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1.4 条件概率独立


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1.4 条件概率与事件的独立性
一、条件概率

袋中有十只球,其中九只白球,一只红球,
十人依次从袋中各取一球(不放回),问

第一个人取得红球的概率是多少?
第二 个人取得红球的概率是多少?

若已知第一个人取到的是白球,则第二个人

取 到红球的概率是多少? 若已知第一个人取到的是红球, 则第二个人取到红球的概率又是 多少? 已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率 称为A条件下B的条件概率,记作P(B|A)

由于我们已经知道A已发生,故A变成了新的样本 空间,为使B也发生,试验结果必须是既在A中又在 B中的样本点,即此点必属于AB. 于是有:
A AB B

P ( AB ) P ( B | A) ? P ( A)
定义: 设A、B是两个事件, 且P(A)>0, 则称 P ( AB ) P ( B | A) ? P ( A) 为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.

?

例如,掷一颗均匀骰子A={掷出2点},

B={掷出偶数点}, P(A)=1/6, P(A|B)=?

P ( AB ) 1 6 1 P(A|B)= = ? P( B) 36 3
例1. 盒中混有100只新、旧乒乓球,各有红、白两 色,如表.从盒中随机取一球,若取得的是红球,试求 该红球是新球的概率. 红 白 解: 设A=“从盒中随机取到红 新 40 30 球”; B=“从盒中随机取到新 旧 20 10 球”. 则40 2 P ( AB ) 40 100 P(B|A)= ? = ? 60 3 P ( A) 60 100

例2 设某种动物由出生算起活到20岁以上的概 率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4. 如果现在有 一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概 率是多少? 解 设A=“能活到20岁以上”, B=“能活到25岁以 上”. 则P(A)=0.8, P(B)=0.4 而A?B 故 AB=B
P ( AB ) 0.4 ? 0.5 故所求概率为 P ( B A) ? ? P ( A) 0.8

注: (1)“条件概率”也是“概率”! P14 性质1)——3); 性质4)——6) 注: (2)条件概率往往根据试验提供的数据直接得 到 (如例1),而利用上述公式求积事件的概率.

二、乘法公式

P ( AB ) P ( B | A) ? 由条件概率的定义: P ( A)
若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) 若P(B)>0, 则P(AB)=P(B)P(A|B)

得:

A、B位置对调:

推广到三个事件: P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
一般地: P(A1A2…An)= P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An-1)

例3 100件产品中有10件次品,无放回地抽取3次, 每次1件,求下列事件的概率: (1)全是次品; (2)第 三次才取得正品; (3)第二次取得正品.
解:设Ai =“第i次取得次品”(i =1, 2, 3) (1)P(A1A2A3) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
2 9 8 10 ? ? ? ? 100 99 98 2695

(2) P( A1 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 | A1 ) ? P ( A 3 | A1 A2 )
9 9 90 10 ? ? ? ? 100 99 98 1078

(3)思考!

例4 盒中有3个红球、2个白球,每次从袋中任取 一只,观察其颜色后放回,并再放入一只与所取球 颜色相同的球,若从盒中连续取球4次,试求第1、2 次取得白球、第3、4次取得红球的概率. 解:设Ai=“第i次取球时取到白球”(i =1, 2, 3, 4), 则
P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 )P( A4 | A1 A2 A3 )

2 3 3 4 ? ? ? ? 5 6 7 8 3 ? 70

三、事件的独立性 1.直观定义 事件A、B, 若其中任一事件发生的 概率不受另一事件发生与否的影响, 称事件A、B 相互独立. P(A|B)=P(A)=P(A|B); 数学式子表示: P(B|A)=P(B)=P(B|A).

2.数学定义 事件A、B, 若P(AB)=P(A)P(B), 则 称事件A 、B相互独立,简称事件A 、B独立.
例 从一付52张的扑克牌中任意抽一张, A=“抽出 一张A”, B=“抽出一张黑桃”, 问A与B是否独立? P(AB)= 1/52 = P(A)P(B) = (1/13)(1/4) ∴A与B独立.

3.定理 以下四件事等价: (1)事件A、B相互独立;(2)事件A、B相互独立; (3)事件A、B相互独立;(4)事件A、B相互独立。

4.定义 若三个事件A、B、C满足: P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C) 则称事件A、B、C两两相互独立; 若在此基础上还满足: P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A、B、C相互独立。 一般地, 设A1, A2, …, An是n个事件, 如果对任意k (1?k?n), 任意的1?i1?i2 ?… ? ik? n, 具有等式 P(Ai1 Ai2 …Aik)=P(Ai1)P(Ai2) … P(Aik) 则称n个事件A1, A2, …, An相互独立。

例5 一均匀正四面体,第一、二、三面分别染有红、 白、黑色,第四面染有红、白、黑三种颜色,以A、 B、C分别表示投一次正四面体出现红、白、黑颜 色的事件,讨论A、B、C三个事件的独立性. 解 显然 P(A)=P(B)=P(C)=1/2
P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4, P(ABC)=1/4 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C). 但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C) 所以A、B、C两两独立, 但A、B、C不相互独立.

思考:
1.设事件A、B、C、D相互独立,则A+B与CD独 立吗? 2.一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24

次至少得一个双六,这两件事,哪一个有更多的
机会遇到? 答:1. 独立; 2. 0.518, 0.491

解答: 设事件A、B、C、D相互独立,则
A+B与CD独立吗? P[(A+B)CD]= P(ACD+BCD) =P(ACD)+P(BCD)-P(ABCD) =P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D) P(A+B)· P(CD)= [P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)P(D) =P(A)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-P(A)P(B)P(C)P(D) ∴ 独立

5. 独立事件的乘法公式与加法公式 (1)若事件A、B相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B) 注: 事件的独立性往往根据问题的实际意义判定, 而用此公式求积事件的概率. P( A?B)= P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B) P(A?B)= 1-P(A B) 1-P(A)P(B) (2)若事件A1, A2, …, An相互独立,则 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)...P(An) … ? A )= 1-P(A A …A)…P(A ) 1-P(A1 )P(A2n) P( A1 ? A2 ? 1 2 n n

例6 每个人的呼吸道中有感冒病毒的概率为0.002, 求在有1500人看电影的剧场中有感冒病毒的概率. 解 以Ai=“第i个人带有感冒病毒”(i=1,2,…,1500), 假定每个人是否带有感冒病毒是相互独立的, 则
? 1500 ? P ? ? Ai ? ? 1-P(A1)P(A2)…P(A1500) ? i ?1 ?

=1-(1-0.002)1500 =1-e1500ln(1-0.002) ≈1-e1500(-0.002) = 1-e-3 ≈0.95 虽然每个人带有感冒病毒的可能性很小,但许 多人聚集在一起时空气中含有感冒病毒的概率可 能很大,该现象称为小概率事件的效应.卫生常识中, 不让婴儿到人多的公共场所去就是这个道理.

例7 下面是一个电路示意图. A、B、C、D、E、 F、G、H都是电路中的元件. 其下方的数是它们各 自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.
A 0.95 B 0.95 C 0.70 D 0.70 E 0.70 F 0.75 G 0.75 H 0.95

解 电路正常工作记为W,由于各元件独立工作,故 P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) P(C+D+E)= 1-P(C)P(D)P(E) =0.973 P(F+G)= 1-P(F)P(G) =0.9375 代入得 P(W) ≈ 0.782

四、独立试验概型 在概率论中,有些试验在同样条件下可以重复 进行,且任何一次试验发生的结果都不受其它各次 试验结果的影响.这种概率模型称做独立试验概型. 在n次独立试验概型中,如果对于每一次试验只 有两个可能的结果发生, 即A发生或A发生, P(A)>0, 称这样的独立试验概型为贝努里(Bernoulli)概型. 定理 在贝努里概型中, P(A)=p (0<p<1), 则事件A 在n次试验中恰好发生k次的概率为:

P(n, k, p) ? C p (1 ? p)
k n k

n? k

(0 ? k ? n)

该公式与[p+(1-p)]n二项展开式中第k+1项 相同, 故称之为参数为n和p的二项概率公式.

例8 一批产品中有20%的次品,现进行重复抽样, 共抽取5件样品,分别计算这5件样品中恰好有3件 次品及至多有3件次品的概率?

解 设Ai=“5件样品中恰有i件次品”(i=0,1,2,…,5), B=“5件样品中至多有3件次品” 利用二项概率公式可得 (n ? 5, p ? 0.2)
3 P( A3 ) ? P(5, 3,0.2) ? C5 0.230.82 ? 0.0512 P(B)=1-P(A4)-P(A5)

? 1 ? C 0.2 0.8 ? C 0.2 ? 0.9933
4 5 4 5 5 5

教材例略,自看.

例9 自某工厂产品中进行重复抽样检查,共取200 件样品,检查结果发现其中有4件是废品,问能否相 信该厂产品废品率不超过0.005 ? 4 解 设该厂产品废品率为0.005, 200件中出现4件废品的概率为
200
196

? 0.02

P(200,4,0.005) ? C

4 200

? 0.005 ? (1 ? 0.005)
4

? 0.015

人们长期实践总结出一条原理:小概率事件在 一次试验中几乎不可能发生, 可以认为当废品率为 0.005时,抽检200件产品出现4件废品是一小概率事 件,而它在一次试验中发生了,因此有理由怀疑假定 的正确性,即工厂产品废品率不超过0.005不可信.

作业:P18

17,18 , 20 ,21.

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