圆的直径,P 为半圆上一点,以 A、B 为焦点且过点 P 做椭圆,当点 P 在半 圆上移动时,椭圆的离心率有( 1 A.最大值 2 1 B.最小值 2 ) 2 2 D.最小值 2 2

C.最大值

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若方程

x2 y2 ? ? ?1 表示双曲线,则 k 的取值范围是_________. k ? 2 5?k

2 2 2 12.过点(1,2)总可作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值

范围是

.

x2 y2 2 2 2 13.若椭圆 2+ 2=1 过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x -y =1 有相同的焦点,则该 a b
椭圆的方程是________.

x≥0, ? ? 14.已知 x,y 满足条件?y≤x, ? ?2x+y+k≤0,
=________.

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k

x2 y2 1 2 2 15. 若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线, 切点分别为 A, B, a b 2 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,且 l1 与 l2 的距 离为 5,求 l1、l2 的方程.

17. (本小题满分 12 分)圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若圆的面积最小, 求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程.

2

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又 → → 直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点.(1)求圆 C 的方程;(2)若OP·OQ=-2,求实数

k 的值;

19. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒 经过定点 Q(6,0),求此抛物线的方程.

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短 轴长的比是 2∶ 3.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上 → 任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C 2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中 心和 C 2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C 2 分别相交于 A, B 两 点 (Ⅰ)写出抛物线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求 椭圆 C1 的长轴长的最小值。

3

南昌三中 2011-2012 学年度上学期期中考试 题号 答案 高二数学(文)答卷 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11、 13、 . . 12、 14、 . _. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15、_______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,

姓名

且 l1 与 l2 的距离为 5,求 l1、l2 的方程.

班级

学号

17. (本小题满分 12 分)圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若 圆的面积最小,求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方 程.

4

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又 → → 直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点.(1)求圆 C 的方程;(2)若OP·OQ=-2,求实数

k 的值;

19. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒 经过定点 Q(6,0),求此抛物线的方程.

5

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短 轴长的比是 2∶ 3.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上 → 任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C 2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中心和 C 2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C 2 分别相交 于 A, B 两点 (Ⅰ)写出抛物线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ) 若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上, 直线 l 与椭圆 C1 有公共点, 求椭圆 C1 的长轴长的最小值。

6

南昌三中 2013—204 学年度上学期期中考试 高二数学(文)答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦距为( 16 9

) A.10 B.5
2 2

C. 7
2

D. 2 7 【答案】D

2 2 【 解 析 】 由 题 意 知 a ? 16, b ? 9 , 所 以 c ? a ? b ?7 , 所 以 c ?

7 ,即焦距为

2c ? 2 7 ,选 D.
2.已知两条直线 y ? ax ? 2 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 等于( A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或-3 )

【答案】 A 【解析】因为直线 y ? ax ? 2 的斜率存在且为 a ,所以 ?(a ? 2) ? 0 ,所以

3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 的斜截式方程为 y ?


3 1 3 x? ?a , 因为两直线平行, 所以 a?2 a?2 a?2

1 ? ?2 ,解得 a ? 1 或 a ? ?3 ,选 A. a?2
2

3.抛物线 y=2x 的准线方程为 1 1 A.y=- B.y=- 8 4

( 1 C.y=- 2 D.y=-1

)

1 1 2 2 2 答案 A 解析 由 y=2x ,得 x = y,故抛物线 y=2x 的准线方程为 y=- ,选 A. 2 8 4.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点,则 弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D.1

【 答 案 】 B 【 解析 】 圆 心到 直 线 的 距 离 d ?

?5 32 ? 42

? 1 , 所 以 R2 ? d 2 ? (

AB 2 ) ,即 2

7

AB2 ? 4( R2 ? d 2 ) ? 4(4 ?1) ? 12 ,所以 AB ? 12 ? 2 3 ,选 B.
5. 两直线 - =1 与 - =1 的图像可能是图中的哪一个 答案 B → → 6.已知双曲线的两个焦点 F1(- 10,0),F2( 10,0),M 是此双曲线上的一点,且MF1·MF2 → → =0,|MF1|·|MF2|=2,则该双曲线的方程是 ( A. )

x y m n

x y n m

(

)

x

2

9

- =1 7

y

2 2

B.x - =1 9

y

2

C.

x

2

9

-y =1

2

D. - =1 7 3

x2 y2

→ → → → 答案 C 解析 ∵MF1·MF2=0,∴MF1⊥MF2. → → → 2 → 2 ∵||MF1|-|MF2||=2a,∴|MF1| +|MF2| =40. → → 2 2 2 ∴|MF1|·|MF2|=20-2a =2,∴a =9,b =1. ∴所求双曲线的方程为 -y =1. 9 7. 已知 ?ABC 的周长是 16, A(?3,0) ,B (3,0) , 则动点 C 的轨迹方程是(
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

)

y y y y x x x x ? ? 1 B. ? ? 1( y ? 0) C. ? ? 1 D. ? ? 1( y ? 0) 25 16 25 16 16 25 16 25 8.已知 A(4,0)、B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后 经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是
A. A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5 答案 A 解析 如图,求出 P 关于直线 x+y=4 及 y 轴的对称点分别为 P1(4,2)、P2(-2,0),由物理知识知,光线所经路程即为|P1P2|=2 10,故选 A. 9.已知抛物线方程为 y ? 4 x ,直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,在抛物线上有一
2

动点 P, P 到 y 轴的距离为 d1 ,P 到直线 l 的距离为 d2 ,则 d1 ? d 2 的最小值为( )

A.

5 2 ?2 2

B.

5 2 ?1 2

C.

5 2 ?2 2

D.

5 2 ?1 2

【答案】 D

【解析】因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1, 0) , 准线方程为

x ? ?1 。因为点 P 到 y 轴的距离为 d1 ,所以到准线的距离为 d1 ? 1 ,又 d1 ? 1 ? PF ,所以

d1 ? d2 ? d1 ?1 ? d2 ?1 ? PF ? d2 ?1,焦点到直线的距离 d ?

1? 0 ? 4 2

?

5 5 2 ,而 ? 2 2

8

PF ? d 2 ? d ?

5 2 5 2 ,所以 d1 ? d 2 ? PF ? d2 ? 1 ? ? 1 ,选 D. 2 2

10 文科.已知 AB 为半圆的直径,P 为半圆上一点,以 A、B 为焦点且过点 P 做椭圆,当点 P 在半圆上移动时,椭圆的离心率有( ) 1 A.最大值 2 1 B.最小值 2 C.最大值 2 2 D.最小值 2 2

|AB| 答案 D 解析 椭圆的离心率 e= |PA|+|PB| ≥ 2 |AB| 2 ,故选 D. 2 2= 2 |PA| +|PB| 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若方程

x2 y2 ? ? ?1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 k <-2 或 k >5 k ? 2 5?k

2 2 2 12.过点(1,2)总可作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ? 15 ? 0 相切,则实数 k 的取值

范围是

. 2?k ?

8 3 8 3 或? ? k ? ?3 3 3 ;
2 2 2

13.若椭圆 2+ 2=1 过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x -y =1 有相同的焦点,则该 椭圆的方程是____.答案

x2 y2 a b

x2 y2
4

+ =1 解析 抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意 2
2 2

2

知椭圆的右顶点的坐标为(2,0), 又椭圆与双曲线 x -y =1 有相同的焦点, ∴a=2, c= 2. ∵b =a -c ,∴b =2,∴椭圆的方程为 + =1. 4 2
2 2 2 2

x2 y2

x≥0, ? ? 14.已知 x,y 满足条件?y≤x, ? ?2x+y+k≤0,

(k 为常数),若 z=x+3y 的最大值为 8,则 k

=________. 答案 -6 解析 结合不等式组所表示的区域以及 z=x+3y 的最大值,不难得出 z=x+ 3y 经过直线 y=x 和 2x+y+k=0 的交点(- ,- )时,z=x+3y 取得最大值 8,∴- + 3 3 3 3(- )=8.∴k=-6. 3

k

k

k

k

x y 1 2 2 15. 若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过点(1, )作圆 x +y =1 的切线, 切点分别为 A, B, a b 2 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是________.
+ =1【解析】 显然 x=1 是一条切线,且过切点 A(1,0),设另一条切 4 1 |1-2k| 线方程为 y- =k(x-1),即 2kx-2y+1-2k=0.由 =1, 2 2 4k +4 3 解得 k=- .∴圆的切线方程为 3x+4y-5=0. 4 【答案】 5
9

2

2

x2 y2

?3x+4y-5=0, ? 解? 2 2 ?x +y =1, ?

3 4 3 4 得 B( , ).进一步求得过 A(1,0)与 B( , )两点的直线方程为 5 5 5 5

x2 y2 y=-2x+2.令 x=0,得 y=2.故在椭圆方程 2+ 2=1 中,b=2,c=1,∴a2=5.因此椭圆 a b x2 y2

方程为 + =1. 5 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本小题满分 12 分)直线 l1 过点 A(0,1),l2 过点 B(5,0),如果 l1∥l2,且 l1 与 l2 的距 离为 5,求 l1、l2 的方程. ?l1:12x-5y+5=0, ?l1:x=0, ? ? 答案 ? 或? ? ? ?l2:12x-5y-60=0 ?l2:x=5 解析 若 l1,l2 的斜率都存在时,设直线的斜率为 k, 由斜截式得 l1 的方程 y=kx+1,即 kx-y+1=0. 由点斜式可得 l2 的方程 y=k(x-5),即 kx-y-5k=0. 在直线 l1 上取点 A(0,1),则点 A 到直线 l2 的距离 |1+5k| 12 2 2 d= =5,∴25k +10k+1=25k +25,∴k= . 2 5 1+k ∴l1:12x-5y+5=0,l2:12x-5y-60=0. 若 l1、l2 的斜率不存在, 则 l1 的方程为 x=0,l2 的方程为 x=5,它们之间的距离为 5.同样满足条件. 则满足条件的直线方程有以下两组: ? ? ?l1:12x-5y+5=0, ?l1:x=0, ? 或? ?l2:12x-5y-60=0 ?l2:x=5. ? ? 17. (本小题满分 12 分)圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若圆的面积最小, 求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. 略解: (1) x ? (y ? 4) ? 5 (2) (x+ 1) ? (y ? 2) ? 10
2 2 2 2

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2),且圆心 C 在直线 y=x 上,又 → → 直线 l:y=kx+1 与圆 C 相交于 P、Q 两点.(1)求圆 C 的方程;(2)若OP·OQ=-2,求实数 k 的值; 2 2 答案 (1)x +y =4 (2)k=0 解析 (1)设圆心 C(a,a),半径为 r.因为圆 C 经过点 A(-2,0),B(0,2), 所以|AC|=|BC|=r,易得 a=0,r=2. 2 2 所以圆 C 的方程是 x +y =4. → → → → → → (2)因为OP·OQ=2×2×cos〈OP,OQ〉=-2,且OP与OQ的夹角为∠POQ, 1 所以 cos∠POQ=- ,∠POQ=120°. 2 所以圆心到直线 l:kx-y+1=0 的距离 d=1. 1 又 d= 2 ,所以 k=0. k +1 19. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,设 A、B 是抛物线 C 上的两个动点(AB 不垂直于 x 轴),且|AF|+|BF|=8,线段 AB 的垂直平分线恒 经过定点 Q(6,0),求此抛物线的方程. 2 答案 y =8x 解析 设抛物线的方程为 y =2px(p>0),其准线方程为 x=- . 2
10
2

p

设 A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|+|BF|=8,所以 x1+ +x2+ =8, 2 2 即 x1+x2=8-p. 因为 Q(6,0)在线段 AB 的中垂线上,所以 QA=QB, 2 2 2 2 2 2 即(x1-6) +y1=(x2-6) +y2.又 y1=2px1,y2=2px2, 所以(x1-x2)(x1+x2-12+2p)=0.因为 x1≠x2,所以 x1+x2=12-2p. 2 故 8-p=12-2p.所以 p=4.所以所求抛物线方程是 y =8x. 20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(-2,0),且长轴长与短 轴长的比是 2∶ 3.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设点 M(m,0)在椭圆 C 的长轴上,点 P 是椭圆上 → 任意一点.当|MP|最小时,点 P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数 m 的取值范围.
2 2

p

p

答案

(1)

x

16



y

12

=1

(2)1≤m≤4 解 析

c=2, ? ?a 2 (1) 由 题 意 知 ?b= , 3 ? ?a =b +4,
2 2

解之得

?a =16, ? ? 2 ?b =12. ?

2

∴椭圆方程为 + =1. 16 12 (2)设 P(x0,y0),且 + =1, 16 12 → 2 x2 0 2 2 2 2 ∴|MP| =(x0-m) +y0=x0-2mx0+m +12(1- ) 16 1 2 1 2 2 2 = x0-2mx0+m +12= (x0-4m) -3m +12. 4 4 → 2 → 2 ∴|MP| 为关于 x0 的二次函数,开口向上,对称轴为 4m.由题意知,当 x0=4 m 时,|MP| 最小,∴4m≥4,∴m≥1.又点 M(m,0)在椭圆长轴上,∴1≤m≤4. 21. (本小题满分 14 分)如图所示,已知椭圆 C1 和抛物线 C 2 有公共焦点 F (1,0) , C1 的中 心和 C 2 的顶点都在坐标原点,过点 M (4,0) 的直线 l 与抛物线 C 2 分别相交于 A, B 两 点 (Ⅰ)写出抛物线 C 2 的标准方程; (Ⅱ)若 AM ?

x2

y2

x2 0

y2 0

1 MB ,求直线 l 的方程; 2

(Ⅲ)若坐标原点 O 关于直线 l 的对称点 P 在抛物线 C 2 上,直线 l 与椭圆 C1 有公共点,求 椭圆 C1 的长轴长的最小值。

【答案】解: (1)

(2)设

11

或 y1 ? 2 2, y2 ? ?4 2

或m ? ?

2 2

或 2x ? 2 y ? 8 ? 0 (3)

?8m ? ? 8 P? , 2 2 ? ? 1? m 1? m ?

椭圆设为

消元整理

综上,存在两点 M

1 19 M ( ? ,? ) 2 19 符合条件,坐标为 .…13 分

12


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