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2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


10 . (2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 ). 如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ),那么称 m 为“好数” .问 1,2,3,?,2014 中“好数”的个数为 .

解:设 x 2 ? 4 y 2 =m=ab,(b>a) ,则有(x+2y)(x-2y)=ab. 所以 x+2y=b、x-2y=a。解得:

x=(a+b)/2,y=(b-a)/4。可见,b-a 是 4 的倍数即可。 别对 a 为奇数、单偶数、双偶数的情况讨论。 分

(1) a 为奇数 2p+1 时(p≥0),m=ab=(2p+1)[(2p+1)+4q]=4(p^2+p+2pq+q)+1, 即m是 (4k+1) 型(k≥0) 。由 2013=1+4(n-1),解得 n=504;

(2)a 为单偶数 4p+2 时(p≥0), m=ab=(4p+2)[(4p+2)+4q]=8(2p^2+2p+2pq+q)+4,m 是 (8k+4)型,(k≥0)。由 2012=4+8(n-1),解得 n=252;

(3)a 为双偶数 4p 时(p≥0),m=ab=4p(4p+4q)=16p(p+q),m 是 16k 型,(k≥0)。 由 2000=16(n-1),解得 n=126;

0 到 2014 内可表示为 x^2-4y^2 的自然数 m 的个数为 504+252+126=882。


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